Kesikli Olasılık Dağılımları

Bu Bölümde İncelenecek Konular Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Poisson Dağılımı Normal Dağılım

Bernoulli Dağılımı Tek bir deneme için ortaya çıkacak sonuçlar yalnız iki durum içeriyor ise bu dağılım geçerlidir. Örnekler: Bir paranın tek kez atılmasında çıkan sonuçların dağılımı Bir ameliyatta sonucun başarılı ya da başarısız olması

Tanım: X raslantı değişkeni başarı için 1, başarısızlık için 0 değerini alsın. X’in olasılık fonksiyonu; P(X=1)=p P(X=0)=1-p=q olur. Ya da P(X=x)=px(1-p)1-x ; x=0,1 ise bu dağılıma bernoulli dağılımı denir.

Bernoulli dağılımının beklenen değeri ve varyansı E(X)==p =12p-p2=p(1-p)= pq dir.

Binom Dağılımı (İki Terimli Dağılım) Bernoulli denemelerinin n kez tekrarlandığı düşünülsün. Bu denemelerde başarılı sonuçların toplam sayısı X raslantı değişkeni olarak gösterilsin. X raslantı değişkeni aşağıdaki koşulları sağlıyorsa, bu raslantı değişkeni binom raslantı değişkenidir:

Koşullar Deneyde iki sonuç vardır. Başarılı olma olasılığı p, başarısız olma olasılığı (1-p)=q olarak tanımlanır. Deney boyunca yapılan n deneme, aynı koşullar altında gerçekleştirilir. Bir tek deneme için başarılı olma olasılığı p ve başarısızlık olasılığı q her deneme için aynıdır. Denemeler birbirinden bağımsızdır. Deney boyunca n sabit kalır.

Örnekler 3 çocuklu ailelerde kız çocuk sayısı Bir paranın 4 kez atılmasında yazıların sayısı Bir kitlede beslenme bozukluğu oranı 0,03 olduğu bilinsin, 10’arlık guruplarda beslenme bozukluğu olan kişi sayısının dağılımı

Dağılımın Elde Edilmesi Örnek : Bir hastanede servilerden memnuniyetsizliğin oranı 0,10’dur. 4’er kişilik odalarda servilerden memnuniyetsizliğin dağılımını oluşturunuz. Bu olayda karşılaşılacak olan sonuçlar, X raslantı değişkeninin değerleri ve olasılıkları aşağıda verilmiştir:

4 1[0,1040,900]=0,0001 ŞŞŞM 3 4[0,1030,901]=0,0036 ŞŞMŞ ŞMŞŞ MŞŞŞ SONUÇLAR X ras.değ. X ras.değ.alma sayısı Olasılık ŞŞŞŞ 4 =1 1[0,1040,900]=0,0001 ŞŞŞM 3 4[0,1030,901]=0,0036 ŞŞMŞ ŞMŞŞ MŞŞŞ ŞŞMM 2 6[0,1020,902]=0,0486 ŞMŞM ŞMMŞ MŞŞM MŞMŞ MMŞŞ

MMMŞ 1 4[0,1010,903]=0,2916 MMŞM MŞMM ŞMMM MMMM 1[0,1000,904]=0,6561 X ras.değ.alma sayısı SONUÇLAR X ras.değ. Olasılık MMMŞ 1 4[0,1010,903]=0,2916 MMŞM MŞMM ŞMMM MMMM 1[0,1000,904]=0,6561 Ş: şikayet M: memnuniyet

Sonuç olarak olarak yazılabilir. Ya da olarak da verilebilir. Odalarda bulunan hasta sayısına n, Şikayet sayısı X’in aldığı değerlere de x denilirse, X’in olasılık fonksiyonu; olarak yazılabilir. Ya da olarak da verilebilir.

Örnek: Dört kişilik odalarda iki kişinin şikayet etme olasılığı,

Binom Dağılımının Karakteristikleri Ortalama Varyans ve standart sapma

Binom Olasılık Tablosu x p=.15 p=.20 p=.25 p=.30 p=.35 p=.40 p=.45 p=.50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.1969 0.3474 0.2759 0.1298 0.0401 0.0085 0.0012 0.0001 0.0000 0.1074 0.2684 0.3020 0.2013 0.0881 0.0264 0.0055 0.0008 0.0563 0.1877 0.2816 0.2503 0.1460 0.0584 0.0162 0.0031 0.0004 0.0282 0.1211 0.2335 0.2668 0.2001 0.1029 0.0368 0.0090 0.0014 0.0135 0.0725 0.1757 0.230.2522 77 0.1536 0.0689 0.0212 0.0043 0.0005 0.0060 0.0403 0.1209 0.2150 0.2508 0.2007 0.1115 0.0425 0.0106 0.0016 0.0025 0.0207 0.0763 0.1665 0.2384 0.2340 0.1596 0.0746 0.0229 0.0042 0.0003 0.0010 0.0098 0.0439 0.1172 0.2051 0.2461 p=.85 p=.80 p=.75 p=.70 p=.65 p=.60 p=.55 n = 10, p = .35, x = 3: P(x = 3|n =10, p = .35) = .2522 n = 10, p = .75, x = 2: P(x = 2|n =10, p = .75) = .0004

Örnek: 5 çocuklu ailelerde erkek çocuk sayısına ilişkin dağılımı oluşturunuz ve aşağıdaki soruları cevaplayınız. (X, erkek çocuk sayısı, ailede erkek çocuğu olma olasılığı p=1/2’dir.) 3 ve daha az erkek çocuk olma olasılığı nedir? 2 den daha çok erkek çocuk olma olasılığı nedir?

Erkek Çocuk Sayısı (X) 1 2 3 4 5

b- P(X>2)= P(X=3)+ P(X=4)+ P(X=5)= 3 ve daha az erkek çocuk olma olasılığı nedir? a- P(X3)=P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+ P(X=3)= 0,0313+0,1563+0,3125+0,3125=0,8126 2 den daha çok erkek çocuk olma olasılığı nedir? b- P(X>2)= P(X=3)+ P(X=4)+ P(X=5)= 0,3125+0,1563+0,0313=0,5001

Poisson Dağılımı Belli bir zaman aralığında, belli bir alanda ya da hacimde nadir rastlanan olayların olasılık dağılımları Poisson dağılımı ile modellenebilir. örnekler Bir kavşakta bir ay içinde meydana gelen ölümcül trafik kazalarının sayısı Bir iş kolunda belli bir sözleşme döneminde gerçekleşen grev sayısı Bir bölgede yapılan taramada, kanser hastalığı yaşanmış bireylerin sayısı

X Poisson raslantı değişkeninin olasılık fonksiyonu, Poisson dağılımının ortalaması ve varyansı aynı olup tek bir parametresi vardır ve bu parametre  ile gösterilir. X Poisson raslantı değişkeninin olasılık fonksiyonu, olarak tanımlanır. Burada, e=2,71828 x=t birim zaman içinde ilgilenilen olay sayısı, t=t birim zaman içinde ilgilenilen olayın ortalama oluş sayısı, dır. Genellikle t= 1 alınır. Bu durumda Poisson dağılımının olasılık fonksiyonu; olur.

Poisson Dağılımının Karakteristikleri Dağılıma ilişkin ortalama, E(X)= = Dağılıma ilişkin varyans, 2= Dağılıma ilişkin standart sapma,

Örnekler Örnek : Bir sağlık ocağına bir yılda gelen yaşlı ve sosyal yardım isteyen hastaların ortalama sayısı 20 olsun. Burada raslantı değişkeni X bir Poisson dağılımı göstersin. 3 ayda gelecek hasta sayısı ortalama ne olur? Dört ayda 1 hasta gelme olasılığı nedir? Burada 3 aylık zaman diliminin [t=12(1/4)=3] yani, ¼’ü kullanılmıştır. t=1 yıl iken =20, t=1/4 ay iken t=201/4=5 olur. 3 ayda1 hasta gelme olasılığı, olur.

dir. Yılda 2000 dosyanın kayıtlara geçtiği bir hastanede hatalı bilgi içeren dosyaların ortalama hata sayısı =0,4 olan Poisson dağılımına uymaktadır. X raslantı değişkeni hata sayısı olup, X raslantı değişkeninin olasılık fonksiyonu; dir.

Problem Bir sosyal hizmetler kurumunda bir yıl içinde tutulan dosyalarda, hiç hatalı bilgi içermeyen, 1 hata içeren, 2 hata içeren, 3 hata içeren dosyaların bulunma olasılıklarını ve 2000 dosyada kaç tane bulunacağını hesaplayınız. 0,670320001340 adet

0,26812000536 adet 0,05362000107 adet 0,0072200014 adet

Örneğin: t = .50 için P(x = 2) 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1 2 3 4 5 6 7 0.9048 0.0905 0.0045 0.0002 0.0000 0.8187 0.1637 0.0164 0.0011 0.0001 0.7408 0.2222 0.0333 0.0033 0.0003 0.6703 0.2681 0.0536 0.0072 0.0007 0.6065 0.3033 0.0758 0.0126 0.0016 0.5488 0.3293 0.0988 0.0198 0.0030 0.0004 0.4966 0.3476 0.1217 0.0284 0.0050 0.4493 0.3595 0.1438 0.0383 0.0077 0.0012 0.4066 0.3659 0.1647 0.0494 0.0111 0.0020 Örneğin: t = .50 için P(x = 2)

KAYNAKLAR Yüksel, İ,. “İstatistik ve Olasılık Ders Notları”, 2011 KAYNAKLAR Yüksel, İ,. “İstatistik ve Olasılık Ders Notları”, 2011. Bulu, A., “İstatistik Problemleri”, İTÜ, İnşaat Fakültesi.