Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

1 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER 10.HAFTA İÇERİĞİ 10.HAFTA İÇERİĞİ.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "1 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER 10.HAFTA İÇERİĞİ 10.HAFTA İÇERİĞİ."— Sunum transkripti:

1 1 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER 10.HAFTA İÇERİĞİ 10.HAFTA İÇERİĞİ

2 2 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER İNTERPOLASYON (Ara değer bulma) İnterpolasyon işlemi, bilinen veri noktaları arasındaki bilinmeyen değerin tahmin edilmesidir. Genellikle tablo halinde verilen değerleri kullanarak tabloda olmayan bir değerin belirlenmesi gerekir. Bu işlem için interpolasyon kullanılır. İnterpolasyon işleminde bilinmeyen bir f(x) fonksiyonun; x o, x 1, x 2,…x n ayrık noktaları için verilen f(x o ), f(x 1 ), f(x 2 ) … f(x n ) değerlerini kullanarak bu fonksiyondan daha basit bir f i (x) interpolasyon fonksiyonu elde edilir. interpolasyon fonksiyonu f i (x) polinom, trigonometrik, üslü, logoritmik, ya da özel bir fonksiyon olabilir.

3 3 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER İNTERPOLASYON (Ara değer bulma) Genellikle interpolasyon fonksiyon olarak polinomlar kullanılır. Gösterim ise; şeklindedir. n+1 adet nokta için tüm noktalardan geçen n. dereceden bir polinom vardır. Polinom interpolasyonunda n+1 adet nokta için tüm noktalardan geçen n. dereceden bir polinom belirlenir. Daha sonra bu polinom kullanılarak ara değer hesaplanır. n+1 veri noktasından geçen n. dereceden bir polinomun çok sayıda ifade ediliş şekli vardır. Bunlardan en çok kullanılan ve bilgisayar uygulamalarına uygun olanları Newton ve Langrange polinomlarıdır.

4 4 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER İNTERPOLASYON (Ara değer bulma) Doğrusal polinom 1.dereceden Parabolik 2.dereceden Kubik polinom 3.dereceden Genel bir yöntem verilmeden önce 1. ve 2. dereceden interpolasyonlar basit ve sık kullanılmalarından dolayı anlatılacaktır.

5 5 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Doğrusal İnterpolasyon En basit interpolasyon iki nokta arasında doğru çizmektir. Bu durumda interpolasyon fonksiyonu 1. dereceden polinom yani doğru denklemi olur. Bu şekildeki interpolasyona doğrusal intepolasyon denilir. x x1x1 xoxo x f(x o ) f(x 1 ) f i (x) y f(x) f i (x) f i (x)  1.dereceden interpolasyon fonksiyonu f i (x) =a o +a 1 x şeklinde olacaktır f(x)  gerçek fonksiyon Bilinen noktalar olan x o ve x 1 için gerçek fonksiyonun değeri ile, interpolasyon fonksiyonun değeri aynı olacaktır. f(x o ) = f i (x o ) ve f(x 1 ) = f i (x 1 ) olur. Bu değerler interpolasyon denklemine x o ve x 1 ’in yerine konulmasıyla ile aynı olacaktır.

6 6 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Denk.(1) f(x o ) = a o +a 1 x o Denk (2) f(x 1 ) = a o +a 1 x 1 yazılır. İki bilinmeyen (a o ve a 1 ) ve iki denklem olduğundan; Denk (3) a o = f(x o )-a 1 x o bulunur ve 2. denklemde yerine yazılırsa; f(x 1 ) = f(x o )- a 1 x o +a 1 x 1 = f(x o ) + a 1 (x 1 -x o ) bulunur. Bu 3. denklemde yerine yazılırsa;

7 7 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER İNTERPOLASYON (Ara değer bulma) elde edilir. Bu interpolasyon denkleminde yerine konulursa; Kesme noktası Eğim Diğer bir yaklaşım ise üçgenlerin benzerliğinden yararlanılarak yazılır ve buradan f i (x) çekilirse; Genel olarak veriler ne kadar dar olursa, yaklaştırma da o kadar iyi olur.

8 8 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Örnek f(x)=1/x fonksiyonun x o = 1 ve x 1 = 5 için değerlerini kullanarak x=3 için değerini doğrusal interpolasyon yöntemi ile bulunuz.

9 9 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Örnek olduğuna göre x= 1.5 için değeri hesaplayınız x y

10 10 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Örnek (e x fonksiyonu için yandaki değerleri aldık) verilere göre x= 2.5 için y değerini doğrusal interpolasyon uygulayarak hesaplayınız x y

11 11 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER 2.dereceden interpolasyon Doğrusal interpolasyon ile bir eğriye bir doğru ile yaklaştırılma yapıldığından hata oluşmaktadır. İnterpolasyon için tahmini iyileştirmenin yolu noktaları birleştiren doğru yerine eğri kullanmaktır. Eğri, eğer bilinen üç nokta var ise, ikinci derece bir polinom (parabol) ile tahmin yapılabilir. 2.dereceden bir polinom: yazılacağı gibi(1) (2) şeklinde yazılabilir eşitliği vardır yukarıdaki (2) nolu denklemde x yerine x o yazılırsa,

12 12 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER bulunur. Aynı şekilde x 1 yazıldığında bulunur. Son olarak x 2 yazıldığında elde edilir

13 13 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Örnek Verilen üç noktadan geçen 2. dereceden polinom uydurun ve x=4 için y yi bulun. n x y x=4 için Bu fonksiyon f(x)= lnx ol.dan gerçek değer

14 14 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Newton Bölünmüş Fark İnterpolasyon Polinomları 2.dereceden elde edilen polinom fonksiyonunu n+1 veri için n. dereceden bir polinom uydurulması amacı ile genelleştirmek mümkündür. n.dereceden bir polinom; şeklindedir. Buradaki b o, b 1 …b n katsayıları veri noktaları kullanılarak bulunabilir. olur. Burada köşeli parantezli fonksiyon hesaplamaları sonlu bölünmüş farklardır

15 15 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Birinci dereceden sonlu bölünmüş fark; İkinci dereceden sonlu bölünmüş fark; n. dereceden sonlu bölünmüş fark;

16 16 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Sonlu farklar tablo yardımı ile de hesaplanabilir ixixi f(x)BirinciİkinciÜçüncü 0xoxo f(x o )f[x 1,x o ]f[x 2,x 1,x o ]f[x 3,x 2,x 1,x o ] 1x1x1 f(x 1 )f[x 2,x 1 ]f[x 3,x 2,x 1 ] 2x2x2 f(x 2 )f[x 3,x 2 ] 3x3x3 f(x 3 )

17 17 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Örnek Aşağıdaki tabloda verilen değerleri kullanarak f i (3) değerini Newton bölünmüş farklar yöntemi ile hesaplayınız. n x f(x)

18 18 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER n x f(x)

19 19 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER n x f(x)

20 20 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Aynı soruyu bölünmüş sonlu fark tablosu hazırlayarak çözelim. nxnxn f(x)BirinciİkinciÜçüncü

21 21 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Ödev Newton bölünmüş farklar yöntemleri ile interpolasyon fonksiyonunu bulunuz. n x f(x)


"1 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER 10.HAFTA İÇERİĞİ 10.HAFTA İÇERİĞİ." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları