OLASILIK ve İSTATİSTİK BÖLÜM 6 ÖRNEKLEME TEORİSİ Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU

6-ÖRNEKLEME TEORİSİ İncelenen olayın ait olduğu anakütlenin bütünüyle dikkate alınması zaman, para, ekipman ve bunun gibi nedenlerden dolayı mümkün değildir. Bunun için anakütleyi temsil eden örnekler üzerinde çalışılır ve elde edilen sonuçlar kullanılarak anakütle hakkında bazı tahminler yapılır. Yapılan tahminlerin kesin sonuca yakınsayabilmesi, çekilen örneklerin anakütleyi temsil edebilmesine bağlıdır. Örneğin: seçimden önce sonuçların tahmini, üretilen malların tüketiciye gönderilmeden önce belirli özelliklere (sözgelimi standartlara) uygun olup olmadıklarının tahmini Makine elemanın ömrünün tahmini gibi günlük yaşamda sık yapılan bu işlem için anakütle yerine bu anakütleden örneklerin çekilmesi, incelenmesi ve sonuçlara ulaşılması örnekleme teorisinin konularını oluşturur.

6-ÖRNEKLEME TEORİSİ Olasılık yoğunluk fonksiyonu /olasılık fonksiyonu ve dağılım fonksiyonu bir rastgele değişkenin komple (tam) tanımlamasını içermektedir. Ancak bu fonksiyonlar, ana kütleden elde edilen örnekler üzerinden hesaplanmaktadır veya tanımlanmaktadır. Kimi durumlarda rastgele değişkene ait tasvir edici parametrelerin hesaplanması, o rastgele değişkene ait genel özet bilgilerin elde edilmesi istenir. Bu özet bilgilerden en önemlisi beklenen değer (expected value-matematiksel ümit) olarak ifade edilir. Rastgele değişkene ait beklenen değer Kesikli Rastgele Değişken Sürekli Rastgele Değişken

6-ÖRNEKLEME TEORİSİ Örnek: Bir süpermarket için müşterinin kasada bekleme zamanı (X)i tanımlayan olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir: Müşterilerin ortalama bekleme sürelerini bulunuz. . Örnek Çözüm: Müşterilerin ortalama bekleme süreleri 1/2 zaman birimidir (dakika, saat, ... vb)

6-ÖRNEKLEME TEORİSİ Örnek: Örnek Çözüm: X rastgele değişkeni zar atışında bir zarın alacağı değerleri göstermektedir. E(X) =? Örnek Çözüm: X ‘in alacağı muhtemel değerler: 1, 2, 3, 4, 5 ve 6 dır. Dolayısıyla X rastgele değişkenin olasılık fonksiyonu: Bir Zar atıldığında böyle bir sayı ile karşılaşılabilir mi???

6-ÖRNEKLEME TEORİSİ BÜYÜK SAYILAR YASASI İstatistiksel kurallarda rastlantıya bağlı bir olayın çok (sonsuz) kez yinelenmesiyle farklılaşmaya yol açan rastgele nedenlerin birbirini dengeleyeceği düşünülmektedir. Böylece, çok kez tekrar halinde, belirli ve önemli olan nedenlerin etkisinin “ortalama değer” olarak görülebileceği kabul edilmektedir (büyük sayılar yasası). Bu teorem, n yeterince büyük olduğunda rastgele değişkenin gözlemlenen değerleri yaklaşık olarak ortalama değerine eşit olma olasılığı oldukça büyüktür. Dolayısıyla zar atışında beklenen değerin 3.5 olması, 3.5 değerini gözlemleyeceğimiz anlamına gelmez. Bir zarın pek çok kez atılması neticesindeki ortalama değer yaklaşık olarak 3.5 olduğu söylenebilir.

6-ÖRNEKLEME TEORİSİ MERKEZİ LİMİT TEOREMİ Açıklayıcı İstatistikte çok önemli olan Merkezi Limit Teoremi: Ortalaması  ve varyansı 2 olan herhangi bir anakütleden rastgele çekilen n birimlik örneklerin ortalamalarının dağılımı normal, ortalaması  ve varyansı 2/n dir. Bu gibi durumlarda kullanılacak Z eşitliği aşağıdaki biçimde olacaktır Bu teoremin bir sonucu olarak; örnekteki birim sayısı yeterince büyük olduğunda İlişkisi anakütlenin dağılımına bakılmaksızın yazılabilmektedir.

6-ÖRNEKLEME TEORİSİ MERKEZİ LİMİT TEOREMİ Örnek 1: Bir torbada İlk Top İkinci Top Örnek ortalaması 1 3 2.0 2 1.5 4 1.0 5 3.0 6 7 8 9 3.5 10 11 12 13 14 15 2.5 16 4.0 17 18 19 20 21 22 5.0 23 24 25 Örnek 1: Bir torbada 20 top->1 20 top->2 20 top->3 20 top->4 20 top->5 olarak işaretlenmiş olsun. Bu torbadan iadeli olmak koşuluyla 2 top çekilmektedir. Burada örnek sayısı 2 olmaktadır. Bu işlem 25 kez tekrarlandığında yandaki tabloda verilen değerler gözlemlenmiştir.

6-ÖRNEKLEME TEORİSİ Örneklerin ortalamalarının olasılıkları Örnek Ortalaması Frekans Nisbi Frekans Olasılık 1.0 3 3/25 0.12 1.5 4 4/25 0.16 2.0 7 7/25 0.28 2.5 2 2/25 0.08 3.0 3.5 4.0 1 1/25 0.04 4.5 0/25 0.00 5.0

6-ÖRNEKLEME TEORİSİ n=5 n=20 n=10

6-ÖRNEKLEME TEORİSİ Binom Dağılımının Normale Yaklaşımı Örnek hacmi çok büyük ve p’nin 0.5’ yakın ise; Bu gibi durumlarda p=0.5 değerine yakınsıyorsa binom dağılımı normal dağılıma yakınsamakta ve ilgili problemin çözümü normal dağılım ile yapılabilmektedir. Binom dağılımına normal dağılım yaklaşımında aşağıdaki formül kullanılır: Binom dağılımın parametreleri µ=np ve σ= 𝑛𝑝𝑞

6-ÖRNEKLEME TEORİSİ Örnek 2: Her biri 4 şıklı, 60 test sorulu bir sınavda dersle ilgili olmayan bir öğrencinin; a) 50 alması olasılığını hesaplayınız. b) 40 dan fazla not alması olasılığını hesaplayınız.

6-ÖRNEKLEME TEORİSİ Örnek Çözüm: Problem hem binom, hem de binoma normal yaklaşım ile çözelim. Bir soruyu doğru işaretleme olasılığı dir. a) Öğrencinin 50 alabilmesi için soruların yarısını (30 tanesini) doğru işaretlemesi gerekir. O halde; Binom dağılımına göre P(X=30) olasılığı hesaplanmalıdır.

6-ÖRNEKLEME TEORİSİ Örnek Çözüm Devam: Binoma normal dağılım yaklaşımında P(X=30) yerine bunun normal dağılımdaki karşılığı olan ifadenin olasılığı hesaplanmalıdır. Yani P(X=30)  P(29.5<X<30.5)

6-ÖRNEKLEME TEORİSİ Örnek Çözüm Devam: Aslında yukarıda hesaplanan P(Z>4.323) ve P(Z>4.626) değerleri sıfır değildir. Ancak, kullandığımız Z tablosunun hassasiyeti çok fazla olmadığından dolayı gerçekte sıfırdan farklı olan bu değerler yuvarlatma sonucu sıfır olarak tabloda görülmektedir. MATLAB kullanılırsa: clear all;clc P1=(1-normcdf([4.323])) P2=(1-normcdf([4.621])) P=P1-P2 P = 5.7866e-006

6-ÖRNEKLEME TEORİSİ Örnek Çözüm Devam: b) Bir sorunun değeri: öğrencinin 40 dan fazla not alabilmek için: veya daha fazla soruyu doğru cevaplamalıdır. Buna göre binom dağılımı ile hesaplama yapmak biraz fazla işlem yükü getirir. Bu nedenle sadece binom dağılımına normal dağılım yaklaşımı ile çözelim. Binoma normal dağılım yaklaşımında Binomdaki P(X=24) yerine bunun normal dağılımdaki karşılığı olan ifadenin olasılığı hesaplanmalıdır. Binom dağılımındaki ifadesi normal dağılımda olacaktır.

6-ÖRNEKLEME TEORİSİ Örnek 3: Bir işletme ürettiği bir makine parçası için gelen sipariş telefonlarının ortalama %40’ını anlaşma ile sonuçlandırmaktadır. İşletmeye söz konusu parça için açılan 100 adet sipariş telefonundan 45 ile 50 arasında telefonla anlaşma sağlanması olasılığı nedir?

6-ÖRNEKLEME TEORİSİ Poisson Dağılışının Normale Yaklaşımı Olayın ortaya çıkma ihtimali (p) çok küçük, tekrar sayısı (n) fazla ancak ortalama (µ=np) 5 veya daha büyük ise Poisson dağılışı normal dağılışa yaklaşım gösterir. Örnek 4: Bir fabrikada hatalı ürün üretme ihtimali 0.01’dir. Bin adetlik bir partide 15 adetten fazla hatalı ürünün olması ihtimali nedir?

6-ÖRNEKLEME TEORİSİ Örnekleme Ortalamasının Dağılımı N birimlik bir anakütleden rastgele çekilecek n birimlik örnek sayısı örneklemenin iadeli veya iadesiz yapılışına göre farklı sayıda olacaktır. Çekilecek örnek sayısı: Her iki durumda da çekilecek örnek ortalamalarının ortalaması, ana kütle ortalamasına eşittir. Örnek ortalamalarının varyansı:

6-ÖRNEKLEME TEORİSİ Anakütlenin dağılımı normal ise örnek ortalamasının dağılımı da normal olacaktır. Anakütlenin dağılımı bilinmese de örnek ortalamasının dağılımının merkezi limit teoremine göre normal dağılım olacaktır. Her iki durumda kullanılacak Z eşitlikleri:

6-ÖRNEKLEME TEORİSİ Örnek 5: Bir bölgedeki telefon görüşmeleri üzerine yapılan incelemede ortalama görüşme süresinin 8 dakika ve varyansının 4 olduğu belirlenmiştir. Rastgele seçilen 49 telefon görüşmesinde ortalama görüşme süresinin 7.8 dakika ile 8.4 dakika arasında çıkma olasılığı nedir?

6-ÖRNEKLEME TEORİSİ Çözüm: Anakütlenin dağılımı bilinmese de örnek ortalamasının dağılımının merkezi limit teoremine göre normal dağılım olacağından normal dağılım yardımıyla istenen olasılık değeri hesaplanabilir. Buna göre;

6-ÖRNEKLEME TEORİSİ İKİ ORTALAMA ARASINDAKİ FARKIN VE TOPLAMIN DAĞILIMI Herhangi iki anakütleden rastgele çekilen n1 ve n2 büyüklükteki örneklerin toplamına (ve farkına) ait değerlerin ortalaması, anakütle ortalamalarının toplam (ve farkına), varyansları ise örnek varyanslarının toplamına eşittir. Yani, Ortalamaların toplam ve farklarının dağılımı ya normaldir ya da yaklaşık olarak normaldir. Bu ifadenin yazılışı ve kullanılacak Z eşitliği:

6-ÖRNEKLEME TEORİSİ Örnek 6: Kablo üreticisi iki firmanın ürettikleri kabloların kopma mukavemetleri ortalamasının, sırasıyla 200 kg/cm2 ve 180 kg/cm2, standart sapmalarının 13.5 kg/cm2 ve 9 kg/cm2 olduğu belirtilmiştir. Bu iddianın doğru olup olmadığını test etmek isteyen tüketici bir firma ilk firmanın üretiminden rastgele 100 parça kablo, ikinci firmanın üretiminden rastgele 50 parça kablo almıştır. Üretici firmaların beyanatlarının doğru olduğu kabul edilirse; birinci ve ikinci firmanın kablolarının kopma mukavemetleri ortalamaları arasındaki farkın; a) En fazla 17 kg/cm2 çıkması olasılığı nedir? b) En az 15 kg/cm2 çıkması olasılığı nedir?

6-ÖRNEKLEME TEORİSİ Örnek Çözüm:

6-ÖRNEKLEME TEORİSİ Bir Oranın Dağılımı

6-ÖRNEKLEME TEORİSİ Örnek 7: Bir süpermarketten 50 milyon TL veya daha fazla bedelli ürün alan müşterilerin ortalama olarak %30’unun kredi kartı kullandığı belirlenmiştir. 50 milyon TL veya daha fazla bedelli ürün alan müşteriler arasından rastgele seçilen 100 müşteriden ödemesini kredi kartı ile yapanların oranının %20 ile %25 arasında çıkması olasılığı nedir?

6-ÖRNEKLEME TEORİSİ ÇÖZÜM: Örnek hacmi yeterince büyük olduğu için binom dağılımına normal dağılım yaklaşımı kullanılabilir.

6-ÖRNEKLEME TEORİSİ İki Oranın Toplamı ve Farkı Herhangi iki binom anakütlesinden rastgele çekilen n1 ve n2 birimlik örneklerden elde edilen oranların toplam ve farkları; ortalaması ve varyansı; olan yaklaşık normal dağılım gösterir. Z değeri ise aşağıdaki gibidir:

6-ÖRNEKLEME TEORİSİ Örnek 8: Pil üreten iki fabrikanın ürettiği pillerin dayanma sürelerini aşağıdaki şekilde açıklamışlardır: Birinci fabrika: Pillerimizin %80’i 200 saatin üzerinde dayanır İkinci fabrika: Pillerimizin %73’ü 200 saatin üzerinde dayanır Bunu test etmek isteyen bir tüketici örgütü birinci fabrikanın üretiminden rastgele 50 adet pil, ikinci fabrikanın üretiminden rastgele 60 pil almıştır. Birinci ve ikinci fabrikada üretilen pillerin dayanma oranları arasındaki farkın en az %10 olma olasılığı nedir?

6-ÖRNEKLEME TEORİSİ Binom dağılımına normal dağılım yaklaşımı ile çözülebilir.

6-ÖRNEKLEME TEORİSİ Kaynaklar 1- İstatistik ve Olasılık Ders Notları-Prof. Dr. Cafer ÇELİK 2- İstatistik ve Olasılık Ders Notları-Prof. Dr. İrfan KAYMAZ 3-İstatistiğe Giriş- Prof. Dr. Necati YILDIZ 4- İstatistik Analiz Metotları- Prof. Dr. Bilge ALOBA KÖKSAL 5- Mühendisler için İstatistik- Prof. Dr. Mehmetçik BAYAZIT