Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

AST409 Astronomide Sayısal Çözümleme III. Sonlu Farklar Hesabı.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "AST409 Astronomide Sayısal Çözümleme III. Sonlu Farklar Hesabı."— Sunum transkripti:

1 AST409 Astronomide Sayısal Çözümleme III. Sonlu Farklar Hesabı

2 Sonlu Farklar Hesabı Sonlu farklar Birinci mertebe ileri fark :  f = f(x+h) – f(x) Birinci mertebe geri fark :  f = f(x) – f(x-h) Birinci mertebe merkezi fark : δf = f(x+h/2) – f(x-h/2) Operatörler Ortalama operatörü : μ f(x) = ½ (f(x+h/2) + (x-h/2)) Kaydırma operatörü : E f(x) = f(x+h) =  f (x) + f(x) =  (f + 1) Türev operatörü : D f(x) = df / dx

3 Sonlu Farklar Hesabı Örnek: Taylor serisi için kaydırma operatörünü hesaplayınız. f(x) fonksiyonu için x = x i komşuluğundaki Taylor fonksiyonu, f(x) = f(x i )+ (x - x i ) f’(x i ) + (x - x i ) 2 f’’(x i ) / 2! + (x - x i ) 3 f’’’(x i ) / 3! (x - x i ) n f (n) (x i ) / n! + R n x  x i + h f(x i + h) = f(x i ) + (x i + h - x i ) f’(x i ) + (x i + h - x i ) 2 f’’(x i ) / 2! + (x i + h- x i ) 3 f’’’(x i ) / 3! (x i + h - x i ) n f (n) (x i ) / n! + R n f(x i + h) = f(x i ) + h f’(x i ) + h 2 f’’(x i ) / 2! + h 3 f’’’(x i ) / 3! +... f(x i + h) = f(x i ) + h D f(x i ) + h 2 D 2 f(x i ) / 2! + h 3 D 3 f’(x i ) / 3! +... f(x i + h) = (1 + h D + h 2 D 2 / 2! + h 3 D 3 / 3! +... ) f(x i ) f(x i + h) = e hD f(x i )

4 İkinci ve Daha Yüksek Mertebeden Farklar x 0, x 1 = x 0 + h, x 2 = x 0 + 2h, x 3 = x 0 + 3h,..., x n = x 0 + nh f(x 0 ) = f 0, f(x 1 ) = f 1, f(x 2 ) = f 2, f(x 3 ) = f 3,...., f(x n ) = f 0 olmak üzere İleri Farklar:  f(x) = f(x+h) – f(x)  f i = f i+1 – f i  2 f i =  (  f i ) =  (f i+1 – f i ) =  f i+1 –  f i = (f i+2 – f i+1 ) - (f i+1 – f i ) = f i+2 – 2f i+1 + f i  3 f i =  (  2 f i ) =  (f i+2 – 2f i+1 + f i ) =....  r f i =  (  r-1 f i ) =  r-1 (  f i ) =  r-1 (f i+1 – f i ) =  r-1 f i+1 –  r-1 f i Geri Farklar:  f i = f i – f i-1  2 f i =  (  f i ) =  (f i – f i-1 ) =  f i –  f i-1 = (f i – f i-1 ) - (f i-1 – f i-2 ) = f i – 2f i-1 + f i-2

5 İkinci ve Daha Yüksek Mertebeden Farklar  3 f i =  (  2 f i ) =  (f i – 2f ii-1 + f i-2 ) =....  r f i =  (  r-1 f i ) =  r-1 (  f i ) =  r-1 (f i – f i-1 ) =  r-1 f i –  r-1 f i-1 Merkezi Farklar: δf i = f i+1/2 – f i-1/2 δ 2 f i = δ(δ f i ) = δ (f i+1/2 – f i-1/2 ) = δf i+1/2 – δf i-1/2 = (f i+1 – f i ) - (f i – f i-1 ) = f i+1 – 2f i + f i-1 δ 3 f i = δ(δ 2 f i ) = δ(f i+1 – 2f i + f i-1 ) =.... δ r f i = δ(δ r -1 f i ) = δ r-1 (δ f i ) = δ r-1 (f i+1/2 – f i-1/2 ) = δ r-1 f i+1/2 – δ r-1 f i-1/2

6 Farklar Arası İlişkiler  f i = f i+1 – f i,  f i = f i – f i-1, δf i = f i+1/2 – f i-1/2 olmak üzere  f i = f i – f i-1   f i+1 = f i+1 – f i =  f i δf i = f i+1/2 – f i-1/2  δf i+1/2 = f i+1 – f i   f i =  f i+1 = δf i+1/2  2 f i = f i+2 – 2f i+1 + f i  2 f i = f i – 2f i-1 + f i -2   2 f i+2 = f i+2 – 2f i+1 + f i =  2 f i δ 2 f i = f i+1 – 2f i + f i-1  δ 2 f i+1 = f i+2 – 2f i+1 + f i   2 f i =  2 f i+2 = δ 2 f i+1  f i =  f i41 = δf i+1/2  2 f i =  2 f i+2 = δ 2 f i+1  3 f i =  2 f i+3 = δ 2 f i+3/2...  n f i =  2 f i+n = δ 2 f i+n/2

7 Kesirli Farklar Eşit aralıklı olmayan tanım kümeleri (x’ler) için kullanılır. f[x 0 ] = f 1 – f 0 f[x 0,x 1 ] = (f 1 – f 0 ) / (x 1 – x 0 ) f[x 0,x 1,x 2 ] = (f[x 1,x 2 ] – f[x 0,x 1 ]) / (x 2 – x 0 ) f[x 0,x 1,..., x k ] = (f[x 1,x 2,..., x k ] – f[x 0,x 1..., x k-1 ]) / (x k – x 0 ) Kesirli farklar ile sonlu farklar arasındaki ilişkiler  f i = f i+1 – f i = (x i+1 – x i ) * (f i+1 – f i ) / (x i+1 – x i ) x i+1 – x i = h   f i = h. f[x i,x i+1 ]  2 f i =  f i+1 –  f i = h. f[x i+1,x i+2 ] – h. f[x i,x i+1 ]  2 f i = h. (x i+2 - x i ). (f[x i+1,x i+2 ] - f[x i,x i+1 ]) / (x i+2 - x i ) x i+2 – x i = 2h   2 f i = 2h 2 f[x i,x i+1,x i+2 ]  r f i = r! h r f[x i,x i+1,...,x i+r ] =  r f i+r = δ r f i+r/2

8 Sonlu Fark Tabloları Eşit aralıklı 4 ayrık x 0, x 1, x 2, x 3 noktaları için x 0 f 0  f 0 x 1 f 1  2 f 0  f 1  3 f 0... x 2 f 2  2 f 1  f 2 x 3 f 3... şeklinde tanımlanan tabloya ileri sonlu farklar tablosu denir.

9 Sonlu Fark Tabloları Benzer şekilde geri fark tablosu x 0 f 0  f 1 x 1 f 1  2 f 2  f 2  3 f 3... x 2 f 2  2 f 3  f 3 x 3 f 3... Benzer şekilde merkezi fark tablosu x 0 f 0 δ f 1/2 x 1 f 1  2 f 1 δf 3/2  3 f 3/2... x 2 f 2  2 f 2 δ f 5/2 x 3 f 3... şeklinde tanımlanırlar.

10 Sonlu Fark Tabloları Örnek: f(x) = x 3 için [0,6] aralığında h = 1 değerini kullanarak ileri farklar tablosunu hazırlayınız i x i f(x i )  f i  2 f i  3 f i  4 f i  5 f i  6 f i n. dereceden bir polinom için n’inci farklar sabit bir sayıya eşittir.  n P n (x) = a 0 n (n-1) (n-2) (1) h n x n-n = a 0 (n!) h n

11 Sonlu Fark Tablolarında Yanlışların Yayılması Diyelim ki f 3 = f(x 3 ) değerinde ε kadar bir belirsizlik olsun x i f i  f i  2 f i  3 f i  4 f i  5 f i  6 f i x 0 f 0  f 0 x 1 f 1  2 f 0  f 1  3 f 0 + ε x 2 f 2  2 f 1 + ε  4 f ε  f 2 + ε  3 f ε  5 f ε x 3 f 3  2 f ε  4 f ε  6 f ε  f 3 – ε  3 f ε  5 f ε x 4 f 4  2 f 3 + ε  4 f ε  f 4  3 f 3 - ε x 5 f 5  2 f 4  f 5 x 6 f 6

12 Kaynaklar  Sayısal Çözümleme Cilt I, Ziya Aktaş, Hilmi Öncül, Saim Ural, ODTÜ Yayınları, 1981


"AST409 Astronomide Sayısal Çözümleme III. Sonlu Farklar Hesabı." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları