X-IŞINLARI KRİSTALOGRAFİSİ “Uzay Grupları” Prof. Dr. Ayhan ELMALI

Tanım: kristal uzayında bir atom yada bir molekülü simetri işlemleri ile eşlenik noktalara götüren simetri öğelerinin oluşturduğu gruba uzay grubu denir. Nokta grupları ile ötelemelerin bileşimleri uzay gruplarını verir. Ötelemeler iki kaynaktan gelir. Birincisi örgü ötelemeleri, ikincisi de dönme eksenlerine paralel vida ötelemeleri ile simetri düzlemine paralel kayma ötelemeleridir. Örgü ötelemelerinin on dört çeşit Bravais uzay örgü tipini verdiğini biliyoruz.

İşlemlerin Çarpım Şeklinde Gösterilmesi Bir A işleminden sonra B işlemi uygulanırsa, “A.B” ile bu işlemler gösterilebilir. Aynı işlemin tekrarlanması, A.A.A…=An şeklinde yazılır. A.A-1 = A0 = 1 bir işlemin yapılmadığını veya bir işlemin iki yönde art arda tapıldığını belirtir. Bir çarpımın tersi, öğelerinin terslerinin ters yönde çarpımıdır. C-1.B-1.A-1.A.B.C=C-1.B-1.B.C =C-1.C = 1

Bir İşlemin Başka Biri İle Dönüşümü A-1.B.A şeklindeki bir çarpımın geometrik olarak ne anlama geldiğini görelim. A ve B kesişen iki dönme eksenini belirtiyor. A-1, K→L B, L →M A, M →N A-1.B.A, K →N getirmiştir. A-1.B.A = B’ yazabiliriz. B’ ye, B nin A aracılığıyla ya da kısaca A ile dönüşümü denir. B ekseninin A vasıtası ile dönüşmüşü B’ eksenidir. A L A-1 K B’ B M N

B nin T ≡ t ile dönüşümü B’ dür. A ve B nin dönme işlemi olması zorunlu değildir. B bir dönme ve T de öteleme ise; T-1 .B.T = B’ Bir çarpımda değişme(permütasyon) özelliğinin olması için birinin diğeri ile dönüşmüşünün kendisine eşit olması gerekir. A.B = B.A Her iki tarafı önden B-1 ile çarpalım. B-1.A.B = B-1. B.A = A B nin T ≡ t ile dönüşümü B’ dür. T-1 2 T = t 1 B t B’ 3 4

Vida Eksenleri Dönme ve Ötelemenin Bileşimi Dönme ile buna dik bir (T┴) ötelemesinin bileşimini biliyoruz. Aα ekseni etrafındaki α dönmesi ile bu eksene dik bir t ötelemesinin Aα ya paralel bir Bα dönmesine eşdeğer olduğunu ve Bα nın başlangıçtan geçen ve Aα ya dik olan düzlemde, t nin ortasından çıkılan dikme üzerinde h= (t/2)cotα/2 uzaklıkta bulunduğunu biliyoruz. Bunu kısaca Aα .T┴=Bα şeklinde yazabiliriz. B-1α .Aα . T┴ = B-1α .Bα = 1 ya da B-1α .Aα = T-1┴ , B-α .Aα = T-1┴ Yani eşit dönmeli iki dönme ekseninin bileşimi bir dik ötelemeye eşdeğerdir.

Şimdi herhangi bir T ötelemesi ile bir Aα ekseninin bileşimini görelim Şimdi herhangi bir T ötelemesi ile bir Aα ekseninin bileşimini görelim. Herhangi bir T ötelemesi biri Aα eksenine dik T┴ ve diğeri Aα ya paralel Tll bileşenlerine ayrılmıştır. Sadece T┴ bileşeni var olsaydı Bα ekseni elde edilirdi. Sadece Tll bileşeni var olsaydı ne olurdu? Aα Bα (T┴) T Tll h O T┴

Aα, P→V Tll , V→Q Bu döndürme ve öteleme hareketleri P noktasına aynı zamanda, yani birlikte uygulansa ve devam ettirilse P noktası, PQ parçası kesik çizgilerle görülen bir helis çizer. Bu bileşik hareket şu denklemle verilebilir. Aα .Tll = Tll . Aα =Aα,T ( Tll=τ) Aα Q Tll O α V P

Vida Eksenlerinin Çeşitleri Kristalin birim hücrelerinin birbirinin kopyaları olduğunu biliyoruz. Simetri öğeleri bir molekülü birim hücre içerisinde belli eşlenik noktalara taşırlar. Bir kristalde bulunan tüm simetri öğelerinin kullanılışı sonunda bir birim hücre içeriği oluşur. Artık bütün birim hücrelerde belli olmuş demektir. Ötelemelerin daima birim hücre boyutları ile ilişkili olma zorunluluğu vardır. Aksi halde birim hücrelerin birbirlerinin kopyaları olma özelliği bozulurdu. Şu halde kristal içerisindeki her türlü t ötelemesi ya a, b, c kadar ya bunların belli kesirleri kadar ya da bunların toplamları kadar olmak zorundadır . n ye bağlı olarak ד vida ötelemesi de a, b, c nin bir tam sayıda biri kadar olmalıdır. Yani α dönmeleri 360º ye tamamlandığında n.ד da örgü boyutunun bir m tam katı olmalıdır. n. ד = m.t → ד=mt/n t; a, b veya c yi göstermektedir. n=1, 2, 3, 4, 6 ve m=0, 1,…n-1 olabilir. Çünkü ד nun; a, b, c den büyük olması durumunda birim hücrenin dışına çıkılmış olur.

Birli eksen vida ekseni olamaz. 4’lü eksen halinde vida adımları; ד=0 t, 1 t, 2 t, 3 t 4 4 4 4 ד=0 için 40≡4, ד=(1/4)t→41 ד=(2/4)t →42 ve ד =(3/4)t→43 simgeleri kullanılır. Karışık dönme eksenleri vida ekseni olamaz. 40 41

42 43 2 21

3 31 32 m

6 63 61 65 m

62 64 m

Vida Eksenlerinin Belirlediği Eşlenik Noktaların Koordinatları 3 y x x 2 y y x 4 x x y 1 y Örnek olarak başlangıçtan geçen ve x-y düzlemine dik olan 41 ekseninde 1 numaralı atomun koordinatları (x, y, z) olsun. Diğer eşlenik noktalar; 1(x, y, z) 2(y, x, 1/4+z) 3(x, y, 2/4+z) 4(y, x, ¾+z)

Yine başlangıçtan geçen ve x, y düzlemine dik olan 1 42 ekseninin belirlediği 1, 2, 3 ve 4 eşlenik noktaların koordinatları; 1(x,y,z); 2(y,x,2/4+z); 3(x,y,4/4+z  z); 4(y,x,6/4+z  2/4+z) 43 ekseninin belirlediği eşlenik noktaların koordinatları; 1(x,y,z); 2(y,x,3/4+z); 3(x,y,6/4+z  2/4+z); 4(y,x,9/4+z  1/4+z)