Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER 9.HAFTA İÇERİĞİ 9.HAFTA İÇERİĞİ-

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER 9.HAFTA İÇERİĞİ 9.HAFTA İÇERİĞİ-"— Sunum transkripti:

1 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER 9.HAFTA İÇERİĞİ 9.HAFTA İÇERİĞİ-

2 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Doğrusal Cebirsel Denklemlerin Çözümü doğrusal (lineer) cebirsel denklemlerinin çözümü Denklem takımını eş zamanlı olarak sağlayan x 1, x 2,…x m değerlerinin bulunması doğrusal (lineer) cebirsel denklemlerinin çözümü olarak adlandırılır Bu denklemler: ??? b3 şeklinde ifade edilebilirler. a m n Burada a’lar katsayı, b’ler sabitler, m bilinmeyen sayısı, n de denklem sayısıdır

3 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Doğrusal Cebirsel Denklemlerin Çözümü Çözüm için gereken şart n=m olmalıdır. Bu durumda çözüm matrisi [A], boyutu n kareye eşit bir katsayılar matrisidir. A12 ve an2 ???? sabitlerden oluşan boyutu (n,1) olan bir sütun vektör ise bilinmeyenlerden oluşan (n,1) bir sütun vektördür.

4 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Doğrusal Cebirsel Denklemlerin Çözümü Burada çözüm elde etmek için denklemin her iki tarafı ile çarpılırsa; Bu durumda Böylece denklem x için çözülmüş olur. NOT: Matrislerde değişme özelliği yok. Birim matris olduğundan eşitlik:

5 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Doğrusal Cebirsel Denklemlerin Çözümü Çözüm üretmenin diğer bir yolu ise; Katsayılar matrisi A’nın boyutunu B matrisi ile büyütmektir. Bu durumda: elde edilir. Bu sayede; çözüm aranırken katsayılardan oluşan bir satır ile ona karşılık gelen sağ taraftaki sabit (b) üzerinde aynı işlemler uygulanır.

6 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Gauss Eleme Yöntemi Eş zamanlı denklemlerin çözülmesi için kullanılan en eski yöntemdir. Bilinmeyenleri elemek için denklemler birleştirilir. Eleme yönteminde öncelikle denk.ler üzerinde işlem yapılarak bilinmeyenlerden biri elenir. Bu işleme sırası ile 1 bilinmeyenli tek denklem kalana kadar devam edilir. Sonuçta tek denklem çözülerek sonuç bulunur. Elde edilen sonuç orijinal denklemlerden birinde geriye doğru yerine yazılarak kalan bilinmeyenler çözülebilir.

7 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER İki bilinmeyenli İki bilinmeyenli bir denklem takımı için örnek verecek olursak; -a 21 a denklem -a 21 ile 2. denklem ise a 11 ile çarpılır. x 2 için denklem düzenlenirse;

8 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER daha sonra bu ifade 1. denklemde yerine yazılırsa elde edilir. Bu temel yaklaşım daha fazla denklem içeren sistemlere genişletilerek; Bilinmeyenleri elemek ve geriye doğru yerine koymak için bir plan ya da algoritma geliştirilebilir. gauss elemedir Bu planlardan en temeli gauss elemedir.

9 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Gauss eleme yöntemi Gauss eleme yöntemi n tane denklemden oluşan genel sistemi çözmek için tasarlanmıştır. İki denklem için uygulanan 2 aşamalıdır yöntemde olduğu gibi 2 aşamalıdır. 1. aşamada bilinmeyenler elenir. 2. aşamada geriye doğru yerine konulur. a 21 /a 11 İlk denklem a 21 /a 11 ile çarpılır Bu ifade diğer tüm denklemlerden çıkartılırsa......

10 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Bu ifade diğer tüm denklemlerden çıkartılırsa Renkli kısımlar üslü biçimde kullanılarak orijinal değerin değiştirildiği gösterilirse şeklinde yazılabilir

11 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER pivot denklema 11 Bu işlemde ilk denkleme pivot denklem denir. a 11 ’e pivot katsayı denir. Yukarıdaki işlemler 2. bilinmeyi (x 2 ) yok etmek için tekrarlanır. a ’ 32 / a ’ 22 Bunun için 2. denk a ’ 32 / a ’ 22 ile çarpılır. Diğer denklemlerden çıkartılır Burada ( ’’ ) işareti elemanların 2 defa değiştirildiğini göstermektedir. Eleme işlemi (n-1). denklem kullanılarak n. dereceden x n-1. denklem yok edilinceye kadar devam edilir. Burada sistem üst üçgen sisteme dönüşür.

12 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Denklem genelleştirirsek; i= n-1, n-2, …, 1 Geriye doğru yerine koymada sırası ile xm bilinmeyenden başlayarak değerler hesaplanır ve bir önceki değiştirilmiş denklemde yerine yazılır Bu sonuç (n-1). Denklemde yerine yazılarak bilinmeyenler çözülür

13 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Denklem sistemini Gauss eleme yöntemi ile çözünüz. ÖRNEK Pivot katsayı Pivot denklem Pivot denklemi 0.1/3 ile çarpıyoruz. ???? İkinci denk.den çıkartıyoruz. İkinci Pivot denklem bu oldu işleme devam ediyoruz 1.Pivot denklemi 0.3/3 ile çarpıyoruz. Üçüncü denk.den çıkartıyoruz.

14 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER 2. pivot denklemi -0.19/ ile çarpıyoruz. ??? Bu ifade değiştirilmiş denklemde (2. pivot) yerine koyulursa ; 1.Pivot denklemde yerine yazarsak ; Üçüncü denk.den çıkartıyoruz.

15 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Gauss Jordan Yöntemi Gauss eleme yönteminin bir başka şeklidir. Temel fark 1. bilinmeyen elendiğinde sadece o satırdan sonraki satırlarda değil tüm denklemlerde elenir. Bu sayede eleme aşaması sonrasında üçgen matris yerine birim matris elde edilir. Katsayılar matrisini boyutu büyütülmüş matris olarak ifade edersek; 1. Satırı pivot seçerek 3’e bölelim

16 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER 1. Satırı 0.1 ile çarpıp 2.satırdan çıkartırsak, 0.3 çarpıp 3. satırdan çıkartırsak 1. Satırı 0.1 ile çarpıp 2.satırdan çıkartırsak, 0.3 ile çarpıp 3. satırdan çıkartırsak 2.Satırı bölersek 2.Satırı ile çarpıyoruz 1. satıra ekliyoruz ile çarpıp 3. satıra ekliyoruz.

17 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER 3. Satırı ’ye bölüyoruz. Son olarak 3. satırı ile çarpıp 1. satırdan, ve ( ) ile çarpıp 2. satırdan çıkartıyoruz. x1 x2 x3 x1 = 3 x2 = x3 =

18 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER ÖDEV Lineer denklem takımını basit Gauss eleme yöntemi ile çözünüz Lineer denklem takımını Gauss Jordon eleme yöntemi ile çözünüz


"Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER 9.HAFTA İÇERİĞİ 9.HAFTA İÇERİĞİ-" indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları