D(s): Kapalı sistemin paydası H(s)  N(s) 4  1 4.1 Kararlılık GcGp N(s) H(s)  C(s)  R(s) (1  GcGp )  R(s) E(s)   C(s) Gc(s) Gp (s) D(s) D(s): Kapalı sistemin paydası H(s)  N(s) Bir kapalı kontrol sisteminde kararlılığı kapalı sistemin paydası (karakteristik denklem) belirler. Karakteristik denklemi sıfır yapan kökler özdeğerlerdir. Matematiksel tanım olarak özdeğerlerin gerçel kısmı negatif ise sistem kararlıdır. Fiziksel olarak bir sistemin zaman ilerledikçe enerji kaybetmesi kararlı bir sistem tanımıdır. Diğer bir tanım ise sistem cevabı düzgün ve küçülen genlikli bir salınım şeklinde azalıyorsa bu sistem kararlıdır. Yerçekimi kuvveti ile denge konumuna geri dönüyorsa KARARLI dır.

Eğer sistem cevabı zaman ilerledikçe büyüyen genlikli salınım ile veya ani bir değişimle artıyorsa bu sistem kararsızdır. Yerçekimi kuvveti ile denge konumundan uzaklaşmaya başlıyorsa KARARSIZ dır. Eğer sistem cevabı zaman ilerledikçe genlikleri ne artıp ne de azalıyorsa yani sabit genlikli salınım yaparsa sistem kararlılık sınırındadır. ya da Hareket için herhangi bir kuvvet etkimiyorsa Yerçekimi kuvveti etkisi de sürtünmesiz bir düzlemde denge konumu etrafında salınım yapıyorsa MARJİNAL KARARLI dır.

4  2 c(t) c(t) Kararlı sistem cevabı Nötr kararlılık c(t) c(t) Kararsız sistem cevabı

4  3 Karakteristik denklem kökleri cinsinden kararlılık incelenebilir. Bu kökler s düzleminde gösterilir ve bu düzleme S-Düzlemi denir. S-Düzleminin yatay ekseni (Re) gerçel, düşey ekseni sanal (Im) kökleri gösterir. S-düzleminin sol yarısı KARARLI bölgeyi, S-düzleminin sağ yarısı KARARSIZ bölgeyi gösterir. S-Düzleminde sanal eksen NÖTR kararlılığı belirler. S-Düzlemi Im Kararlı Bölge Kararsız Bölge Re Köklerin S-düzleminde yerleşimine göre zaman cevapları değişir. Nötr Kararlılık

4.2 Routh Kararlılık Kriteri 4  4 4.2 Routh Kararlılık Kriteri Bir kontrol sisteminde karakteristik denklemin D(s) mertebesi yüksek veya bir bilinmeyen parametreye bağlı ise kökleri belirlemek zorlaşır. Bu durumda karakteristik denklemin köklerini bulmadan sistemin kararlılık durumu Routh kriteri ile değerlendirilebilir. Routh kararlılık kriteri bir polinom denklemin pozitif gerçel kısımlı kökleri bulunup bulunmadığını, denklemi çözmeden belirlemeye yarar. Routh kriteri bir kapalı kontrol sisteminde mutlak kararlılık hakkında bilgi verir. N(s) a sm  a sm1  ...a s1  a  1 2 m1 m H(s)  D(s) b sn  b sn1  ...b s  b 1 2 n1 n Routh kriteri için D(s) karakteristik denklemini dikkate alalım. Karakteristik denklemin tüm katsayıları sıfırdan farklı ve pozitif olmalıdır. D(s)  b sn  b sn1  ...b s  b 1 2 n1 n

sn sn1 sn2 sn3 s1 s0 b b  b2b3   b1b6  b2b5 b b 4  5 D(s)  b sn  b sn1  ...b s  b  0 1 2 n1 n Aşağıdaki gibi katsayılar tablosu hazırlanır: sn sn1 sn2 sn3 b1 b2 c1 b3 b4 c2 b5 b6 Tablodaki ci, di, ei ve fi katsayıları hesaplanır: b b  b2b3   b1b6  b2b5 d1 c   1 4 c 1 b b 2 2 2 . s1 s0 . e1 . b c  b4c1 d   2 2 1 c 1 f1 . 1. sütun Katsayıların hesaplanması tabloda birinci sütun oluşana kadar devam eder. Katsayılar tablosunun birinci sütunu sistemin kararlılığını belirler.

s3 1 24 s2 s1 s0  1x0  (22)x24  24 Routh kriterine göre: 4  6 pozitif 1. Tabloda birinci sütundaki tüm katsayılar aynı işaretli ve olmalıdır. Bu durumda denklemin tüm kökleri negatif gerçel kısımlıdır ve sistem KARARLI dır. 2. Tabloda birinci sütundaki katsayılarda işaret değişimi sayısı kadar denklemin pozitif gerçel kısımlı kökü vardır. Bu durumda sistem KARARSIZ dır. Örnek 4.1 Aşağıdaki karakteristik denklemin kararlılığını inceleyelim. D(s)  s3  s2  2s  24  0 1 2 1 24 s3 s2 s1 s0 24x1  1x2   22 1  22 24 KARARSIZ  1x0  (22)x24  24  22 Birinci sütunda +1 den -22 ye geçerken, diğeri -22 den +24 ye geçerken iki kez işaret değişimi vardır. Routh kriterine göre 2 pozitif gerçel kök vardır.

4  7 Aşağıdaki kapalı sistemin kararlı olması için K’nın değer aralığını inceleyelim. Örnek 4.2 :  K  1  N(s)        s s  6s  11s  6 3 2 R(s) E(s)  K s C(s) H(s)  1 s3  6s2  11s  6 1   K  1       s s  6s  11s  6 3 2  K H(s)  s(s3  6s2  11s  6)  K Karakteristik denklem: s4  6s3  11s2  6s  K  0 Routh Tablosu: s4 s3 s2 s1 s0 1 6 10 (60  6K)/ 10 K 11 6 K 0 Denklemde tüm katsayılar pozitif olmalı: K  0 Sistemin kararlı olması için birinci sütunda tüm katsayılar aynı işaretli olmalı: (60  6K)/ 10  0  K  10 K  0 K 0 Buna göre 0  K  10 olmalıdır.

𝑉 2 (𝑠) 𝑅(𝑠) = 𝐾 1 𝑠 3 +30 𝑠 2 +200𝑠 1+𝐾 1 𝑠 3 +30 𝑠 2 +200𝑠 = 𝐾 𝑠 3 +30 𝑠 2 +200𝑠+𝐾 s3 s2 s1 1 200 30 K 0 < K< 6000 6000  K 30 s0 K

>>K=2000; >>ns=[K]; >>ds=[1 30 200 K]; >>step(ns,ds) >>K=6000; >>ns=[K]; >>ds=[1 30 200 K]; >>step(ns,ds) D(s)=s3+30s2+200s+6000 >>ds=[1 30 200 6000]; >>roots(ds) p1=-30.0000 p2= 0.0000 +14.1421i p3= 0.0000 -14.1421i

>>K=8000; >>ns=[K]; >>ds=[1 30 200 K]; >>step(ns,ds)

4.3 Ziegler-Nichols Tasarımı 4  8 4.3 Ziegler-Nichols Tasarımı Uygulamada kontrol sisteminin katsayılarının en iyi (optimum) sonuç verecek ayarlanması bir kontrol problemidir. Kontrolcü tipine göre K’nın, integral zaman sabitinin Ti ve türevsel zaman sabitinin Td optimum ayarı için deneysel ve hesaba dayalı yöntemler geliştirilmiştir. Bu yöntemlerden biri de Ziegler-Nichols’tür. Ki  1  Gc (s)  Kp  s  Kds G (s)  K 1  T s c p d T s   i Ziegler-Nichols yönteminde, kapalı sistem tasarımına K kontrol kazancı ile başlanır. Başlangıçta integral zaman ve türevsel zaman sıfıra ayarlanır. Referans girdide bir basamak değişimi sağlanır. Daha sonra K kazanç değeri sistem cevabı c(t) sürekli titreşim yapana kadar arttırılır. Bu durumdaki kritik kazanç Kc tasarım yapılır. P kontrol : Kp  0.5Kc ve cevaptaki salınım periyodu Tc’ye göre Kc: Kritik K Tc: Osilasyon periyodu PI kontrol : Kp  0.45Kc , Ti  0.83Tc PID kontrol : Kp  0.6Kc , Ti  0.5Tc , Td  0.125Tc

4  9 P, PI ve PID kontrolcü tasarımını Ziegler-Nichols yöntemi ile yapalım. Örnek 4.5 R(s) E(s) Y(s)  Gc(s) G(s) 6 G(s)  G  K (s  1)(s  2)(s  3) c GcG H(s)  (s3  6s2  11s  6)  6K  0 1  GcG Routh tablosu: s3 s2 s1 s0 1 6 10  K 6  6K 11 6  6K 10  K  0 6  6K  0 K  10 K  1 Kc  10 66  6  6K  10  K 6 s3  6s2  11s  66  0 >> a=[1,6,11,66];roots(a) 3.3166Tc  2 Tc  1.894 s1  6,s2,3  3.3166i

H(s)   42.5s  27 4  10 6 G(s)  Kc  10 Tc  1.894 (s  1)(s  2)(s  3) P kontrol: K  (0.5)(10)  5 G (s)  5 H(s)   30 P c s3  6s2  11s  36 PI kontrol: KP  (0.45)(10)  4.5 Ti  (0.83)(1.894)  1.572 H(s)   42.5s  27 G (s)  4.51  1   c  1.572s   1.572s4  9.434s3  17.3s2  51.89s  27 PID kontrol: KP  (0.6)(10)  6 Ti  (0.5)(1.894)  0.947 Td  (0.125)(1.894)  0.237 8.525s2  34.1s  36  1  G (s)  6 1    0.237s  H(s)  c  0.947s  0.947s4  5.683s3  18.5s  39.78s2  36