Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Çizge Algoritmaları Çizge Algoritmaları. Çizge teorisi 1736, Euler, Königsberg Köprüleri problemini çözdü 1736, Euler, Königsberg Köprüleri problemini.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "Çizge Algoritmaları Çizge Algoritmaları. Çizge teorisi 1736, Euler, Königsberg Köprüleri problemini çözdü 1736, Euler, Königsberg Köprüleri problemini."— Sunum transkripti:

1 Çizge Algoritmaları Çizge Algoritmaları

2 Çizge teorisi 1736, Euler, Königsberg Köprüleri problemini çözdü 1736, Euler, Königsberg Köprüleri problemini çözdü

3 Königsberg Köprüleri Problemi  A B C D

4 Ch1-4 Çizge örneği 4 öğrenci: A, B, C, D 4 iş: FF, SC, W, BS ABC D FFSCWBS Soru:Tüm öğrenciler arzu ettikleri bir işe girebilirler mi? Cevap: Hayır

5 Ch1-5 Çizge tanımı G çizgesi (V,E) ikilisinden oluşmuştur. G çizgesi (V,E) ikilisinden oluşmuştur. Burada V(G) boş olmayan sonlu bir kümedir (elemanlarına köşe denir) Burada V(G) boş olmayan sonlu bir kümedir (elemanlarına köşe denir) E(G) ise V(G) kümesinde tanımlı bir bağıntıdır ( elemanlarına eğer varsa kiriş denir). E(G) ise V(G) kümesinde tanımlı bir bağıntıdır ( elemanlarına eğer varsa kiriş denir). V(G) : G nin köşeler kümesi E(G) : kirişler kümesi Kiriş {u, v} = {v, u} = uv (veya vu) G yönlü ise (digraf denir)

6 Ch1-6 Örnek G=(V,E) olsun G=(V,E) olsun V={u, v, w, x, y, z} E={{u,v}, {u,w}, {w,x}, {x,y}, {x,z}} E={uv, uw, wx, xy, xz} G diagram G diagram v u w xy z

7 Ch1-7 u, v : G nin köşeleri u, v : G nin köşeleri u ve v köşeleri G de komşudur eğer if uv  E(G) ise ( u v ye ve v u ya komşudur) u ve v köşeleri G de komşudur eğer if uv  E(G) ise ( u v ye ve v u ya komşudur) e=uv (e u ve v yi birleştiriyor) (e u ile baülıdır, e v ile bağlıdır) e=uv (e u ve v yi birleştiriyor) (e u ile baülıdır, e v ile bağlıdır) Komşu ve Bağlı u v e

8 Ch1-8 Çizge çeşitleri Yönsüz çizge: Yönsüz çizge: (basit) çizge: döngü (  ), katlı kiriş (  )(basit) çizge: döngü (  ), katlı kiriş (  ) Katlı çizge: döngü (  ), katlı kiriş (  )Katlı çizge: döngü (  ), katlı kiriş (  ) Pseudograph: döngü (  ), katlı kiriş (  )Pseudograph: döngü (  ), katlı kiriş (  ) Yönlü çizge: Yönlü çizge: Yönlü çizge: döngü (  ), katlı kiriş (  ) Yönlü çizge: döngü (  ), katlı kiriş (  ) Yönlü katlı çizge : döngü (  ), katlı kiriş (  ) Yönlü katlı çizge : döngü (  ), katlı kiriş (  ) Katlı kiriş değilKatlı kiriş döngüKatlı kiriş, parallel kiriş döngü

9 Ch1-9 Mertebe(order) ve boyut(size) G çizgesinin köşe sayısına çizgenin mertebesi denir (|V(G)| ile gösterilir). G çizgesinin köşe sayısına çizgenin mertebesi denir (|V(G)| ile gösterilir). Kirişlerin sayısına boyut (|E(G)| ile gösterilir ). Kirişlerin sayısına boyut (|E(G)| ile gösterilir ). Önerme 1: Eğer |V(G)| = p ve|E(G)| = q ise Önerme 1: Eğer |V(G)| = p ve|E(G)| = q ise Çizgenin mertebesi p ve boyutu q ise ( p, q ) çizgesi denir Çizgenin mertebesi p ve boyutu q ise ( p, q ) çizgesi denir

10 Ch1-10 Çizgelerin uygulanması Ali ve Ahmet Ayşe ve Fatma ile tanışıyorlar. Ali ve Ahmet Ayşe ve Fatma ile tanışıyorlar. Mehmetle Ahmet ve Fatma tanışıyorlar. Mehmetle Ahmet ve Fatma tanışıyorlar. AliAhmet AyşeFatma Mehmet Tanışlık çizgesi:

11 Ch1-11 Köşelerin derecesi Köşelerin derecesi Tanım. G çizgesinin v köşesi için N( v ) = { u  V(G) | v u  E(G) } G çizgesinin v köşesi için N( v ) = { u  V(G) | v u  E(G) } kümesine bu köşenin komşuluğu denir. v köşesinin derecesi deg( v ) = | N( v ) | sayısına denir kümesine bu köşenin komşuluğu denir. v köşesinin derecesi deg( v ) = | N( v ) | sayısına denir y u v wx N( u ) = { x, w, v }, N( y )={ } deg( u ) = 3, deg( y ) =0

12 Ch1-12 Not Eğer |V(G)| = p ise 0  deg( v )  p  1,  v  V(G) dir. Eğer |V(G)| = p ise 0  deg( v )  p  1,  v  V(G) dir. deg( v ) = 0 ise v köşesine tecrit edilmiş köşe denir. deg( v ) = 0 ise v köşesine tecrit edilmiş köşe denir. v ye tek köşe denir eğer deg( v ) tekse. v ye çift köşe denir eğer deg( v ) çiftse. v ye tek köşe denir eğer deg( v ) tekse. v ye çift köşe denir eğer deg( v ) çiftse.

13 Ch1-13 El sıkışma teoremi Theorem G bir çizge ise, Theorem G bir çizge ise, u v wx Örnek

14 Ch1-14 El sıkışma teoremi Özellik Her çizgenin tek köşelerinin sayısı çift sayıdır. ispat. Eğer tek köşelerin sayısı tek sayıda olsaydı, çizgenin toplam derecesi tek olurdu. 

15 Ch1-15 Düzgün çizge Tanım. G çizgesinin her köşesinin derecesi r ise G çizgesine r-düzgün çizge denir. G çizgesi bir r sayısı için düzgünse bu çizgeye düzgün çizge denir G çizgesinin her köşesinin derecesi r ise G çizgesine r-düzgün çizge denir. G çizgesi bir r sayısı için düzgünse bu çizgeye düzgün çizge denir 2-düzgün Not. mertebesi 5 olan 3-düzgün çizge yoktur (Özellik) Örnek

16 Ch1-16 Tümleyen Tanım. Tanım. G çizgesinin tümleyeni G çizgesidir eğer V(G) = V(G) ve G çizgesinin tümleyeni G çizgesidir eğer V(G) = V(G) ve uv  E(G) eğer uv  E(G). uv wx G uv wx G

17 Ch1-17 Derece uygulaması Soru: n kişi var ( n  2) Bu kişiler arasından hangi iki kişiyi alırsak alalım, bu kişilerin tanıdıkları kişi sayıları bir birinden farklıdır. Bu mümkün mü? ( A B yi tanıyorsa, B de A yı tanıyor)

18 Ch1-18 Örnek 1 Mertebesi n  2 olan çizgenin dereceleri bir birine eşit olan en az 2 köşesinin olduğunu gösteriniz. ispat. deg( x ) = 0 ve deg( y ) = n  1 olacak biçimde x ve y köşeleri olmalıdır bu da olamaz (ipucu. Önceki sayfadaki problem.)

19 Ch1-19 Örnek 2. G çizgesinin mertebesi 14 ve boyutu 25 tir. Köşelerinin derecesi 3 veya 5 tir. Bu çizgenin 3 dereceli kaç köşesi vardır? Bu çizgenin 3 dereceli kaç köşesi vardır? çözüm. x tane köşenin derecesi 3 olsun, 14  x köşenin derecesi 5 olur. |E(G)| =25  dereceler toplamı=50 3 x + 5(14  x ) = 50  x = 10

20 Ch1-20 Örnek 3. G çizgesinin mertebesi 7 ve boyutu 10 dur. 6 köşenin derecesi a ve bir köşenin derecesi b dir. b kaçtır ? sol. 6 a + b = 20 ( a, b ) = (0, 20) (  ) (1, 14) (  ) (2, 8) (  ) (3, 2) (  )  a =3, b =2.

21 Ch1-21 Isomorf(denk) çizgeler Isomorf(denk) çizgeler v1v1 v3v3 v4v4 v5v5 u1u1 u2u2 u3u3 u4u4 u5u5 G1G1 G2G2 G 1 ve G 2 aynıdır (köşelerin yerlerini değiştirdikten sonra). v2v2 v2v2

22 Ch1-22 Isomorf (denk çizgeler) Tanım. Eğer V(G 1 ) kümesinden V(G 2 ) kümesine öyle bir 1-1 ve örten  fonksiyonu varsa ve uv  E(G 1 ) ancak ve ancak  (u)  (v)  E(G 2 ) koşulu sağlanıyorsa G 1 ve G 2 çizgeleri izomorfdur denir(G 1  G 2 ile gösterilir)  fonksiyonuna izomorfizm denir. Önceki sayfada  ( v i ) = u i her i için  fonksiyonuna izomorfizm denir. Önceki sayfada  ( v i ) = u i her i için

23 Ch1-23 Tanım. Mertebesi 1 olan çizgeye önemsiz çizge denir Örnek 4 Mertebesi 6 ve boyutu 9 olan ve izomorf olmayan 2 tane 3-düzgün çizge bulunuz. G1G1 G2G2 Üçgen var Üçgen yok Sol.

24 Ch1-24 Örnek 5 Aşağıdaki G1 ve G2 çizgelerinin izomorf olup olmadıklarını araştırınız. G1G1 G2G2 Üçgensiz Üçgen var Cevap: hayır

25 Ch Altçizgeler Tanım. Eğer V(H)  V(G) ve E(H)  E(G) ise H çizgesine G çizgesinin altçizgesi denir ( H  G) G u vw x y H vw x y  G vw x y F Örnek

26 Ch1-26 Tanım. S  V(G), S   olsun. G nin köşeleri S olan en büyük alt çizgesine s den üretilmiş alt çizge denir( ile gösterilir) Üretilmiş Altçizge G u vw x y H G nin üretilmiş altçizgesi değil vw x y H H ∪ {xw}

27 Ch1-27 Köşelerin silinmesi Tanım.S  V(G) olsun. G  S = olarak tanımlanır Eğer S={v} ise G  v yazılır. Eğer S={v} ise G  v yazılır. G u vw x y S={x,u} ise  GSGS u vw x y

28 Ch1-28 Tanım. X  E(G), X   olsun. X den üretilmiş alt çizge, G nin kirişleri X olan en küçük alt çizgesidir ( ile gösterilir) Kiriş üretilmiş alt çizge G u vw x y Let X={uv,vw}  u vw

29 Ch1-29 Tanım. H  G olmak üzere eğer V(H) = V(G) ise H a örten altçizge denir. Tanım. H = G + {uv, uw} ifadesinin anlamı E(H) = E(G) ∪ {uv, uw}, burada uv, uw  E(G). Örnek 6 Eğer H= ise H= olur mu? Hayır G u vw H vw 

30 Ch1-30 Örnek G =(p, q) çizge olsun. G nin kaç tane farklı kiriş üretilmiş alt çizgesi vardır? Not. Kiriş üretilmiş alt çizge cevap. 2 q  1 ( X  E(G) X , 2 q  1 X )

31 Ch1-31 Dereceler dizisi Tanım. G =( V, E ), V={v 1, v 2, …, v p } olsun. s: deg(v 1 ), deg(v 2 ), …, deg(v p ) dizisine G nin dereceler dizisi denir (Genelliği bozmadan, s artmayan olsun. Bu durumda s tek olarak belirlenir) (Genelliği bozmadan, s artmayan olsun. Bu durumda s tek olarak belirlenir) s : 3, 3, 2, 1, 1, 0 G minimum derece :  ( G ) maximum derece :  ( G )

32 Ch1-32 Eğer d 1, d 2, …, d p bir çizgenin dereceler dizisi ise 0  d i  p  1  i. ve çifttir. Eğer d 1, d 2, …, d p bir çizgenin dereceler dizisi ise 0  d i  p  1  i. ve çifttir. s : d 1, d 2, …, d p tam sayılar dizisi ve 0  d i  p  1  i, ve ise s in dereceler dizisi olduğunun kanıtı yoktur. s : d 1, d 2, …, d p tam sayılar dizisi ve 0  d i  p  1  i, ve ise s in dereceler dizisi olduğunun kanıtı yoktur. örnek. s : 5, 5, 3, 2, 1, 0 örnek. s : 5, 5, 3, 2, 1, 0 Not Daha fazlası, d 1  p imkansızdır. ) ( p  1 ve 0 aynı zamanda olamazlar)

33 Ch1-33 Tanım. Negatif olmayan tam sayılar dizisi verilmiş olsun. Eğer dereceleri bu dizinin elemanlarına eşit olan bir çizge varsa bu diziye grafiksel dizi denir Theorem 2 (Havel-Hakimi) s dizisi: d 1, d 2, …, d p, burada d i  N,  i. olsun. t dizisi : t dizisi : Olsun. s in grafikseldir ancak be ancak t grafikseldir.

34 Ch1-34 İspat : v1v1 G1G1 … v2v2 v3v3 v d 1 +1 v d 1 +2 d21d21d31d31 vpvp … d d 1 +1  1 d d 1 +2 dpdp (  ) Eğer s 1 : grafikselse   G 1 de s 1 dereceler dizisidir  d2d2 d3d3 G … v2v2 v3v3 v d 1 +1 v d 1 +2 vpvp … d d 1 +1 d d 1 +2 dpdp …  s : d 1, d 2, …, d p grafikseldir d 1 köşeler

35 Ch1-35 (  ) Eğer s : d 1, d 2, …, d p grafikselse   G çizgesi var yani s dereceler dizisidir G ve deg( v i ) = d i for 1  i  p, ve maximumdur İspat devam iddia: { v 1 v 2, v 1 v 3, …, v 1 v d 1 +1 }  E(G) v1v1 G … v2v2 v3v3 v d 1 +1 v d 1 +2 d2d2 d3d3 vpvp … d d 1 +1 d d 1 +2 dpdp d1d1 : i.e., Bu iddia doğru ise, bu durumda G-v 1 çizgedir dereceler dizisi s 1  s 1 grafikseldir

36 Ch1-36 doğru değilse öyle iki v j ve v k (j d k yani v 1 v k  E(G) ama v 1 v j  E(G). doğru değilse öyle iki v j ve v k (j d k yani v 1 v k  E(G) ama v 1 v j  E(G). ispat: İddia: { v 1 v 2, v 1 v 3, …, v 1 v d 1 +1 }  E(G) ispat: v1v1 G vjvj vkvk vnvn d j > d k olduğundan  v n  V(G) yani v j v n  E(G), v k v n  E(G). G 2 = G  { v 1 v k, v j v n } + { v 1 v j, v k v n } G 2 nin derece dizisi s ama büyük, 

37 Ch1-37 Algoritma s: d 1, d 2, …, d p tam sayılar dizisidr s grafiksel midir?: (1) Eğer d i =0,  i, ise s grafikseldir. Eğer  d i <0 bir i için ise s grafikseldir. Aksi durumda, (2). Addıma git (2) s i artmayan şekilde sırala (3) s = s 1 olsun( s 1 Thm ), (1) e dön

38 Ch1-38 Örnek 1 s: 4, 4, 3, 3, 2, 2 s 1 ’ : 3, 2, 2, 1, 2 ( 4 ü sil) s 1 : 3, 2, 2, 2, 1 (sırala) s 2 : 1, 1, 1, 1 (3 ü sil) s 3 ’ : 0, 1, 1 (ilk biri sil 1) s 3 : 1, 1, 0 (sırala) s 4 : 0, 0 (ilk1 i sil)  s grafiksledir

39 Ch1-39 Çizge çizimi s: 4, 4, 3, 3, 2, 2 s1 ’ : 3, 2, 2, 1, 2 s1: 3, 2, 2, 2, 1 s2: 1, 1, 1, 1 s3 ’ : 0, 1, 1 s3: 1, 1, 0 s4: 0, 0  s grafikseldir G

40 Ch1-40 Örnek 2 s: 5, 4, 3, 2, 1, 1 s 1 : 3, 2, 1, 0, 0 (5 i sil) s 2 : 1, 0, -1, 0 (3 ü sil)  s grafiksel değil


"Çizge Algoritmaları Çizge Algoritmaları. Çizge teorisi 1736, Euler, Königsberg Köprüleri problemini çözdü 1736, Euler, Königsberg Köprüleri problemini." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları