Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER 3.HAFTA İÇERİĞİ -Newton-Raphson Yöntemi -İkiye Bölme Yöntemi -Örnekler.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER 3.HAFTA İÇERİĞİ -Newton-Raphson Yöntemi -İkiye Bölme Yöntemi -Örnekler."— Sunum transkripti:

1 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER 3.HAFTA İÇERİĞİ -Newton-Raphson Yöntemi -İkiye Bölme Yöntemi -Örnekler

2 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Newton Raphson Yöntemi Eğer kökün ilk tahmini x o ise, [x o, f(x o )] noktasındaki teğet uzatılabilir. Uzatılan teğetin x eksenini kestiği nokta genellikle kökün daha iyi bir tahminini verir. y= f(x) fks.nun x o değeri y o = f(x)’dır. P o noktasından çizilen teğetin eğimi tg(α) ’dır. 0 y x y=f(x) xoxo x1x1 kök Eğim= f | (x) yoyo y o - 0 x o - x 1 α PoPo

3 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER 0 y x y=f(x) xoxo x1x1 kök Eğim= f | (x) yoyo y o - 0 x o - x 1 α PoPo Aynı zamanda x o noktasındaki eğim bu noktadaki fonksiyonun türevine eşit olacağından : En genel şekilde: Buradan x 1 değeri ; Bir sonraki adımdaki değer:

4 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Newton-Raphson yönteminde iterasyona iki şekilde son verilir. x f(x)0 1)Bulunan x değeri için f(x) fks.nun değerinin 0’a yaklaşımına bakarak, 2)xε k 2)x değerinin bir önceki hesaplanan değerine ε k kadar yaklaşmasına bakarak; İterasyona son verilir. iterasyona son verme

5 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER f(x) = x 4 – 2x – 5 fks.nun bir kökünü, x o =2 alarak Newton-Raphson yöntemiyle çözünüz. ε k = ÖRNEK: ol.dan iterasyona devam

6 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER ol.dan işleme devam

7 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER ol.dan işleme devam

8 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER ol.dan iterasyona son verilir. Kök x 4 = Eğer iterasyona son verme koşulu x değeri için f(x) fonksiyon değerinin sıfıra yaklaşması olsaydı iterasyona devam edilirdi.

9 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER f(x)’in değeri 0’a gittiği için iterasyona son verilir. Kök x5=

10 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER ÖRNEK: f(x)= x 2 -Sinx-2 dekleminin kökünü x o =2.25 için Newton- Rapshon yöntemiyle ε k = hassasiyetle bulunuz. olduğu için işleme devam

11 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER kxkxk f(x k )f ı (x k )x k+1 EtEt εtεt Kök x 4 = | ε t |< ε k olduğu için iterasyona son verilir.

12 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER ÖDEV: 1)f(x)= Sinx + 3cosx -3x fks.nun bir kökünü x o =0 için ε k = hassasiyetle Newton-Rapshon yöntemini kullanarak bulunuz. 2)f(x)= x 3 -5 fks.nun bir kökünü x o =1 alarak ε k = hassasiyetle Newton-Rapshon yöntemini kullanarak bulunuz. Sonucu basit iterasyon yöntemiyle bulunan sonuçla karşılaştırınız.

13 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER İkiye Bölme Yöntemi Kökün bulunduğu bölgede fks.nun işaret değiştirdiği Teorem 1’ de belirtilmişti. xüxü y xaxa kök y=f(x) x İkiye bölme yönteminde kökün bulunduğu aralık adım adım daraltılarak gerçek köke ulaşılmaya çalışılır. x a x ü f(x a ).f(x ü ) < 0 kök Genel olarak x a ve x ü aralığında fks sürekli ve f(x a ) ile f(x ü )’nün işaretleri ters ise yani f(x a ).f(x ü ) < 0 ise bu aralıkta bir kök vardır. f(x a ) f(x ü )

14 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER xüxü y xaxa xoxo kök y=f(x ) x f(x) = 0 orta noktası değeri f(x) = 0 ’ı sağlayan kökün içinde bulunduğu aralığın alt ve üst değeri biliniyorsa bu iki değerin orta noktası için değeri bulunabilir.

15 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER İşlem adımları x a x ü f(xa).f(xü) < 0 1)Kökün bulunduğu aralık için x a ve x ü değerleri tahmin edilir ve f(xa).f(xü) < 0 şartı aranır. orta değer 2)Üst ve alt değerlerle orta değer (x o ) hesaplanır. 3)f(x o ) değeri hesaplanır f(x o ) =0kökx o Eğer f(x o ) =0 ise kök x o ’dır. f(x o ) ≠ 0işleme devam Eğer f(x o ) ≠ 0 ise işleme devam edilir 4) f(x a ) hesaplanır

16 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER xüxü y xaxa xoxo kök x f(x a ) f(x ü ) xüxü y xaxa xoxo kök x f(x a ) f(x ü ) 5.a) f(x a ).f(x o ) > 0 f(x a ).f(x o ) > 0 ise x a x o x a yerine x o yazılarak işleme devam edilir b) f(x a ).f(x o ) < 0 f(x a ).f(x o ) < 0 ise x ü x o x ü yerine x o yazılarak işleme devam edilir.

17 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER İşleme son verme f(x o )=0 f(x o )=0 olunca işleme son verilir x o Kök x o ’dır. 1) 2) | ε t |< ε k. | ε t |< ε k ise işleme son verilir.

18 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER x a ’nın 0.5, x ü ’nün 1.5 olduğu tahmin edilen f(x) = x 3 – 6x x- 9 fks.nun kökünü ε k =0.001 hassasiyetle ikiye bölme yöntemiyle bulunuz. ÖRNEK: y kök x Adım 1 : f(x a ).f(x ü ) < 0 olduğundan işleme devam edilir.

19 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Adım 2 : Adım 3 : f(x o ) ≠ 0 f(x o ) ≠ 0 olduğu için işleme devam edilir Adım 4 : Adım 5 : x a =x o olduğu için x a =x o yazılır ve işleme devam edilir

20 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER x a =1 ve x ü = 1.5 alarak işleme devam ediyoruz f(x o ) ≠ 0 olduğu için işleme devam edilir x ü =x o old. x ü =x o alınarak işleme devam edilir olduğu için işleme devam edilir. II. iterasyon

21 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER xa=1 ve xü= 1.25 alarak işleme devam ediyoruz f(x o ) ≠ 0 olduğu için işleme devam edilir old. xü=xo alınarak işleme devam edilir olduğu için işleme devam edilecek III. iterasyon

22 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER xa=1 ve xü= alarak işleme devam ediyoruz f(x o ) ≠ 0 olduğu için işleme devam edilir olduğundan xa=xo alınarak işleme devam edilir olduğu için işleme devam edilecek IV. iterasyon

23 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER xa=1,0625 ve xü= alarak işleme devam ediyoruz f(x o ) ≠ 0 olduğu için işleme devam edilir olduğu için xa=xo alınarak işleme devam edilir olduğu için işleme devam edilecek V. iterasyon

24 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER kXaXa xüxü xoxo f(x o )f(x a )f(x o ).f(x a )εtεt | ε t | < ε k >0: xa=xo >0: xa=xo <0: xü=xo >0: xa=xo , , ,001-0,004>0: xa=xo0, kök

25 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER f(x) = x 3 – 5sin2x fonksiyonunun kökünü x a =1.2, x ü = 2 için ε k = hassasiyetle ikiye bölme yöntemiyle bulunuz. ÖDEV: İXaXa xüxü xoxo f(x o )f(x a )f(x o ).f(x a )εtεt | ε t | < ε k


"Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER 3.HAFTA İÇERİĞİ -Newton-Raphson Yöntemi -İkiye Bölme Yöntemi -Örnekler." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları