Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

ÜN İ TE I  MANTIK  1. ÖNERMELER  a. Mantık  b. Terim,tanımlı ve tanımsız terimler  c. Önermenin tanımı sembolle gösterim  ç. Önermenin do ğ ruluk.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "ÜN İ TE I  MANTIK  1. ÖNERMELER  a. Mantık  b. Terim,tanımlı ve tanımsız terimler  c. Önermenin tanımı sembolle gösterim  ç. Önermenin do ğ ruluk."— Sunum transkripti:

1 ÜN İ TE I  MANTIK  1. ÖNERMELER  a. Mantık  b. Terim,tanımlı ve tanımsız terimler  c. Önermenin tanımı sembolle gösterim  ç. Önermenin do ğ ruluk de ğ eri  d. Önermenin do ğ ruluk de ğ erleri tablosu  e. Denk (eşde ğ er) önermeler  f. Bir önermenin de ğ ili (olumsuzu)

2  B İ LEŞ İ K ÖNERMELER  a. Bileşik önermeler  b. Veya (V) ba ğ lacı ile kurulan bileşik önermeler ve özelikleri  c. Ve ( Λ ) ba ğ lacı ile kurulan bileşik önermeler ve özelikleri  d. (V) ve ( Λ ) işlemlerinin birbiri üzerine da ğ ılma özeli ğ i  e. De Morgan (Dö Morgan) kuralları  f. Totoloji ve çelişki

3  Koşullu (şartlı) önermeler  I. ise ( ⇒ ) ba ğ lacı ile kurulan bileşik önermeler  II. Koşullu önermenin karfşıtı, tersi, karşıt tersi  III. Koşullu önerme ile ilgili özelikler  IV. Ancak ve ancak ( ⇔ ) ba ğ lacı ile kurulan iki yönlü koşullu önermeler  V. iki yönlü koşullu önerme ile ilgili özelikler

4  AÇIK ÖNERMELER  a. Açık önermeler  b. Açık önermenin do ğ ruluk (çözüm) kümesi  c. Niceleyiciler  I. Evrensel niceleyici (her)  II. Varlıksal niceleyici (bazı)  III. Niceleyicilerin de ğ ili

5  İ SPAT YÖNTEMLERi  a. Tanım  b. Aksiyon  c. Teorem  d. İ spat yöntemleri  I. Do ğ rudan ispat yöntemi  II. Olmayana ergi ile ispat yöntemi  III. Deneme yöntemi ile ispat  IV. Aksine örnek verme yöntemi ile ispat  V. Tümevarım yöntemi ile ispat  VI.Tümden gelim yöntemi ile ispat

6 BU ÜN İ TEN İ N AMAÇLARI  * Önermelerle ilgili temel kavramların bilgisi olan terimi, tanımlı ve tanımsız terimleri  örneklerle açıklayabilecek,  * Önermenin tanımını, sembolle gösterimini, do ğ ruluk de ğ erini, iki önermenin  denkli ğ ini açıklayabilecek ve do ğ ruluk de ğ erleri tablosu yapabilecek,  * Bir önermenin de ğ ilini açıklayabilecek,  * Birleşik önermeyi açıklayabilecek,  * “ Ve”, “veya”, ba ğ laçları ile kurulan birleşik önermelerin özelliklerini açıklayabilecek,  * De Morgan kuralları ile totoloji ve çelişkiyi do ğ ruluk tablosu yaparak gösterebilecek,

7  * Koşullu önermeleri açıklayabilecek, iki yönlü koşullu önerme ile koşullu önermeler  arasındaki ilişkiyi ve özelikleri açıklayabilecek,  * Açık önermeyi ve do ğ ruluk kümesini açklayabilecek,  * Evrensel ve varlıksal nieceleyicilerini örneklerle açıklayabilecek, bu niceleyecileri  içeren önerme ve bileşik önermelerin olumsuzunu yazabilecek,  * Verilen bileşik önermede, terim, aksiyom, teorem ve ispat kavramlarını açıklayabilecek,  * Bir teoremin hipotezini ve hükmünü belirtebilecek, bir teoremin karşıtını, tersini,  karşıt tersini, yazabilecek,  * İ spat yöntemlerini açıklayabileceksiniz.

8  Mantık, do ğ ru düşünme bilimidir. Do ğ ru düşünme ve do ğ ru yargıya, mantık kuralları  ile ulaşılır.  Matemati ğ in amacı, do ğ ru ve sistemli düşünebilmeyi kazandırmaktır. Mantık  Kuralları bilinmeden, matemati ğ in amacına ulaşılamaz.

9  Mantı ğ a matematiksel yapı kazandıran ingiliz bilim adamı George Boole’dir.  Boole’ün ortaya koydu ğ u sistem, sembolik mantık adıyla anılır. Biz, bu bölümde  matemati ğ in dilini oluşturmak amacıyla, sembolik mantı ğ ın temel kurallarını  inceleyece ğ iz.

10  Terim, Tanımlı ve Tanımsız Terimler  Bir bilim dalı içerisinde, konuşma dilinden farklı anlamı (özel anlamı) olan sözlüklerden  her birine, o bilim dalının bir terimi denir.

11  Bir terimin anlamını belirtmeye, terimi tanımlamak denir.  Üçgen, çember, do ğ ru parçası birer matemati ğ in tanımlı terimleridir.  Bazı terimleri tanımlayamayız. Sezgi yolu ile bu terimleri kavrarız. Bu tür terimlere  tanımsız terim denir.  Nokta, do ğ ru, düzlem birer matemati ğ in tanımsız terimidir.

12 Önermenin Tanımı, Sembolle Gösterimi  Kesin olarak do ğ ru ya da yanlış hüküm bildiren ifadelere, önerme denir. Önermeler  genel olarak p, q, r, s, vb. gibi harflerle gösterilir.

13  p : “Türkiyenin başkenti Ankara’dır.”  q : “Bir yıl 12 aydır.”  r : “ İ yi günler.”  s: “Tavuk dört ayaklı bir hayvandır.”  Burada p, q ve s ifadeleri birer önermedir. Çünkü do ğ ru veya yanlış bir hüküm  bildirmektedir. r ifadesi ise bir önerme de ğ ildir. Kesin olarak, do ğ ru veya yanlış bir  hüküm bildirmemektedir.

14 Önermenin Do ğ ruluk De ğ eri  Bir önerme do¤ru ise do ğ ruluk de ğ eri “1” veya “D” ile, önerme yanlış ise do ğ ruluk  de ğ eri “0” veya “Y” ile gösterilir.

15  Aşa ğ ıdaki önermelerin do ğ ruluk de ğ erini belirtelim  p: “Bir gün 24 saattir.”  q: “9 asal bir sayıdır.”  r: “Adana Ege bölgesindedir.”  s: “Eşkenar üçgenin bütün kenarlarının uzunlukları eşittir.”  Burada ki p, q ve s önermeleri do ğ rudur. Do ğ ruluk de ğ erleri “1”dir. r önermesi ise  yanlıştır. Do ğ ruluk de ğ eri “0” dır.

16  Aşağıda verilen önermelerin, doğruluk değerlerini bulalım. Bu önermelerden,  birbirine denk olanları ≡ sembolü ile denk olmayanları ise ≡ sembolünü kullanarak  gösterelim.  p : “En küçük doğal sayı sıfırdır.”  q : “Bir tek ve bir çift doğal sayının çarpımı, tek doğal sayıdır.”  r : “Köpek memeli bir hayvandır.”  s : “Dikdörtgenin bütün kenarları, birbirine eşittir.”  Verilen önermelerin doğruluk değerleri için, p ≡ 1, q≡ 0, r ≡1 ve s ≡ 0 dır.  O halde, p ≡ r, q ≡ s, p ≡ q, p ≡ s, q ≡ r yazabiliriz.

17 Bir Önermenin De ğ ili (Olumsuzu)  Verilen bir önermenin hükmünün de ğ iştirilmesiyle, elde edilen yeni önermeye, bu  önermenin de ğ ili (olumsuzu) denir.  Bir p önermesinin de ğ ili p ′, p ya da ~p sembollerinden birisi ile gösterilir.  “p nin de ğ ili” diye okunur.

18 B İ LEŞ İ K ÖNERMELER  Bu bölümde, “veya”, “ve”, “ise”, “ancak ve ancak” ba ğ laçlarını kullanarak yeni  önermeler oluşturaca ğ ız.  iki veya daha çok önermenin, “ve”, “veya”, “ise”, “ancak ve ancak” gibi ba ğ laçlarla  ba ğ lanmasından elde edilen yeni önermelere, bileşik önermeler denir.  Bileşik olmayan önermelere de basit önerme denir.  Önermeleri birbirine ba ğ layan, “ve”, “veya”, “ise”, “ancak ve ancak” gibi terimlere  mantıksal ba ğ laç denir. Bu ba ğ laçlarla birbirine ba ğ lanan önermelere, bileşik önermenin  bileşenleri denir.

19  Verilen p ile q herhangi iki önerme olmak üzere, bu basit önermelerin “veya”  ba ğ lacı ile ba ğ lanmasından meydana gelen bileşik önermeye, p veya q bileşik önermesi  denir. pVq şeklinde gösterilir.  pVq bileşik önermesinde, bileşenlerden en az birisi do ğ ru iken do ğ ru, ikisi de  yanlış iken yanlıştır.  pVq bileşik önermesinin do ğ ruluk de ğ erleri tablosu, aşa ğ ıdaki şekilde yapılmıştır.  Bu tablodan görüldü ğ ü gibi, 1V1 ≡ 1, 1V0 ≡ 1, 0V1 ≡ 1, 0V0 ≡ 0 oldu ğ u görülmektedir.

20  p: “Van gölü Türkiye’nin en büyük gölüdür.”  q: “Her çift sayı 2 ile bölünür.” önermeleri veriliyor. Bu önermeler için pVq bileşik  önermesini yazalım ve do ğ ruluk de ğ erini bulalım.  pVq : “Van gölü Türkiye’nin en büyük gölü veya her çift sayı 2 ile bölünür.” diye yazılır.  p ve q önermeleri do ğ ru önermelerdir. Buna göre, pVq ≡ 1V1 ≡ 1 olup, bu bileşik  önerme do ğ rudur.

21 Veya Ba ğ lacı ile Kurulan Bileşik Önermelerin Özelikleri VVerilen p, q, r herhangi üç önerme olsun. Bu önermeler için aşa ğ ıdaki özelikler vardır. 11. pVp ≡ p (Tek kuvvet özelli ğ i) 22. pVq ≡ q V p (De ğ işme özeli ğ i) 33. p V (q Vr) ≡ ( p V q ) Vr (Birleşme özelli ğ i) 44. pV1 ≡ 1 ve pV0 ≡ p

22  Verilen [(1V0) V0] V (1V0) bileşik önermesinin do ğ ruluk de ğ erini bulalım.  Verilen [(1V0) V0] V (1V0) ≡ (1V0) V1 ≡ 1V1 ≡ 1 olur.  O halde, verilen bileşik önerme do ğ rudur.

23  Verilen p ile q herhangi iki önerme olmak üzere, p ile q önermelerinin “ve” ba ğ lacı  ile ba ğ lanmasından oluşan bileşik önermeye, p ve q bileşik önermesi denir. p Λ q şeklinde  gösterilir.  p Λ q bileşik önermesi, p ve q önermelerinin ikisi de do ğ ru iken do ğ ru, di ğ er durumlarda yanlıştır

24  p : “Portakal meyvedir.”  q: “Üzüm sebzedir.” önermeleri için p Λ q bileşik önermesini yazalım. Do ğ ruluk  de ğ erini bulalım.  p Λ q: “Portakal meyve ve üzüm sebzedir.”  p önermesi do ğ ru, q önermesi yanlıştır. p ≡ 1, q ≡ 0 dır.  Buna göre, p Λ q ≡ (1 Λ 0) ≡ 0 olup, bileşik önerme yanlıştır.

25 Ve Ba ğ lacı ile Kurulan Bileşik Önermenin Özelikleri  Verilen p, q, r herhangi üç önerme olsun. Bu önermeler için aşa ğ ıdaki özelikler vardır  1. p Λ p ≡ p (Tek kuvvet özelli ğ i)  2. p Λ q ≡ q Λ p (De ğ işme özelli ğ i)  3. p Λ (q Λ r) ≡ (p Λ q) r (Birleşme özelli ğ i  4. p Λ 1 ≡ p ve p Λ 0 ≡ 0

26 De Morgan (Dö Morgon) Kuralları (Bileşik Önermenin Olumsuzu)  Verilen p ile q herhangi iki önerme olmak üzere, “V” ya da “ Λ ” ba ğ lacı ile elde edilen  bileşik önermeler ile bu önermelerin olumsuzları arasında, (p V q)´ ≡ p´ Λ q´ ile  (p Λ q)´ ≡ p´Vq´ ba ğ ıntısı vardır. Bu ba ğ ıntılar, De Morgan Kuralı adını alırlar.

27 Totoloji ve Çelişki  Bir bileşik önerme, kendisini oluşturan her de ğ eri için daima do ğ ru oluyorsa, bu  bileşik önermeye totoloji, daima yanlış oluyorsa, bu bileşik önermeye de çelişki denir.

28 Koşullu (şartlı) Önermeler  İ se ( ⇒ ) Ba ğ lacı ile Kurulan Bileşik Önermeler:  Verilen p ile q önermelerinin “ise” sözcü ğ ü ile ba ğ lanmasından oluşan bileşik önermesine  koşullu (şartlı) önerme denir. “p ise q” diye okunur. Bu koşullu önerme p ⇒ q şeklinde yazılır.

29  Verilen bileşik önermede, p do ğ ru ve q yanlış iken yanlış, di ğ er durumlarda  do ğ rudur.  Bu tanıma göre, p ⇒ q bileşik önermenin do ğ ruluk de ğ erleri tablosu aşa ğ ıdaki  şekilde yapılmıştır.  Bu tabloda gösterildi ğ i gibi, 1 ⇒ 1 ≡ 1 ⇒ 0 ≡ 0, 0 ⇒ 1 ≡ 1, 0 ⇒ 0 ≡ 1 oldu ğ u  görülmektedir

30 Koşullu Önermenin Karşıtı, Tersi, Karşıt Tersi  Verilen p, q önermesi ile p ⇒ q koşullu önerme meydana getirildi ğ inde;  1. q ⇒ p koşullu önermesine, p ⇒ q önermesinin karşıtı denir.  2. p ′ ⇒ q ′ koşullu önermesine, p ⇒ q önermesinin tersi denir.  3. q ′ ⇒ p ′ koşullu önermesine, p ⇒ q önermesinin karşıt tersi denir.

31 Koşullu Önerme ile ilgili Özellikler:  1. (p ⇒ q) ≡ (q ′ ⇒ p ′ )  2. (p ⇒ q) ≡ (p ′ V q)  3. ( p ⇒ q) ′ ≡ p Λ q ′  4. (p ⇒ p) ≡ 1  5. (p ⇒ p ′ ) ≡ p ′  6. (0 ⇒ p) ≡ 1

32 “Ancak ve Ancak” Ba ğ lacı ile Kurulan İ ki Yönlü Koşullu Önermeler  Verilen p ile q önermesinde (p ⇒ q) Λ (p ⇒ q) bileşik önermesine, iki yönlü  koşullu önerme denir. Burada p ⇒ q koşullu önermesi ile bunun karşıtı olan q ⇒ p  bileşik önermesinin “ve” ba ğ lacı ile ba ğ lanmasından meydana gelmiştir. p ⇔ q  biçiminde yazılır ve “p ancak ve ancak q” diye okunur.  Bu tanıma göre, (p ⇔ q) ≡ (p ⇒ q) Λ (q ⇒ p) olur

33  p ⇔ q iki yönlü koşullu önermesi, p ile q nun do ğ ruluk de ğ erleri aynı iken  do ğ ru, farklı iken yanlıştır.  Verilen p ⇔ q iki yönlü koşullu önermesinin do ğ ruluk de ğ eri “1” yani do ğ ru ise  bu önermeye çift gerektirme denir.

34 İ ki Yönlü Koşullu Önerme ile ilgili Özellikler  1. ( p ⇔ q ) ≡ ( p ⇔ q ) Λ ( q ⇔ p )  2. ( p ⇔ q )´ ≡ ( p´ ⇔ q ) ≡ ( p ⇔ q´ )  3. ( p ⇔ p ) ≡ 1 (Totoloji)  4. ( p ⇔ q ) ≡ ( q ⇔ p ) (de ğ işme özelli ğ i)  5. ( p ⇔ q ) ⇔ r ≡ p ⇔ ( q ⇔ r ) (birleşme özelli ğ i)  6. p ⇔ 1 ≡ p ; p ⇔ 0 ≡ p´  7. ( p ⇔ p´) ≡ 0 (çelişki)

35 AÇIK ÖNERMELER  Do ğ rulu ğ u içindeki de ğ işkene ba ğ lı olan önermelere açık önerme veya önerme  fonksiyonu denir.

36 Niceleyiciler  Do ğ ruluk kümelerini oluşturan veya verilen önermeleri do ğ rulayan, elemanların  miktarını belirtmek için, “her”, “bazı”, “hiçbiri” gibi kelimeler kullanırız. Varlıkların  miktarını belirtmek için kullanılan bu ifadelere niceleyici denir.

37 Evrensel Niceleyici (her)  Her biri, hepsi, bütünü anlamına gelen “ ∀ " sembolü evrensel niceleyicidir

38 Varlıksal niceleyici (Bazı)  Verilen p(x) açık önermesi E evrensel kümesi üzerinde tanımlanmış olsun. E  kümesinde, her x elemanı için, p(x) açık önermesini do ğ rulayan en az bir x elemanı  için, p(x) açık önermesini do ğ rulayan en az bir x elemanı varsa, bu açık önermeye  varlıksal niceleyici denir. ∃ sembolü ∃ x ∈ E, p(x) veya ∃ x, p(x) şeklinde yazılır.

39  Verilen varlıksal niceleyicinin do ğ ru olması için, bazı x ler için p(x) do ğ ru veya en  az bir x için p(x) do ğ ru oluyorsa, ∃ x, p(x) önermesi do ğ rudur. Bütün x ler için p(x)  yanlış oluyorsa ∃ x, p(x) önermesi yanlış olur.

40 Niceleyicilerin De ğ ili  Verilen bir do ğ ru önermenin de ğ ilinin yanlış, yanlış bir önermenin de ğ ili ise  do ğ rudur. Buna göre, x bir de ğ işken ve p(x) bir açık önerme ise “ ∀ x ∈ E, p(x)” tir.  Önermesinin olumsuzu “ ∃ x ∈ E, p(x) de ğ ilidir.”

41  Verilen “Bazı sayılar asaldır.” önermesinin de ğ ilini yazalım.  “Bazı sayılar asaldır.” önermesinin de ğ ili “Bütün sayılar asal de ğ ildir” olur.

42 İ SPAT YÖNTEMLER İ  Aksiyom  Do ğ ru oldu ğ u ispatlanmadan kabul edilen önermelere, aksiyom denir. Aksiyomlar  kendi aralarında tutarlı, sisteme yeterli ve birbirinden ba ğ ımsız olmalıdır. Aksiyomlar  bir bilimsel yapının temel taşlarıdır.

43 Teorem  Matematikte ispatlanması gereken önermelere teorem denir. Teoremlerin do ğ rulu ğ unu,  önceden verilen tanım ve aksiyomlardan yararlanarak ispatlayabiliriz. Bir teoremin  ispatında, kendinden önce gelen teoremlerde kullanılır.  Verilen p ⇒ q koşullu önermesinde, başlangıçta olan p önermesine hipotez  (varsayım), varılan sonuca q önermesine hüküm (yargı) denir.  Hipotezin do ğ rulu ğ undan başlayarak hükmün do ğ rulu ğ unu göstermeye teoremin ispatı denir.  Teoremde, hipotezin daima do ğ ru olması gerekir.

44 İ spat Yöntemleri  I. Do ğ rudan ispat:  Verilen bir teoremde, hipotezin do ğ ru oldu ğ u kabul edilerek, hükmünde do ğ ru  oldu ğ u gösterilirse, bu ispat şekline, do ğ rudan ispat yöntemi denir.  II. Olmayana Ergi ile ispat Yöntemi:  Bir koflullu önermelerde, (p ⇒ q) ≡ (p´ ⇒ q´) dür.  p ⇒ q teoreminin ispatlanması yerine p´ ⇒ q´ teoremi ispatlanırsa p ⇒ q teoremi  ispat edilmiş olur. Bu yönteme, olmayana ergi ile ispat yöntemi denir.

45  III. Deneme Yöntemi ile ispat  Verilen önermedeki de ğ işkene farklı de ğ erler verilir. Bu de ğ erler, ayrı ayrı yerlerine  yazılarak önermenin do ğ rulu ğ u kontrol edilir. Buna deneme yöntemi ile ispat denir.

46  IV. Aksine Örnek Verme Yöntemi ile ispat  Verilen bir önermenin do ğ ru oldu ğ u ispatlanamıyorsa, aksine örnek verilerek, veya  çelişki oldu ğ u gösterilerek, yanlış oldu ğ u ispatlanır.  Bu yöntem genellikle p ⇒ q şeklindeki bir önermenin, yanlış oldu ğ unu ispatlamak  için kullanılır.  O halde, verilen önermenin do ğ ru olmadı ğ ını gösteren en az bir de ğ er varsa, bu  önermenin yanlış oldu ğ u ispatlanmış olur.

47  V. Tüme Varım Yöntemi ile ispat  Tüme varım yöntemi, özel kurallardan hareket ederek genel kurala ulaşma yöntemidir.  O halde, bu yöntemde yapılan ispat, parçalardan giderek bütünün do ğ rulu ğ unu bulmaktır.

48  VI. Tümden Gelim Yöntemi ile ispat  Tümden gelim, genel kuraldan özel kuralların çıkarılması yöntemidir. Bütünden  giderek istenilenin do ğ rulu ğ unu ispatlama yöntemidir.


"ÜN İ TE I  MANTIK  1. ÖNERMELER  a. Mantık  b. Terim,tanımlı ve tanımsız terimler  c. Önermenin tanımı sembolle gösterim  ç. Önermenin do ğ ruluk." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları