Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Doç. Dr. Turan SET Karadeniz Teknik Üniversitesi Tıp Fakültesi Aile Hekimli ğ i Anabilim Dalı OLASILIK NORMAL DAĞILIM.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "Doç. Dr. Turan SET Karadeniz Teknik Üniversitesi Tıp Fakültesi Aile Hekimli ğ i Anabilim Dalı OLASILIK NORMAL DAĞILIM."— Sunum transkripti:

1 Doç. Dr. Turan SET Karadeniz Teknik Üniversitesi Tıp Fakültesi Aile Hekimli ğ i Anabilim Dalı OLASILIK NORMAL DAĞILIM

2 OLASILIK Olasılık hesabı belirsizlikleri tahmin etmede kullanılır. Olasılık, bir olayın olma veya olmama ihtimalini verir. Olasılık 0 ile 1 arasındadır. 0 olasılıklı olaylara imkansız olaylar 1 olasılıklı olaylara ise kesin olay denir. Bir de ş artlı olasılık (conditional probability) vardır. Ş artlı olasılık, önceki bir olayın gerçekle ş me durumuna göre ş imdiki olayın olasılı ğ ını hesaplar.

3 OLASILIK Olasılı ğ ı 3 ş ekilde hesaplarız: Subjektif: olayın gerçekle ş me durumuyla ilgili ki ş isel inancımızdır. 2012 yılında kıyametin kopaca ğ ına inanmak gibi. Frekans hesabı: deneyimizi tekrarlamamız halinde olayın meydana gelme olasılı ğ ıdır. A priori (önsel): olasılık da ğ ılımının önceden bilinen bir modeline göre hesaplanır. Kalıtım teorisiyle ilgili olu ş turaca ğ ımız modellere dayanarak mavi gözlü bir anne ve kahverengi gözlü bir babadan olacak çocu ğ un göz rengini tahmin edebiliriz.

4 Olasılık kuralları Olasılık hesabında çarpma ve toplama kuralları uygulanır.  Toplama kuralı: Ya A olayı gerçekle ş ecektir veya B.  Çarpma kuralı: A ve B olaylarının birbirinden ba ğ ımsız olması durumunda geçerlidir.

5 Olasılık kuralları  Toplama kuralı: Ya A olayı gerçekle ş ecektir veya B. Örnek: Bir ki ş ide hepatit görülme olasılı ğ ı %5, diyabet görülme olasılı ğ ı ise %9’dur. Bu iki durumun bir arada olma ihtimali olmasaydı (yani A ve B olayları birbirini dı ş layan olsalardı) bu ki ş ide hepatit veya diyabet görülme olasılı ğ ı %5+%9= %14 olurdu. E ğ er bu iki durumun bir arada olma ihtimali de %0,45 olsa (C) bu durumda bu ki ş ide hepatit veya diyabet görülme olasılı ğ ı (%5+%9)-%0,45= %13,55 olur. AB C

6 Olasılık kuralları Bir ki ş inin bazı di ş lerinin eksik olma olasılı ğ ı (BDE) %67, hiç eksik di ş inin olmaması (TAM) olasılı ğ ı ise %24’tür. Bu durumda ki ş inin a ğ zında di ş olma olasılı ğ ı BDE veya TAM yani 0,67+0,24 = %91 olacaktır.

7 Olasılık kuralları  Çarpma kuralı: A ve B olaylarının birbirinden ba ğ ımsız olması durumunda geçerlidir. A olayı ve B olayının bir arada gerçekle ş me olasılı ğ ıdır Örnek: Bir ki ş ide hepatit görülme olasılı ğ ı %5, diyabet görülme olasılı ğ ı ise %9’dur. Bu ki ş ide hepatit ve diyabet görülme olasılı ğ ı 0,05 x 0,09= %0,45 olur. Bir ki ş inin bazı di ş lerinin eksik olma olasılı ğ ı (BDE) %67’dir. Bu durumda di ş hekiminde bekleyen iki hastada aynı anda (A ve B hastasında) BDE olma olasılı ğ ı 0,67 x 0,67 = %44,9 olacaktır.

8 OLASILIK

9 OLASILIĞIN GÖRELİ SIKLIK KAVRAMI Klasik olasılıkta sonuçlar kesindir, ama bazı olaylarda sonuç kesin bilinemez. Bir otomobil fabrikasında üretilen otomobilin kusurlu olması olasılı ğ ı, Ameliyat sonucu kaç günde iyile ş ilece ğ i vb. Bu tür olaylarda deney çok kez tekrarlanarak veri üretilir ve bu verilerden yakla ş ık olasılık hesaplanır. n kez tekrarlanmı ş ve f kez kar ş ıla ş ılmı ş A olayının Göreli sıklık kuramına göre olasılı ğ ı; P(A) = f/n Örne ğ in 1000 fıtık ameliyatının 10 tanesinde ikinci ameliyat gerekti ğ i gözlemlenmi ş ise; 990 tek ameliyat; sıklık 990 (f) 990/1000 = 0,99 10 ikinci ameliyat; sıklık 10 (f) 10/1000 = 0,01 Toplam 1000 1,00 İ lk fıtık ameliyatı olacak hasta %1 olasılıkla ikinci ameliyatı olacak denebilir.

10 KESİKLİ BİR RASSAL DEĞİŞKENİN OLASILIK DAĞILIMI Kesikli bir rassal de ğ i ş kenin alabilece ğ i de ğ erlerle bunlara ait olasılıkların listesidir. 2000 ailede yapılan bir ara ş tırmada sahip olunan televizyon sayısı X rassal de ğ i ş keni ile ifade edildi ğ inde a ş a ğ ıdaki sıklık ve olasılık de ğ erleri elde edilmi ş olsun. TV SayısıSıklıkGöreli Sıklık Olasılık (P(x)) 030 0,015 1470 0,235 2850 0,425 3490 0,245 4160 0,08 Toplam2000 11 Görüldü ğ ü gibi olasılık da ğ ılımı 0 ile 1 arasında de ğ i ş ir ve toplamı 1 dir.

11 İSTATİSTİKSEL ÇÖZÜMLEME ve DAĞILIMLAR İ statistiksel çözümlemelerde; de ğ i ş kenlerin da ğ ılma özellikleri, çözümleme yönteminin seçimi ve sonuçlarının yorumlanmasında önemlidir. Da ğ ılma özelliklerine OLASILIK DA Ğ ILIMI adı verilir. İ statistiksel çözümlemeler belirli bir olasılık da ğ ılımına dayandırıldı ğ ından çözümlemede kullanılan de ğ i ş ken(ler)in bu olasılık da ğ ılımına uyması gerekir. Herhangi olasılık da ğ ılımı, y = f(x) biçiminde tanımlanan matematiksel bir fonksiyondur. y, x de ğ erlerinin ortaya çıkma sıklı ğ ını gösterir. f(x), yo ğ unluk fonksiyonu olarak da adlandırılır.

12 NORMAL DAĞILIM İ statistiksel da ğ ılımlarda en çok kullanılan da ğ ılımlardan birisidir. Bu nedenle günlük ya ş amda kar ş ıla ş ılan pek çok sürekli rassal de ğ i ş ken normal da ğ ılır. İ nsanların boy uzunlukları A ğ ırlıkları Sınav sonuçları Paketlerin a ğ ırlıkları Elektronik cihazların ömrü örnek verilebilir.

13 Normal dağılımın özellikleri

14

15

16 NORMAL DAĞILIM…. Ortalamaları farklı standart sapmaları aynı normal da ğ ılımlar 4050 60

17 NORMAL DAĞILIM….. Ortalamaları aynı standart sapmaları farklı normal da ğ ılımlar. 35404550 55 60657075

18 NORMAL DAĞILIM GRAFİĞİ Da ğ ılım ortalamaya göre simetriktir Alanın % 50’si ortalamadan geçen dikey çizginin sa ğ ına, % 50’si soluna dü ş er. E ğ ri altında kalan toplam alan bir birim karedir. Aritmetik ortalama, ortanca ve tepe de ğ eri birbirine e ş ittir.

19 NORMAL DAĞILIM… Ortalaması μ ve varyansı σ 2 olan normal da ğ ılıma sahip bir x rastgele de ğ i ş keni için olasılıklar a ş a ğ ıdaki gibidir: ( μ - σ ) ile ( μ + σ ) arasında olma olasılı ğ ı 0,68 %68,26

20 NORMAL DAĞILIM…. Ortalaması μ ve varyansı σ 2 olan normal da ğ ılıma sahip bir x rastgele de ğ i ş keni için olasılıklar a ş a ğ ıdaki gibidir: ( μ - 2 σ ) ile ( μ + 2 σ ) arasında olma olasılı ğ ı 0,95 %95,44

21 NORMAL DAĞILIM Ortalaması μ ve varyansı σ 2 olan normal da ğ ılıma sahip bir x rastgele de ğ i ş keni için olasılıklar a ş a ğ ıdaki gibidir: ( μ - 3 σ ) ile ( μ + 3 σ ) arasında olma olasılı ğ ı 0,99 %99,74

22 STANDART NORMAL DAĞILIM Olasılık hesaplamasındaki zorluktan dolayı normal da ğ ılım gösteren hesaplamalar için standart normal da ğ ılım yakla ş ımından yararlanılır. Böylece tek bir olasılık tablosu kullanılarak normal da ğ ılımla ilgili olasılık hesaplamaları yapılmı ş olur.

23 STANDART NORMAL DAĞILIM

24 E ğ er bir x de ğ i ş keninin normal da ğ ıldı ğ ı biliniyorsa Yandaki e ş itlik ile elde edilen z de ğ erleri ortalaması 0 ve varyansı 1 olan standart normal da ğ ılıma uyar Da ğ ılımın grafi ğ i yandaki gibidir.

25 STANDART NORMAL DAĞILIM Bu özellik, ortalama ve standart sapmanın de ğ erine ba ğ lı de ğ ildir. Ortalama ve standart sapma ne olursa olsun x de ğ i ş keninin normal da ğ ılması bu özelli ğ in geçerli ğ i için yeterlidir. Çe ş itli z de ğ erleri için 0 ile z arasında kalan alanı gösteren z tablosu geli ş tirilmi ş tir. Bu tablodan yararlanarak normal da ğ ılıma dayalı hesaplamalar yapılabilir. Z de ğ eri ile merkez (ortalama) arasında kalan alanı tablo bize verir. Z de ğ erlerinin her birine standart skorlar da denir.

26 Z TABLOSU z 0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.09 00.0000.0040.0080.0120.0160.0200.0240.0280.0320.036 0.10.0400.0440.0480.0520.0560.0600.0640.0670.0710.075 0.20.0790.0830.0870.0910.0950.0990.1030.1060.1100.114 0.30.1180.1220.1260.1290.1330.1370.1410.1440.1480.152 0.40.1550.1590.1630.1660.1700.1740.1770.1810.1840.188 0.50.1910.1950.1980.2020.2050.2090.2120.2160.2190.222 0.60.2260.2290.2320.2360.2390.2420.2450.2490.2520.255 0.70.2580.2610.2640.2670.2700.2730.2760.2790.2820.285 0.80.2880.2910.2940.2970.3000.3020.3050.3080.3110.313 0.90.3160.3190.3210.3240.3260.3290.3310.3340.3360.339 1 0.341 0.3440.3460.3480.3510.3530.3550.3580.3600.362 1.10.3640.3670.3690.3710.3730.3750.3770.3790.3810.383 1.20.3850.3870.3890.3910.3930.3940.3960.3980.4000.401 1.30.4030.4050.4070.4080.4100.4110.4130.4150.4160.418 1.40.4190.4210.4220.4240.4250.4260.4280.4290.4310.432 1.50.4330.4340.4360.4370.4380.4390.4410.4420.4430.444 1.60.4450.4460.4470.4480.4490.4510.4520.4530.454 1.70.4550.4560.4570.4580.4590.4600.4610.462 0.463 1.80.4640.4650.466 0.4670.4680.469 0.4700.471 1.90.4710.4720.473 0.474 0.4750.476 0.477 2 0.478 0.479 0.480 0.481 0.482 Z= 1

27 Ortalamanın solunda kalan alan de ğ erler negatiftir ancak alan kavramı nedeniyle solda kalan alan pozitif de ğ erlendirilmelidir. -3 -2 -1 0 1 2 3 z =1,95 Ş ekilde z=0 ile 1,95 Arasında kalan alan z tablosundan 0,4744 olarak bulunabilir 1,95’in sa ğ ında kalan alan ise 0,5 - 4744 ile bulunabilir.

28

29 0,5

30 Simetrik özelli ğ inden dolayı 0’da e ş it uzaklıktaki Z de ğ erlerinin 0 ile arasında kalan alanların de ğ erleri birbirine e ş ittir.

31

32

33 Örnek 1 55 60 x -3 -2 -1 0 1 2 3 z %50 0,3944 -> 1,25’in z tablosu de ğ eri = alan z=1,25

34 Örnek 2 36 54 x -3 -2 -1 0 1 2 3 z %50 z(-2,25) tablo de ğ eri 0,4878 z de ğ eri ile ortalama alan arası demektir. z=-2,25 Problemde sorulan alan : 36 aydan daha erken bozulma olasılı ğ ıdır. 0,5-0,4878 = 0,0122 bulunur. Problemde sorulan alan : 36 aydan daha erken bozulma olasılı ğ ıdır. 0,5-0,4878 = 0,0122 bulunur.

35 Örnek 3 5 9 x -3 -2 -1 0 1 2 3 z %50 z(-1) tablo de ğ eri 0,3413 z de ğ eri ile ortalama alan arası demektir. z=-1 Problemde sorulan alan : 5 gün içinde taburcu olma olasılı ğ ıdır. 0,5-0,3413 = 0,1587 bulunur. Problemde sorulan alan : 5 gün içinde taburcu olma olasılı ğ ıdır. 0,5-0,3413 = 0,1587 bulunur.

36 Örnek 4 70 90 x -3 -2 -1 0 1 2 3 z %50 z(2) tablo de ğ eri 0,477 z de ğ eri ile ortalama alan arası demektir. z=2 Problemde sorulan alan: 90’ın üzerinde not alma olasılı ğ ıdır. 0,5-0,477 = 0,023 bulunur. Problemde sorulan alan: 90’ın üzerinde not alma olasılı ğ ıdır. 0,5-0,477 = 0,023 bulunur.

37 Örnek Bir hastanede 20 depresyon hastası, 20 psikotik hasta ve 60 da ba ş ka hasta vardır. Bu hastaneden rastgele bir hasta seçsek depresyonlu veya psikozlu olma olasılı ğ ı nedir?

38 Örnek Bir serviste 6 kızamık ve 4 astım hastası yatmaktadır. Bu servisten sırayla (rastgele) iki hasta seçsek ikisinin de astımlı olma olasılı ğ ı nedir?

39 Örnek 1000 ki ş inin katıldı ğ ı sınavda ö ğ rencilerin aldıkları puanların aritmetik ortalaması 60, standart sapması 5 ‟ tir. Histogram grafi ğ inde verilerin normal da ğ ıldı ğ ı görülmektedir. Geçme notu 50 oldu ğ una göre bu ö ğ rencilerin kaçı geçmi ş tir?

40 Kaynak 1. Aktürk Z, Acemo ğ lu H. Sa ğ lık Çalı ş anları İ çin Ara ş tırma ve Pratik İ statistik. Anadolu Ofset: İ stanbul, 2011. 2. Prof. Dr. Kemal Turhan. Biyoistatistik ppt. Sunumu. 3. http://kisi.deu.edu.tr/hamdi.emec/ist1-7.pdf Eri ş im tarihi: 18.11.2014 http://kisi.deu.edu.tr/hamdi.emec/ist1-7.pdf


"Doç. Dr. Turan SET Karadeniz Teknik Üniversitesi Tıp Fakültesi Aile Hekimli ğ i Anabilim Dalı OLASILIK NORMAL DAĞILIM." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları