Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

4) DENKLEM ÇÖZÜMLERİ 4.1. Grafik Yöntemleri 4.1. Grafik Yöntemleri 4.2. Kapalı Yöntemler 4.2. Kapalı Yöntemler 4.3. Açık Yöntemler 4.3. Açık Yöntemler.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "4) DENKLEM ÇÖZÜMLERİ 4.1. Grafik Yöntemleri 4.1. Grafik Yöntemleri 4.2. Kapalı Yöntemler 4.2. Kapalı Yöntemler 4.3. Açık Yöntemler 4.3. Açık Yöntemler."— Sunum transkripti:

1 4) DENKLEM ÇÖZÜMLERİ 4.1. Grafik Yöntemleri 4.1. Grafik Yöntemleri 4.2. Kapalı Yöntemler 4.2. Kapalı Yöntemler 4.3. Açık Yöntemler 4.3. Açık Yöntemler f(x)=0 Kök,kökün bulunması Cebirsel denklem

2 S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,20072 Denklem kökleri mühendislikte tasarım alanında karşımıza çıkar. Fizik kanunlarından çıkarılan matematiksel denklemler veya modeller, bir sisteme ait bağımlı değişkenlerin tahmin edilmesinde kullanılır. Fizik kanunlarından çıkarılan matematiksel denklemler veya modeller, bir sisteme ait bağımlı değişkenlerin tahmin edilmesinde kullanılır. Örnek:Bir paraşütçünün hızını bulmak için Newtonun 2. yasasını kullanalım Örnek:Bir paraşütçünün hızını bulmak için Newtonun 2. yasasını kullanalım

3 S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,20073 Diğer parametreler bilinirse, paraşütçünün hızını, zamana bağlı olarak hesaplamak (v=f(t)) kolaydır fakat c= ?. fakat c= ?. Çözüm analitik olarak mümkün değil Çözüm analitik olarak mümkün değil Sayısal çözüm: Sayısal çözüm: f( c) =0 f( c) =0 Bu fonksiyonu sıfır yapan kök, tekrar tekrar c’ye değerler verilerek, grafik veya diğer sayısal yöntemlerle bulunur. Denklemlerin sayısal olarak çözümleri de diğer problem çözümleri gibi çoğunlukla yinelemeli (iteratif) yöntemlerle yapılır.

4 S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB., Grafik Yöntemleri Örnek:f(x)=xe -x +x 3 +1 fonksiyonunun yaklaşık kökünü grafikten bulalım. Örnek:f(x)=xe -x +x 3 +1 fonksiyonunun yaklaşık kökünü grafikten bulalım. Kaba bir yaklaştırma için çizilen grafik yeterli olabilecektir. Kökü aramaya doğru bir noktadan başlamak çözüme ulaşmayı hızlandıracaktır Grafik çizimleri, kökü aramak için herhangi bir sayısal çözüm yönteminde başlangıç tahmin değerlerinin seçiminde bize yardımcı olur

5 S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,20075 f(x)= xe -x +x 3 +1 fonksiyonunun grafiği

6 S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,20076 kök Fonksiyonlar kök civarında işaret değiştirdikleri için, kökü sağından ve solundan kıskaca alarak bu aralığı gittikçe daraltıp köke ulaşmak mümkündür. Bunun için iki tane başlangıç değeri belirlemek gerekir. Fonksiyonlar kök civarında işaret değiştirdikleri için, kökü sağından ve solundan kıskaca alarak bu aralığı gittikçe daraltıp köke ulaşmak mümkündür. Bunun için iki tane başlangıç değeri belirlemek gerekir. Kökün, bu iki değerin arasındaki kapalı bölgede olduğu bu yöntemlere kapalı yöntemler adı verilir. Kökün, bu iki değerin arasındaki kapalı bölgede olduğu bu yöntemlere kapalı yöntemler adı verilir Kapalı Yöntemler xaxa xüxü

7 S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB., Kapalı Yöntemler Arada başka bir kök olmaması ve kısa sürede köke yakınsaması için aralık mümkün olduğunca dar seçilmelidir. Arada başka bir kök olmaması ve kısa sürede köke yakınsaması için aralık mümkün olduğunca dar seçilmelidir. 1. kök 2. kök (aradığımız) 3. kök xaxa xüxü

8 S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,20078 f(x): [xa,xü] f(xa).f(xü)<0 f(xa).f(xü)<0 x [xa,xü] xaxa xüxü f(xa).f(xü)=0 f(x a ) f(xa).f(xü)=0 f(x a ) =0 x=x a f(x ü ) f(x ü ) =0 x=x ü xaxa xüxü f(xa).f(xü)>0 f(xa).f(xü)>0 x [xa,xü]

9 S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,20079 [xa,xü] aralığındaki köke yaklaşmak için aralığın orta noktasını bulalım f(x a ).f(x o ) <0 f(x a ). f(x o ) x a ile x o farklı bölgelerde kök xü(yeni)=xo İkiye Bölme (Bisection) Yöntemi Güncellenecek sınır f(x a ).f(x o ) >0 x a ile x o aynı bölgelerde xa(yeni)=xo

10 S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB., Örnek: f(x) = x.e -x +x 3 +1 fonksiyonunun kökünü =1*10 -6 duyarlılıkla bulalım, [-1,0], Cevap: x=

11 S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB., Bilgisayarda Çözüm: Programın Algoritması

12 S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB., xa=-1; xu=0; es=1e-6 while abs(xu-xa)/2>es xo=(xa+xu)/2 xo=(xa+xu)/2 fa=xa*exp(-xa)+xa^3+1 fa=xa*exp(-xa)+xa^3+1 fo=xo*exp(-xo)+xo^3+1 fo=xo*exp(-xo)+xo^3+1 if fa*fo<0 if fa*fo<0 xu=xo; xu=xo; else else xa=xo xa=xo end endend Program

13 S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB., Programı daha esnek hale getirebilmek için öncelikle programda kullanılacak fonksiyon başka bir.m dosyası içinde önceden tanımlanabilir.

14 S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB., Geliştirilmiş algoritma

15 S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,200715

16 S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB., Adım Küçülterek Köke Yaklaşma Yöntemi f(x).f(x+h) >0 adım f(x).f(x+h)<0 x(yeni)=x+h h(yeni)=h/10

17 S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB., Örnek: Herhangi bir f(x) fonksiyonunun kökü 5.42 olsun. [4 6] aralığında kökü aramaya başlarsak; xa=4, h=1 x= 4 5h=0.1 5,1 5,2 5,3 5,4h=0.01 5,41 5,42

18 S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,200718

19 S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,200719

20 S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,200720

21 S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB., Yer Değiştirme (Regula Falsi) Yöntemi Yer Değiştirme (Regula Falsi) Yöntemi Benzer üçgenler f(xü) f(xa)

22 S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB., f(x a ).f(x r ) <0 f(x a ). x a ile x r farklı bölgelerde kök xü(yeni)=xr Güncellenecek sınır f(x a ).f(x r ) >0 x a ile x r aynı bölgelerde xa(yeni)=xr

23 S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB., Örnek: Kütlesi m=68.1kg olan bir paraşütçünün, t=10 s serbest düştükten sonra 40m/s hıza sahip olabilmesi için gerekli direnç katsayısını yer değiştirme yöntemiyle iki iterasyon adımı için belirleyin.(, xa=12, xü=16) Çözüm: Burada kök x=c direncidir, ilk iterasyon: xa=12f(xa)= xü=16f(xü)= xr=xr= f(xr)= İkinci iterasyon:f(xa)*f(xr)= <0 xr, xü ile aynı bölgede olduğu için bir sonraki iterasyonun üst sınırı olacaktır. xü= f(xü)= xa=12f(xa)= xr=xr=

24 S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,200724

25 S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB., Açık Yöntemler Kökü iki başlangıç değeri arasında kıskaca alma ( f(xa).f(xü) <0 ) sorgulaması yok Kapalı Açık

26 S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB., aradığımız kök xoxo Açık yöntemler hızlıdır fakat bazen başlangıç noktası uygun seçilmediğinde ıraksayabilirler.

27 S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB., Basit Sabit Noktalı İterasyon: Bütün açık yöntemler kökün bulunması için bir formül kullanırlar. Bütün açık yöntemler kökün bulunması için bir formül kullanırlar. f(x)=0 f(x)=0 x i+1 =g(x i ) x = g(x) f(x)=x 2 -2x+3=0x= g(x) veya f(x)=sinx=0 x=sinx+x g(x)

28 S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB., Örnek: Basit sabit noktalı iterasyon kullanarak f(x)=e -x -x fonksiyonunun kökünün yerini yüzde yaklaşım hatası % 1.2’nin altına düşene kadar hesaplayınız. Her adım için % yaklaşım hatasını mutlak değer olarak bulunuz. (x 0 =0) Çözüm: x i+1 =, İlk tahmin olarak x 0 =0 ile başlayarak tablodaki değerler bulunabilir. % ixixi , , , , , , , , ,10891

29 S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB., Sabit noktalı iterasyon için algoritma

30 S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB., g.m dosyası function [xkyeni] = g(xkeski) xkyeni=1.0*exp(-xkeski);

31 S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB., Newton-Raphson Yöntemi Newton-Raphson Yöntemi X i+2

32 S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB., Örnek: Newton-Raphson yöntemini kullanarak, f(x)=e -x -x fonksiyonunun kökünü x 0 =0 ilk tahminini yaparak bulun. (Yüzde bağıl yaklaşma hatası 3*10 -5 ’in altına düşene kadar iterasyona devam edin) Çözüm: Fonksiyonun birinci türevi Çözüm: Fonksiyonun birinci türevi fonksiyon ve türevi denklemde yerine konulursa x i+1 = x i -

33 S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB., x 0 =0 ixixi (%) , , ,20403E-05 f.m dosyasının içeriği: function [fx] = f(x) fx=1.0*exp(-x)-x; fturev.m dosyasının içeriği: function [fturevx] = fturev(x) fturevx=-1.0*exp(-x)-1;

34 S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB., es=3e-5; n=0; Nmax=100; xkeski=0; while (n

35 S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB.,200735

36 S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB., Sekant Yöntemi: f(x i-1 ) Newton R

37 S.YILMAZ,KOU. ELO-HAB., f(x a ).f(x r ) <0 x a ile x r farklı bölgelerde kök xü(yeni)=xr Güncellenecek sınır f(x a ).f(x r ) >0 x a ile x r aynı bölgelerde xa(yeni)=xr Regula Falsi Sekant X i+1 x i x i-1 İkisinde de iki ilk tahmin değeri var


"4) DENKLEM ÇÖZÜMLERİ 4.1. Grafik Yöntemleri 4.1. Grafik Yöntemleri 4.2. Kapalı Yöntemler 4.2. Kapalı Yöntemler 4.3. Açık Yöntemler 4.3. Açık Yöntemler." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları