Diferansiyel Denklemler

... konulu sunumlar: "Diferansiyel Denklemler"— Sunum transkripti:

1 Diferansiyel Denklemler
Prof.Dr.Şaban EREN Ege Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü Bölüm Değişkenlerine ayrılabilir diferansiyel denklem tipi:

2 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
1.4.Değişkenlerine ayrılabilir diferansiyel denklem tipi:

3 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
1.4.Değişkenlerine ayrılabilir diferansiyel denklem tipi: (1.17) f(y) sadece y’nin, g(x) ise sadece x’in bir fonksiyonudur.

4 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
1.4.Değişkenlerine ayrılabilir diferansiyel denklem tipi: (1.17) f(y) sadece y’nin, g(x) ise sadece x’in bir fonksiyonudur. Yukarıdaki ifade f (y) dy = g (x) dx (1.18) şeklinde de yazılabilir.

5 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
(1.18) eşitliğinin her iki tarafının integrali alınırsa,

6 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
(1.18) eşitliğinin her iki tarafının integrali alınırsa, elde edilir.

7 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Örnek 1.8. (1.19) diferansiyel denkleminin özel çözümünü x = 0, y = 0 şartı için elde ediniz.

8 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Örnek 1.8. (1.19) diferansiyel denkleminin özel çözümünü x = 0, y = 0 şartı için elde ediniz. Verilen eşitliği değişkenlerine ayrılabilir diferansiyel denklem türüne dönüştürmeye çalışalım. (1.19) eşitliği düzenlenirse elde edilir.

9 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Görüldüğü gibi y değişkeni bir tarafta, x değişkeni diğer tarafta yer almaktadır. Her iki tarafın integrali alınırsa, (1.20) genel çözümü elde edilir. Burada y direk olarak x’in bir fonksiyonu şeklinde ifade edilmemektedir (y, x’in kapalı (implicit) bir fonksiyonudur).

10 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
x = 0, y = 0 (1.20) nolu eşitlikte yerine konursa, -1 =1 + A eşitliğinden A = -2 elde edilir. Bu değer (1.20)’de yerine konursa özel çözüm, (1.21) olarak bulunur.

11 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
x = 0, y = 0 (1.20) nolu eşitlikte yerine konursa, -1 =1 + A eşitliğinden A = -2 elde edilir. Bu değer (1.20)’de yerine konursa özel çözüm, (1.21) olarak bulunur. (1.21) nolu ifade düzenlenirse özel çözüm, şeklinde elde edilir.

12 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Değişkenlerine ayrılabilen diferansiyel denklem türüne ilişkin örnekler aşağıda sunulmuştur. Örnek: 1.9. diferansiyel denkleminin x = 1, y = 0 şartı için özel çözümünü elde ediniz.

13 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
eşitliğini önce değişkenlerine ayrılabilen tür haline dönüştürelim.

14 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Her iki tarafın integrali alınırsa,

15 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Her iki tarafın integrali alınırsa,

16 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Her iki tarafın integrali alınırsa,

17 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Her iki tarafın integrali alınırsa,

18 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Her iki tarafın integrali alınırsa,

19 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Her iki tarafın integrali alınırsa,

20 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
olduğundan,

21 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
olduğundan,

22 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
olduğundan,

23 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

24 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
x = 1 için y = 0 koşulu kullanılırsa

25 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
x = 1 için y = 0 koşulu kullanılırsa

26 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
x = 1 için y = 0 koşulu kullanılırsa elde edilir.

27 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Bu değer genel çözümde yerine konursa,

28 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Bu değer genel çözümde yerine konursa,

29 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Bu değer genel çözümde yerine konursa,

30 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

31 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

32 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

33 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

34 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

35 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
özel çözümü elde edilir.

36 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Örnek 1.10.

37 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Örnek 1.10.

38 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Örnek 1.10.

39 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Örnek 1.10.

40 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

41 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

42 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

43 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

44 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

45 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

46 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

47 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

48 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

49 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Örnek 1.11. diferansiyel denkleminin x = 0, y = 1 şartı için özel çözümünü elde ediniz.

50 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Örnek 1.11. diferansiyel denkleminin x = 0, y = 1 şartı için özel çözümünü elde ediniz. ifadesini değişkenlerine ayrılabilen tür haline dönüştürelim.

51 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Bu eşitliğin her iki tarafının integrali alınırsa,

52 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Bu eşitliğin her iki tarafının integrali alınırsa,

53 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Bu eşitliğin her iki tarafının integrali alınırsa,

54 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Bu eşitliğin her iki tarafının integrali alınırsa,

55 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Bu eşitliğin her iki tarafının integrali alınırsa,

56 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Bu eşitliğin her iki tarafının integrali alınırsa,

57 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

58 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

59 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

60 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

61 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

62 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

63 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

64 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

65 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

66 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

67 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
olarak elde edilir.

68 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
x = 0 iken y = 1 olduğundan

69 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
x = 0 iken y = 1 olduğundan

70 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
x = 0 iken y = 1 olduğundan

71 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
x = 0 iken y = 1 olduğundan

72 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
x = 0 iken y = 1 olduğundan özel çözümü bulunur.