Dinamik sistemin kararlılığını incelemenin kolay bir yolu var mı? niye böyle bir soru sorduk? Teorem 1: (ayrık zaman sisteminin sabit noktasının kararlılığı.

... konulu sunumlar: "Dinamik sistemin kararlılığını incelemenin kolay bir yolu var mı? niye böyle bir soru sorduk? Teorem 1: (ayrık zaman sisteminin sabit noktasının kararlılığı."— Sunum transkripti:

1 Dinamik sistemin kararlılığını incelemenin kolay bir yolu var mı? niye böyle bir soru sorduk? Teorem 1: (ayrık zaman sisteminin sabit noktasının kararlılığı için yeter koşul) kararlıdır Hatırlatma

2 http://www.webgraphing.com/graphing_basic.jsp Bir örnek: Henon Dönüşümü Hatırlatma

3 Denge noktaları kararlı mı? http://brain.cc.kogakuin.ac.jp/~kanamaru/Chaos/e/Henon/

4 Teorem 2: (Ayrık zaman sisteminin sabit noktasının varlığı ve kararlılığı için yeter koşul) tam metrik uzay bu metrik uzayda tanımlanmış bir metrik Ayrık zaman dinamik sisteminin bir sabit noktası vardır Teorem 1’den farklı ne söylemekte?

5 Sürekli zaman dinamik sistemlerinin kararlılığını nasıl inceleyeceğiz? Öncelikle, çözümün varlığından tekliğinden ve ilk koşullara sürekli bağımlılığından emin olmalıyız Teorem 3: (Sürekli zaman dinamik sisteminin çözümünün varlığı, tekliği ve ilk koşullara sürekli bağlılığı için yeter koşul ) ‘de açık bölge için aşağıdaki koşulları sağlayan tek bir vardır. ‘da başlayan çözüm

6 çözümü her için neleri belirliyor? çözüm yörünge ilerleme işlemiPeki, ayrık zamanda ne oluyordu? Artık çözümlerin varlığı ve tekliğini biliyoruz, yeniden kararlı değişmez kümelere bakalım Ayrık zaman için yazılan Teorem 1 gibi bir teorem sürekli zaman için de var mı? Teorem 4: (Lyapunov ) kararlıdır trajectory orbit

7 Bir örnek: Lorenz Osilatörü http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/ef/Lorenz_Ro28-200px.png

8 Teorem 5: (Lyapunov’un ikinci metodu) kararlıdır Lyapunov fonksiyonunu nasıl bulacağız? Simetrik, kesin pozitif Bu teorem benzer şekilde ayrık zaman içinde var

9 Teorem 5: (Lyapunov’un ikinci metodu) kararlıdır Bu teorem benzer şekilde ayrık zaman içinde var Lyapunov fonksiyonunu nasıl bulacağız? Fiziksel sistemin davranışına ilişkin denklemler Fiziksel sistemde depolanmış enerjiye ilişkin denklemler Sakınımlı sistemler Gradyen sistemler

10 Hamiltonyan Sistemler LC devresi Sürtünmesiz Sarkaç

11 Bir örnek : Sarkaç

12 Gradyen Sistemler E(x)’in zamana göre türevi çözümler boyunca Gradyen sistemlere ilişkin özellikler Teorem 6: (Hirsh-Smale-Devaney, sf. 205) E(x)’in olağan noktası dinamik sistemin denge noktaları ‘in izole minimumu ise asimptotik kararlı denge noktasıdır

13 Bir örnek daha E(x)’e ilişkin eş düzey eğrileri Durum portresi M.W.Hirsh, S. Smale, R.L. Devaney,”Differential Equations, Dynamical Systems and An Introduction to Chaos”, Elsevier, 2004.

14 Lineer sistemler için Lyapunov fonksiyonunu Ne olmalı? Teorem 7: (Pozitif Reel Lemma- Khalil sf. 240) pxp boyutlu transfer fonksiyonu matrisi yönetilebilir gözlenebilir olmak üzere aşağıdaki eşitlikleri sağlayan P,L,W matrisleri bulunabiliniyorsa G(s) pozitif reeldir.

15 Tüm bu teoremler, denge noktası veya sabit noktadan oluşan değişmez kümelerin kararlılığına ilişkin yeter koşulları veriyor. Limit çevrim, veya daha başka çözümler için ne yapılabilinir? Teorem 8: (Poincare-Bendixson) kapalı, sınırlı de ya denge noktası yok ya da Değişmez küme Çevrim

16 Liénard’ın denklemi f,g є C 1, f,g: R + R g tek, f çift fonksiyon g(x)>0, t Ayrıca orijin civarında kararlı limit çevrim var

17 özel olarak.... Van der Pol Osilatörü

18 Dinamik sistemlerin genel, niteliksel özelliklerini belirlemek istiyoruz... Topolojik Eşdeğerlilik: h homeomorfizm Zamanla değişimin yönünü koruyarak ve topolojik eşdeğerdir h homeomorfizm h h 1-e-1 ve üstüne h sürekli h -1 sürekli Hatırlatma http://en.wikipedia.org/wiki/Homeomorphism

19 * * ¤ ¤ (*) sistemi ( **) sistemine düzgün “eşdeğer”dir. ¤ ¤ (¤) sistemi ( ¤¤) sistemine “eş”dir Sürekli zaman Ayrık zaman smoothly equivalent conjugate

20 Topolojik Eşdeğerliliğe ilişkin başka tanımlar da var: yörüngesel eşdeğerlilik, C k eşdeğerlilik yerel eşdeğerlilik..... Denge noktası civarında faz portresinin yapısı nasıl incelenebilir? * ¤ Sürekli zaman Ayrık zaman x * denge noktası olmak üzere x * sabit nokta olmak üzere Özdeğerlerden negatif, sıfır ve pozitif reel kısımlara sahip olanların sayısı sırası ile olsun. Özdeğerlerden birim daire içinde, üstünde ve dışında olanların sayısı sırası ile olsun.

21 Hiperbolik denge noktası Bir denge noktası (sabit nokta)’na ilişkin ise o denge noktası (sabit nokta) hiperbolik denge noktası olarak adlandırılır. ise, hiperbolik eyer olarak adlandırılır. Y.A. Kuznetsov, “Elements of Applied Bifurcation Theory”, Springer, 2004. ‘ın kararlı değişmez kümesi ‘ın kararsız değişmez kümesi Sürekli Zaman

22 Y.A. Kuznetsov, “Elements of Applied Bifurcation Theory”, Springer, 2004. ‘ın kararlı değişmez kümesi ‘ın kararsız değişmez kümesi Ayrık Zaman