Yrd.Doç.Dr.İstem Köymen KESER

Slides:



Advertisements
Benzer bir sunumlar
Hâsılat kavramları Firmaların kârı maksimize ettikleri varsayılır. Kâr toplam hâsılat ile toplam maliyet arasındaki farktır. Kârı analiz etmek için hâsılat.
Advertisements

MED 167 Making Sense of Numbers (Sayıları Anlamlandırmak)
Çözünme durumuna göre Tam çözünme: Bir elementin diğeri içerisinde sınırsız çözünebilmesi. Hiç çözünmeme: Bir elementin diğeri içinde hiç çözünememesi.
Önem Testleri. Örnekleme yoluyla sağlanan bilgiden hareketle; Kliniklerde hasta hayvanlara uygulanan yeni bir tedavi yönteminin eskisine kıyasla bir farklılık.
HİPOTEZ TESTLERİNE GİRİŞ 1. Şu ana kadar örneklemden elde edilmiş istatistiklerden yararlanarak, kitle parametresini kestirebilmek için nokta tahmini.
DEPREME DAYANIKLI BETONARME YAPI TASARIMI
MED 167 Making Sense of Numbers Değişkenlik Ölçüleri.
Parametrik ve Parametrik Olmayan Testler Ortalamaların karşılaştırılması t testleri Mann-Whitney U testi Wilcoxon İşaretli Sıra testi BBY252 Araştırma.
OLASILIK TEOREMLERİ Permütasyon
DİRENÇ. Cisimlerin elektrik akımını geçirirken gösterdiği zorluğa direnç denir. Birimi ohm olup kısaca R ile gösterilir. Devredeki her elemanın direnci.
İSTATİSTİK II BAĞIMSIZLIK TESTLERİ VE İYİ UYUM TESTLERİ “ c2 Kİ- KARE TESTLERİ “
ÖRNEKLEME YÖNTEMLERİ ve
HİPOTEZ TESTLERİNE GİRİŞ Şu ana kadar örneklemden elde edilmiş istatistiklerden yararlanarak, kitle parametresini kestirebilmek için nokta tahmini.
OLASILIK ve İSTATİSTİK
OLASILIK ve İSTATİSTİK
Çoklu Doğrusal Bağlantı X3X3 X2X2 r X 2 X 3 = 1 Tam Çoklu Doğrusal Bağlantı.
Istatistik I Fırat Emir.
HİPOTEZ TESTLERİ VE Kİ-KARE ANALİZİ
İSTATİSTİK II Hipotez Testleri 1.
Sıklık Dağılımları Yrd. Doç. Dr. Emine Cabı.
Yrd.Doç.Dr.İstem Köymen KESER
DERS2 Prof.Dr. Serpil CULA
T- Testİ: ORTALAMALAR ARASI FARKLARIN TEST EDİLMESİ
ÖRNEKLEME.
Kİ-KARE DAĞILIMI VE TESTİ
1. Bernoulli Dağılımı Bernoulli dağılımı rassal bir deneyin sadece iyi- kötü, olumlu-olumsuz, başarılı-başarısız, kusurlu-kusursuz gibi sadece iki sonucu.
İSTATİSTİK II Hipotez Testleri - 2.
Yapay Sinir Ağı Modeli (öğretmenli öğrenme) Çok Katmanlı Algılayıcı
MODEL YETERSİZLİKLERİNİ DÜZELTMEK İÇİN DÖNÜŞÜMLER VE AĞIRLIKLANDIRMA
Ünite 9: Korelasyon Öğr. Elemanı: Dr. M. Cumhur AKBULUT.
Ünite 8: Olasılığa Giriş ve Temel Olasılık Hesaplamaları
Kütle ortalamasının (µ) testi
MAT – 101 Temel Matematik Mustafa Sezer PEHLİVAN *
Bilimsel Araştırma Yöntemleri Raporlaştırma
-MOMENT -KÜTLE VE AĞIRLIK MERKEZİ
6-Proje Maliyet Yönetimi
MAT – 101 Temel Matematik Mustafa Sezer PEHLİVAN *
DEĞİŞKENLİK ÖLÇÜLERİ.
ÖZELLİK FAKTÖR KURAMI.
KÜMELER HAZIRLAYAN : SELİM ACAR
İSTATİSTİK Yrd. Doç. Dr. Cumhur TÜRK
385 kişiye yapılan anket soruları aşağıdaki verilmiştir.
PARAMETRİK HİPOTEZ TESTLERİ
BENZETİM Prof.Dr.Berna Dengiz 13. Ders Çıktı Analizi
Geçerlik ve Kullanışlılık
ANALİTİK KİMYA DERS NOTLARI
Evren-Örneklem, Örnekleme Yöntemleri 2
ÖLÇEKLER ÖLÇMEDE HATA KORELASYON
B- Yaygınlık Ölçüleri Standart Sapma ve Varyans Değişim Katsayısı
ÖLÇME-DEĞERLENDİRME 1.DERS
Yrd.Doç.Dr.İstem Köymen KESER
İSTATİSTİK II Varyans Analizi.
Tezin Olası Bölümleri.
Ölçme Sonuçları Üzerinde Test ve Madde İstatistiklerini Hesaplama
İSTATİSTİK II Hipotez Testleri 3.
HİPOTEZ TESTLERİ.
Evren-Örneklem, Örnekleme Yöntemleri 1
NİŞANTAŞI ÜNİVERSİTESİ
Veri ve Türleri Araştırma amacına uygun gözlenen ve kaydedilen değişken ya da değişkenlere veri denir. Olgusal Veriler Yargısal Veriler.
Kesikli Olay benzetimi Bileşenleri
Sınıf Öğretmenlerinin Eğitsel Amaçlı İnternet Kullanım Öz Yeterlikleri
BİLİMSEL ARAŞTIRMA YÖNTEMLERİ
OLASILIK Uygulamada karşılaşılan olayların birçoğu kesin olmayan diğer bir ifadeyle belirsizlik içeren bir yapıya sahiptir. Olasılık kavramı kesin olmayan.
RASTGELE DEĞİŞKENLER Herhangi bir özellik bakımından birimlerin almış oldukları farklı değerlere değişken denir. Rastgele değişken ise tanım aralığında.
Bilimsel Araştırma Yöntemleri
Yrd.Doç.Dr.İstem Köymen KESER
İSTATİSTİK II Örnekleme Dağılışları & Tahminleyicilerin Özellikleri.
2. HAFTA Bilimsel Araştırma Temel Kavramlar.
Kararların Modellenmesi ve Analizi Ders Notu III
İSTATİSTİK II BAĞIMSIZLIK TESTLERİ VE İYİ UYUM TESTLERİ “ c2 Kİ- KARE TESTLERİ “
Sunum transkripti:

Yrd.Doç.Dr.İstem Köymen KESER GÜVEN ARALIKLARI Yrd.Doç.Dr.İstem Köymen KESER

Tahminler Nokta Tahmini Aralık Tahmini

Uygulamada çoğu sorun için nokta tahmini yeterlidir Uygulamada çoğu sorun için nokta tahmini yeterlidir. Örneğin, büyük bir parti maldan rassal seçilmiş parçaların incelenmesi, bütün parçaların %10’unun kusurlu olmuş olduğu tahminini ortaya koymuş olsun. Bu sayıyı gören bir yönetici şöyle sorular sorabilir. Bu sayıyı gören bir yönetici şöyle sorular sorabilir: “Gerçek kusurlu oranının %5 ile %15 arasında olduğundan az çok emin olabilir miyim?” “Bu durumda bütün parçaların %9 ile %11 arasındaki bir oranının kusurlu olduğu mu görülüyor?”

Böyle sorular tek bir nokta tahmininin güvenilirliğini sorgulamaktadır Böyle sorular tek bir nokta tahmininin güvenilirliğini sorgulamaktadır. Daha doğrudan söylenirse, tahmini yapılan büyüklüğün arasında kalacağı bir aralık demek olan aralık tahmini sorulmaktadır. Bir anakütleden örnekleme yaparken diğer tüm etmenler aynı kaldığında hacmi büyük bir örnekten hacmi küçük bir örneğe göre daha güvenli bilgi sağlamayı bekleriz. Ancak bu etmen nokta tahminine yansımamaktadır.

Örneğin, bir partideki kusurlu parça oranı konusundaki nokta tahminimiz, on parçalık bir örnekte (örneklemde) bir kusurlu parça görsek de, 1000 parçalık bir örnekte 100 kusurlu parça bulsak da değişmez. Anakütle katsayılarına ilişkin bilgilerimizin hassalığı aralık tahminine yansır. Bir diğer deyişle örnek büyüklüğü artıkça, diğer tüm etmenler aynı kaldığında, bir anakütle katsayısının gerçek değeri konusundaki belirsizliğimizi yansıtan güven aralığı azalır.

Tanım 1: Bir anakütle katsayısının aralık tahmin edicisi, o anakütle katsayısının içine düşebileceği bir aralığı (örnekleme bilgisine dayanarak) belirlemenin bir kuralıdır. Buna karşılık gelen tahmine de aralık tahmini denir.

Aralık tahmin edicileri gerçek ama bilinmeyen anakütle katsayılarını “içerebilir” yada içermesi “çok olası” diye tanımlanmıştır. Daha hassas bir açıklama yapmak için bu terimler olasılık ifadelerine dönüştürmek gerekir. tahmin edilecek anakütle katsayısını θ ile gösterelim. bir rassal örnek seçildiğini ve bu örnek bilgisine dayanarak A, B’den küçük olmak üzere A ile B gibi iki rassal değişken bulunabileceğini düşünelim. Bu rassal dağişkenler, A’nın θ küçük ve B’nin θ’dan büyük olma olasılığı 0.90 gibi bir özellik taşıyorsa, P(A< θ<B) = 0.90 yazılabilir.

Eğer A ile B belli örnek genişlemeleri ile a ile b şeklinde gösterilirse o zaman a ile b aralığına %90 güven aralığı denir. Olasılık kavramına göre bu tür olasılıklar şöyle yorumlanabilir: Eğer anakütleden tekrarlı örneklemeler alınır ve bu yolla aralıklar hesaplanırsa, bu aralıkların %90’ı bilinmeyen anakütle katsayısını içerir.

Tanım 2: θ bilinmeyen bir anakütle katsayısı olsun Tanım 2: θ bilinmeyen bir anakütle katsayısı olsun. Örnek bilgisine dayanarak, P(A< θ<B) = 1-α eşitliğini sağlayan A ve B rassal değişkenlerini bulabileceğimizi düşünelim. A ile B belli örnek seçimleri ile a ile b olarak gösterilirse, bu durumda a ile b aralığına θ’nın %100(1- α) güven aralığı denir. (1- α) büyüklüğü de, bu aralığın olasılık içeriği ya da güven düzeyi adını alır. eğer anakütleden çok büyük sayıda yinelenen örnekler seçilirse bu yolla bulunan aralıkların %(1- α) oranı, θ katsayısını içerecektir. Bu yolla hesaplanan güven aralığı a< θ<b şeklindedir.

Alt değer < anakütle parametresi < Üst değer Tanımlar Güven Aralığı (veya Aralık Tahmini) Bir anakütle parametresinin gerçek değerini tahmin etmek için kullanılan değerler aralığı Alt değer < anakütle parametresi < Üst değer page 298 of text Örnek olarak Alt değer <  < Üst değer

Tanımlar Güven Derecesi genellikle 90%, 95%, veya 99% (güven seviyesi veya güven katsayısı) güven aralığı, 1 -  olasılığı ile anakütle parametresini içerir. genellikle 90%, 95%, veya 99% ( = 10%), ( = 5%), ( = 1%) page 299 of text The symbol  will be used often throughout the text. Develop a solid understanding of it now.

Bir güven aralığının yorumu 98.08o < µ < 98.32o Doğru: 98.08 ve 98.32 aralığı, %95 olasılıkla ’nün gerçek değerini içerir. Yanlış:  nün gerçek değerinin 98.08 ile 98.32 arasına düşmesi olasılığı %95’tir. The example that will be covered later will produce this confidence interval based on the Chapter Problem data of 106 body temperatures. Careful interpretation of confidence intervals is important.

1. BİR NORMAL DAĞILIM ORTALAMASININ GÜVEN ARALIKLARI : ANAKÜTLE VARYANSI BİLİNİYOR Ortalaması bilinmeyen ama varyansı bilinen bir normal dağılımdan rassal bir örnek seçildiğini amacın da anakütle ortalamasının güven aralığını bulmak olduğunu varsayalım. Bu sorun gerçeklikten uzaktır, çünkü ortalama bilinmezken anakütle varyansının tam olarak bilinmesi (olanaksız değilse de) ender bir durumdur. Ancak kimi zaman benzer anakütlelerden o denli örnek alınır ki, sözkonusu anakütlenin varyansının, geçmiş deneyimlere dayanılarak büyük bir yaklaşıklıkla bilindiği varsayılabilir. Aynı zamanda örnek hacmi yeterince büyükse anakütle varyansının bilindiği durum için geliştirilen süreçler bu varyans örnekten tahmin edilirse de uygulanabilir.

Bilinmeyen ortalaması μ ve bilinen varyansı olan bir anakütleden çekilen rassal bir örneğin gözlemleri ve örnek ortalaması olsun. Bu durumda anakütle ortalamasının güven aralıkları, rassal değişkeninin standart bir normal dağılıma uyduğu bulgusuna dayanır. X1, X2, …, Xn

Anakütle ortalamasının %90 güven aralığını bulmak istediğimizi varsayalım. Standart normal değişken için P(Z<1.645) =0.95 P(Z>1.645) =0.05 şeklindedir. Benzer şekilde simetriklik özelliğinden dolayı P(Z<-1.645)= 0.05 şeklindedir. Özetle Z’nin -1.645 ile 1.645 arasında bulunma olasılığı P(-1.645<Z< 1.645) = 1-P(Z>1.645) – P(Z<-1.645)= 0.95-0.05 =0.90 şeklindedir. Özetle standart normal bir rassal değişkenin -1.645 ile 1.645 arasında olma olasılığı 0.90 şeklindedir.

Buradan anakütle ortalaması için bir güven aralığına dönüştürürsek P(-1.645<Z<1.645)=0.90 P(-1.645< <1.645)=0.90 şeklindedir. Bu aralığın μ ‘yü içerme olasılığı 0.90’dır. Bir diğer deyişle ve aralığı μ’nün %90 güven aralığıdır.

Standart sapması 6 olan normal dağılımdan seçilmiş onaltı gözlemli rassal bir örnek ortalaması 25’dir. Anakütle ortalaması μ için %90 güven aralığını oluşturunuz. (Newbold sayfa 303)

Anakütle ortalamasının bir güven aralığı örnek ortalamasının bir gözlenen değerine- örnekleme dağılımından çekilmiş bir gözlem değerine-dayanır.

Genellersek,

Tanım 3: Bir Normal Anakütle Ortalamasının Güven Aralıkları: Anakütle Varyansı Biliniyor Ortalaması μ, varyansı olan bir normal dağılımdan çekilen n gözlemli rassal bir örnek olsun. biliniyorsa, gözlenen örnek ortalaması da ise anakütle ortalamasının güven aralığı Şeklindedir. Burada aşağıdaki eşitliği sağlar: P(Z > ) = α/2 şeklindedir. Z rassal değişkeni standart normal dağılıma uyar. Bir diğer deyişle, şeklindedir.

Örnek: Bir üretim süreci torba içinde rafine şeker üretmektedir Örnek: Bir üretim süreci torba içinde rafine şeker üretmektedir. Bu torbaların içerik ağırlıkları standart sapması 1.2 kg olan normal dağılıma uymaktadır. Yirmibeş torbalık rassal bir örnekte ortalama ağırlık 19.8 kg çıkmıştır. Bu süreçte üretilen bütün şeker torbalarının ortalama ağırlığının %95 güven aralığını bulunuz. (Newbold, sayfa 307)

 

Güven Aralığının Özellikleri: Verilmiş bir olasılık içeriği ve örnek büyüklüğü için anakütle standart sapması σ büyüdükçe, anakütle ortalamasının güven aralığı da genişler. Bir diğer deyişle diğer her şey aynıyken anakütlenin kendi ortalaması etrafındaki dağılımı ne kadar yaygınsa, ortalamaya ilişkin çıkarsamalar o kadar belirsiz olur. Bu fazladan belirsizlik daha geniş güven aralığı çıkarır. Verilmiş bir olasılık ve anakütle standart sapması için örnek hacmi büyüdükçe anakütle ortalamasının güven aralığı da daralır. Bir diğer deyişle bir anakütleden ne kadar çok bilgi alırsak onun ortalamasına ilişkin çıkarsamamız o kadar hasssas olur. Bu fazladan hassalık daha dar güven aralığı çıkarır.

Verilen bir anakütle standart sapması ve örnek büyüklüğü için, olasılık içeriği (1-α) yükseldikçe, anakütle ortalamasının güven aralığı da genişler. (1-α) genişledikçe α küçülür dolayısıyla büyür. Olasılık içeriği yükseldiğinden anakütle katsayılarının daha geniş güven aralıklarına yansır.