İlköğretim matematik öğretiminde karşılaşılan kavram yanılgıları

... konulu sunumlar: "İlköğretim matematik öğretiminde karşılaşılan kavram yanılgıları"— Sunum transkripti:

1 İlköğretim matematik öğretiminde karşılaşılan kavram yanılgıları
Süleyman UYKAL Bilal AKSAY Ahmet ARSLANYILMAZ Galip ÖZYURT Cansu OKUDAN Gözde KIRKIK

2 Kavram yanılgısı nedir?
Kavram yanılgısı bireyin doğru olarak kabul edip birçok beceriyi sergilemede kaynak olarak kullandığı yanlış kavramlar ya da kavramlamalardır. Kavram yanılgıları rastgele yapılan hatalardan farklı özellikler gösterir. Kişi yaptığı hatayı ufak bir uyarı ile farkedebilir ve düzeltebilir. Ancak belirli bir kavram yanılgısına sahip birey bu sebepten dolayı hata yaptığı zaman ve birisi tarafından uyarıldığı zaman once kendini savunmaya geçer. Kişiyi tatmin edemediğiniz takdirde bildiğinden vazgeçmez.

3 Kavram yanılgılarının ortak özellikleri:
Bir veya bir grup kavram yanılgısı çoğu kişide bulunabilme özelliği gösterir. Kavram yanılgıları beraberinde alternetif inanışlar yaratabilmektedirler. Çoğu kavram yanılgısı en azından geleneksel metotlarla ortadan kaldırılamayacak kadar ısrarcıdırlar. Bazı kavram yanılgıları bireyin çok eski geçmişinde yaşadığı deneyimlere dayanmaktadır. Kavram yanılgıları genetic temellerden çeşitli vesilelerle yaşanan deneyimlerden ve okul ortamlarındaki öğretimlerden kaynaklanabilir.

4 Kavram yanılgıları genellikle iki sebepten dolayı problem yaratır:
Özellikle öğrencilerin bunları kullanarak yeni deneyimleri yorumlamaya ve anlamlandırmaya çalıştıkları zamanlarda sorun olmakta ve öğrenmeye sekte vurmaktadırlar. Genellikle kavram yanılgılarını öğrenciler kendi algı biçimlerine göre kişisel olarak geliştirdikleri için bunları ortadan kaldırmak çok zor olmakta ve büyük çaba gerektirmektedir.

5 Kavram yanılgılarının sebepleri
Öğrenci kavram yanılgılarının nedenleri öğrenci bilgi düzeyi ve becerisi, öğretim yöntem ve stratejisi, öğrenilen konulun zorluğu gibi birçok değişik etkenle ilişkilendirilir. Kavram yanılgılarına yol açan sebeplerin incelenmesinde Fransız matematik eğitimcilerinin önemli katkıları vardır. Kavram yanılgıları üç ana sebepten kaynaklanır: Epistemolojik nedenler Psikolojik nedenler Pedagojik nedenler

6 Epistemolojik nedenler
Epistemolojik zorlukların iki temel karakteristlik özelliği vardır: Epistemolojik engeller öğrenilecek bilginin temel bir parçasını oluşturmaktadır. Bu engeller, ilgili kavramın tarihsel gelişiminde de karşılaşılmıştır. Bu iki karakteristik özelliğin birincisinden anlaşılacağı üzere epistemolojik engeller öğrenilecek kavramın doğasında vardır.

7 Bu engellere söz konusu kavramın öğrenme ortamına beraberinde getirdiği bir bilgi parçası ya da kavrayış nazarıyla bakılabilir. Tarihsel gelişimi sürecinde söz konusu kavram yapılandırılırken bilim insanlarının karşılaştığı güçlükler bu kavramın sahip olduğu epistemolojik engellere dair kanıt olarak düşünülebilir.

8 Örnek olarak irrasyonel sayılar ve onların sunduğu epistemolojik engelleri ele alabiliriz. .Kenarları 1’er cm olan bir dik üçgenin hipotenüsünün hesaplanması söz konusu olduğunda insanlar eldeki sayılarla, yani iki tam sayının bölümü şeklinde ifade edemeyecekleri yeni bir sayıyla karşılaşırlar.Daha sonraları köklü ile ifade edilebilecek olan bu sayı, aslında sonsuz basamağa sahip olan1, …sayısıdır.Pisagor ve öğrencileri tarafından bulunan bu türden sayıların (Pi) kabul görmesi sanıldığı gibi kolay olmamıştır.Bu tür sayılar akla aykırı bulunmuş, akla ve mantığa aykırı anlamına gelen ‘irrasyonel’ terimi ile isimlendirilmiştir.

9 Tarihi gelişiminde matematikçilerin de anlamlandırmakta zorluklar yaşadığı irrasyonel sayılar, aynı zamanda öğrencilerin de anlamakta güçlükler çektikleri sayılar olduğu yapılan çalışmalar tarafından ortaya konulmuştur. Ayrıca (Pi) sayısının sonsuz basamağa sahip olması, öğrencileri bu sayının gerçek sayı doğrusunda bir noktaya karşılık gelmeyeceği şeklinde bir hataya da sevk etmiştir. Üniversite öğrencilerinin bile bu sayı türüyle ilgili yaşadıkları güçlükler, aslında bu sayıların doğasında var olan engellerle düşünülebilir.

10 Psikolojik nedenler Kavram yanılgılarının psikolojik nedenleri, en genel anlamda, biyolojik,bilişsel ve duyuşsal boyutları içeren kişisel gelişimle alakalıdır. Öğrencinin kavrama yeteneği, becerisi,öğrenilenin öğretildiği dönemde bireyin bulunduğu gelişim aşaması, önceki bilgileri ve hazır bulunuşluk düzeyi gibi faktörlerin hepsi öğrencinin öğreneceği yeni bir kavramı nasıl öğrendiğini derinden etkilemektedir. Öğrencilerde görülen kavram yanılgıları,öğrenci-kaynaklı ya da psikolojik-kaynaklı olarak nitelendirilecektir.

11 Öğrencilerin yaşadıkları matematiksel zorluklar ve geliştirdikleri kavram yanılgıları, sadece okula getirdikleri sezgisel bilgilerden kaynaklanmaz.Okul yaşamları sırasında geliştirilen kavrayışlar da bazen kavram yanılgılarına ve hatalara neden olabilmektedir. Öğrenciler özellikle ilköğretimin ilk kademesinde çarpma işlemi konusundaki tecrübeler neticesinde ‘çarpma işleminin sonucu her zaman çarpan ya da çarpılandan daha büyüktür’ şeklinde aşırı genelleme içeren bir kavrayış ya da kavram yanılgısı geliştirebilmektedir.

12 Bu kavrayış her ne kadar pozitif tam sayıların çarpımı için doğru sonuçları verse de,negatif bir sayı ile pozitif bir sayının çarpımı ya da iki tane ondalık sayının çarpımı söz konusu olduğunda hatalı sonuçların elde edilmesine yol açabilmektedir. Dolayısıyla bir önceki ortamda(tam sayılar) edinilen ‘çarpma işleminin sonucu her zaman çarpan ya da çarpılandan daha büyüktür’ kavrayışı bir sonraki ortamda(negatif sayılar ve ondalık sayılar) ön bilgi olarak ele alındığında kavram yanılgılarına yol açmaktadır.

13 Pedagojik Nedenler Pedagojik sebepler bağlamında düşünülebilecek başlıca faktörler; Öğretim modelleri Bu modellerin uygulanışı Öğretmenin kullandığı metafor ve analojiler Ders kitapları Konu ve kavramların ders kitaplarında ele alınış sıraları

14 Pedagojik kaynaklı gelişebilecek kavram yanılgılarından biri ‘ 10 sayısı ile çarpma’ kuralına ilişkindir.Öğretmenler tarafından sıkça kullanılan ‘bir sayıyı 10 ile çarpmak demek çarpılana bir 0 ilave etmek demektir’ kuralını ondalık sayılara da aşırı genelleyen bir öğrenci 2,3*10 çarpma işlemini 2,30 şeklinde cevaplayarak hataya düşebilmektedir.Burada öğretmenin bahsettiği kuralı öğrencinin kullanması öğrencimin bu tür bir hataya düşmesine çok ciddi anlamda katkıda bulunmuştur.

15 Bu kavram yanılgısını en aza indirebilmek için ‘ 10 sayısı, çarpılan pozitif sayıyı on kat büyütür’ şeklinde bir açıklama matematiksel açıdan daha güçlü bir ifade olması sebebiyle tercih edilebilir. Öğrencilerin yaşadıkları matematiksel zorlukların ve kavram yanılgılarının nedeni sadece ‘matematiğin zor olması’ ya da ‘öğrencilerin matematiği öğrenememesi’ olmayıp, pedagojik nedenler de çok ciddi anlamda bu zorlukların ve kavram yanılgılarının oluşmasında rol oynayabilmektedir.

16 ÜSLÜ SAYILARDA KARŞILAŞILAN KAVRAM YANILGISI
Üslü Sayıların Değerini Belirleyememe: Verilen üslü sayının büyüklüğüne karar verememe öğrencilerin bu konuda karşılaştıkları en temel sıkıntılardandır.Bir üslü sayının değerini bulmaya çalışırken öğrencilerin düştükleri yargılardan biri taban ve üssün çarpılarak sayının değerinin bulunacağını düşünmeleridir.(3 =3x2=6 ) Üslü sayının büyüklüğüne karar veremeyen öğrencilerin sayının sayı doğrusu üzerinde nerede olması gerektiğine ilişkin sağlam bir düşünce sahibi olması da beklenmez. 2

17 Bu güçlüğün üstesinden gelmek için konunun en başından itibaren bu yeni sayı formu dikkatlice tanıtılmalı,üslü bir sayının başka nasıl ifade edilebileceği,hangi tam sayılar arasında olabileceği, sayı doğrusunda nereye yerleştirilebileceği üzerinde durulmalıdır. Üslü olarak verilen sayının bir rasyonel sayıya karşılık geleceği vurgulanmalı,değerinin çok büyük ya da çok küçük olduğu durumlarda da tahmini olarak kaç olabileceğinin düşünülmesi sağlanmalıdır.

18 (-a) ile -a İfadeleri Birbirinden Ayırt Edememe
Bu yanılgının temel sebeplerinden biri öğrencilerin ‘bir rasyonel sayının karesinin daima pozitif olduğu’ bilgisini kullanarak yanlış sonuca ulaşmasıdır. Bu iki ifadenin ne anlama geldiğinin öğrenci tarafından sözlü olarak açıklanmasının istenmesi öğrencinin kendi kendine iki ifadeyi ayırmasına yardımcı olabilir. (-a) ifadesi n tane (-a)’ nın çarpılması gerektiğini anlatırken –a ifadesi n tane a’nın çarpımının negatifi anlamına gelmektedir.Üslü ifadeleri bu biçimde sözel hale dökmek bu sorunun ortadan kalkmasını sağlayabilir. n n n n

19 Bunun yanı sıra ifadede a ve n yerine sayılara koyularak ifadenin sayısal olarak görülmesini sağlamak da bu güçlüğün giderilmesine yardımcı olabilir. Bu konuda öğrencilere hesap makinesinde üslü sayının değerinin nasıl hesaplanacağı gösterilip hesap makinesinden yararlanarak yaptıklarını kontrol etmeleri sağlanabilir.

20 xn ve nx İfadelerini Birbirinden Ayırt Edememe
Öğrencilerin değişkenin kuvvetiyle bir sayının değişken olarak verilmiş bir kuvvetini yani, x gerçel bir değişken ve n bir doğal sayı olmak üzere xn ve nx ifadelerini birbirinden ayıramadıkları görülmüştür. Örneğin bazı öğrenciler x2 ve 2x ifadelerinin her ikisinin de değerinin x2=2x=2x ya da x2=2x=x.x olacağını düşünmüşlerdir.

21 Öğrencilerin bu güçlüğü yenmeleri için bu ifadelerin ne anlama geldiğinin sözlü olarak açıklanması ve ifadenin eşitinin yazılması istenebilir.Yani üslü sayının değerinin nasıl bulunduğunun hatırlanması sağlandıktan sonra, x2→iki tane x’in çarpımı x2=x.x 2x→x tane ikinin çarpımı 2x=2.2.2…2 (x tane) Biçiminde ifade edilmesi sağlanırsa öğrencilerin bu hataya düşme olasılıkları azalacaktır.

22 OLASILIK KONULARI İLE İLGİLİ KAVRAM YANILGILARI Değişik yaş gruplarındaki öğrencilerin olasılık kavramlarını anlamaları üzerinde yapılan çalışmalar, öğrencilerin olasılık sorularının çözme sürecinde kullandıkları düşünme yollarını ortaya koymuştur. Buna göre belirsizlik durumunda bir olayın olasılığını yargılarken ya da tahmin ederken öğrencilerin genelde olasılık teorisinde kabul edilen normları uygulamak yerine bazı bilişsel kestirme yolları kullandıkları ve çeşitli kavram yanılgılarına sahip oldukları görülmüştür.

23 Orantılı Modelin Yanlış Kullanımı Farklı sınıf seviyelerindeki öğrencilerden, bir madeni paranın havaya 3 kez atıldığında en az iki defa tura gelme olasılığı ile 300 kez atıldığında en az 200 kere tura gelme olasılığını karşılaştırmaları istenmiştir. Büyük sayılar yasasına göre, örneklem büyüklüğü ya da deneme sayısı arttıkça göreli sıklık, teorik olasılık değerlerine yaklaşır. Ancak öğrencilerin büyük çoğunluğu her iki olayı da eş olasılı olarak düşündükleri görülmüştür.

24 Bu öğrencilerin kullandığı düşünce mantığı şudur:
2\3 =200\300, öyleyse iki olayın olasılıkları birbirine eşittir. Yani öğrenciler orantıların denkliğini kullanmaları gerektiğini düşünmüşlerdir. Bu örnekte öğrencilerin olayların olasılığını hesaplarken örneklem büyüklüğünün rolünü göz önünde bulundurmadığı görülmüştür. Böylelikle, bu örnekteki ve diğer çalışmalardaki benzer bulgulara bağlı olarak, öğrencilerin olasılıkla ilgili muhakemelerindeki sistematik hataların orantılılığının hatalı uygulanmasından kaynaklanabileceğini ileri sürmüşlerdir.

25 Birleşim Yanılgısı Bileşik olasılık, olasılık teorisinin en temel kavramlarından biridir. Bunu bir örnek üzerinden inceleyelim. Mesela, A ve B iki olay olsun. Bileşik olayın örnek uzayı, A ve B’ nin örnek uzaylarının bir alt kümesi olduğu için, A ve B olaylarının birlikte gerçekleşme olasılıkları her bir olayın ayrı ayrı olma olasılıklarını geçemez. Yapılan araştırmalar, bileşik olasılıkla ilgili öğrencilerin kavram yanılgısına sahip olduklarını ortaya çıkarmıştır. Birleşim yanılgısına sahip olan kişiler, iki ayrı olayın aynı anda olma olasılığını, olayların her birinin ayrı ayrı gerçekleşmesi olasılığından daha yüksek olacağını belirtmişlerdir.

26 Eşit Olasılık Yanlılığı İnsanların rastgele olayların bütün olası çıktılarını eşit olasılıklı görmeye eğilimi vardır. Örneğin, “iki zar aynı anda atıldığında bu iki zarın toplamının 9 ve 11 gelme olasılıkları nedir?” sorusuna öğrencilerin cevabı 9 ve 11 gelme olasılıklarının eşit olacağı yönünde olmuştur. Burada öğrencilerin zar atıldığında kaç geleceğinin şansa bağlı olacağını düşünerek iki zarın toplamının 9 ve 11 gelme olasılıklarının eşit olacağına inandıkları görülmektedir.

27 Ancak iki zar probleminde zarın üst yüzüne gelen sayıların toplamının 9 gelme olasılığı 11 gelme olasılığından daha yüksektir. Çünkü, 5 ve 4, 4 ve 5, 3 ve 6, 6 ve 3 ile 9 toplamı elde edilirken 11 için sadece 5 ve 6 ile 6 ve 5 ihtimalleri vardır. Sonuç olarak,öğrencilerin bazı olasılık olaylarının eş olasılı olma varsayımını eş olasılı olmayan durumlara aşırı genellemeye eğilimli oldukları söylenebilir.

28 MATRİS VE DETERMİNANTLARLA İLGİLİ KAVRAM YANILGILARI
Hurman lineer cebirin bazı konuları ile ilgili kavram yanılgılarını saptamak için gerçekleştirdiği çalışmada, öğrencilerin matrisleri sayı gibi kullandıklarına ve sayıların özelliklerini matrislere genelleştirdiklerine tanık olmuştur. 23 öğrenciye sorduğu sorular ve aldığı bazı yanıtlar şu şekildedir: A matrisinin tersi varsa ve A.X=B ise, X=… (cevap: A-1.B) Bu soruyu birçok öğrenci matris çarpımının değişmeli olmadığını göz ardı ederek cevap vermiş, eşitliğin bir tarafında sağdan öbür tarafında da soldan işlem yapmışlardır.

29 A ve B kare matris olsunlar, o zaman ( A.B)2=… (cevap: A.B.A.B)
Alınan cevapların dağılımı şöyle olmuştur: (A.B)2= A2.B2 ( 14 öğrenci) (A.B)2=B2.A2 ( 5 öğrenci) (A.B)2=A2+A.B+B.A+B2 ( 4 öğrenci) Determinantlarla ilgili kavram yanılgıları hakkında ise fazla araştırma yapılmamıştır.

30 Tam Sayılarla İlgili Kavram Yanılgıları
Tam Sayılarla İlgili Kavram Yanılgıları * Tam sayıları vermeden önce doğal sayılar ve sayma sayıları verilmelidir ve arasındaki ilişki açıklanmalıdır böyle yapılarak tamsayılar kümesinin pozitif kısmına hazırlanmış olunur. * Tamsayılar kümesini anlatırken negatif tamsayılar kümesini hava raporu etkinliğiyle vererek çocukta (-) işaretinin soğuk havayı (+) işaretinin sıcak havayı göstereceğini ve buradan da tamsayıların pozitif ve negatif kısımlarını anlatmalarını sağlayalım öğrencilere. * 0 tamsayısının ne negatif ne de pozitif olduğu fakat 0'ın bir tamsayı olduğu üzerinde durulmalıdır.

31 * Mutlak değer kısmında negatif bir tamsayının mutlak değerinin pozitif olduğu verilirken uzaklığın mutlak değer olduğu ve uzaklığın hiçbir zaman negatif olamayacağı üzerinden hareket edilmelidir. * Negatif sayı pozitif sayı kavramını vermeden önce pozitif sayı kendi cebindeki paran negatif sayı ise karşı tarafa herhangi birine ödemen gereken borç para olarak etkinlikler şeklinde anlatırsak kavramlar daha iyi anlaşılır. * Tam sayılarla toplamam işlemi anlatırken günlük hayattan bir etkinlik anlatalım. Herhangi bir tamsayının tersinin kendisiyle toplamının '0' (etkisiz) tamsayısına eşit olduğu üzerinde durulmalıdır.

32 * Tamsayılarla toplama ve çıkarma işlemini sayı doğrusunda gösteriniz toplama işleminin sağa doğru çıkarma işleminin sola doğru olduğunun çocuklara sayı doğrusunda üstünde durarak bu konuyu anlatmalıyız. * Tam sayılarla çarpma işlemini düşman ve dost etkinliğiyle (+) . (+) = (+) (+) . ( -) = ( -) ( -) . (+) = ( -) ( -) . ( -) = (+)  bu işlemler anlatılmalıdır.

33 * Negatif sayıların çift kuvvetlerinin ve tek kuvvetlerinin pozitif ve negatif olduğunu çocuklara örneklerle kavratmalıyız. * Bir tamsayının sıfıra bölümü tanımsız olduğunu böyle bir a sayısı bulunamayacağından a tanımsızdır Şeklinde anlatmalıyız. * Bir tamsayı 10'un pozitif tam kuvvetlerine kısa yoldan bölmeyi öğretmeden önce işlem yaptırarak böldürmeliyiz sonra öğrenci kendisi gerekliyi bilir.

34 FONKSİYON KAVRAMINA İLİŞKİN ÖĞRENCİ ZORLUKLARI VE KAVRAM YANILGILARI Öğrenciler bir fonksiyon türüne ait belirli bir özelliği tüm fonksiyonlara genellemek gibi farklı sebeplerden dolayı kavram yanılgıları geliştiriyor olabilirler. Ancak kavram yanılgılarının asıl sebebi öğrenme sürecinde yaşanan güçlüklerdir. Çünkü öğrenciler, yaşadıkları güçlükler neticesinde eksik ve yanlış bilgiler ediniyorlar; süreç içerisinde de bu eksik ve yanlış bilgilerin doğru olduğuna dair çok güçlü kanaatler geliştiriyorlar ki biz bunlara kavram yanılgıları diyoruz.

35 Fonksiyonu Bire-Bir Eşleme Yapan Bir Bağlantı Olarak Görme Bir kısım öğrenciler fonksiyonu iki kümenin elemanları arasında bire bir eşleme yapan bir bağıntı olarak algılamakta ve bunun sonucu olarak tanım kümesindeki birden fazla elemanı değer kümesinde aynı elemana eşleyen bağıntıları fonksiyon olarak kabul etmektedirler. Bazı öğrenciler ise “tanım kümesinde açıkta eleman kalmaması koşuluna” yoğunlaşmakta ve değer kümesindeki elemanları dikkate almamaktadırlar. Bunun sonucu olarak da tanım kümesindeki bir elemanı değer kümesinde birden fazla elemana eşleyen bağıntıları fonksiyon olarak kabul etmektedirler.

36 Örneğin iki küme elemanları arasında 1-1 eşleme yapmakla birlikte tanım kümesinde bazı elemanları açıkta bırakan bağıntıları fonksiyon olarak kabul etmektedirler. Bu türden kavram yanılgıları öğrencilerin fonksiyonun tanımında vurgulanan manayı anlamadıklarının açık bir göstergesidir.

37 Liste Biçiminde Yazılımlara (Sıralı İkililer) İlişkin Zorluklar Bazı öğrenciler, liste biçiminde yazılımlar ile fonksiyon kavramını ilişkilendirmekte zorlanmaktadırlar. Öğrenciler yanlış bir şekilde sıralı ikililerin birinci bileşenlerin değer, ikinci bileşenlerinin ise tanım kümesine ait olduğunu düşünebilmektedirler. Bir fonksiyonu sıralı ikili formatında (x,y) biçiminde gösterebiliriz. Buradaki x tanım kümesinin elemanlarını y ise x’lerin fonksiyon altındaki görüntülerini temsil etmektedir. Dolayısıyla x ile y arasında anlamsal bir bağ vardır ancak öğrenciler bu bileşenleri çoğu kez birbiri ile ilişkisiz elemanlar olarak düşünmektedir.

38 Analitik geometride kullanıldığı şekliyle bir sıralı ikili, örneğin (2,5), düzlemdeki bir noktanın koordinatlarını ikilinin bileşenleri arasında fonksiyonlar konusunda olduğu şekilde anlamsal bir bağ yoktur. Öğrenciler analitik geometri derslerinde edinmiş oldukları bilgilerini gözden geçirmeden fonksiyonlar konusuna taşımakta ve bu da öğrencilerin sıralı ikililerin bileşenleri arasında var olan manasal ilişkiyi görmelerini engellemektedir.

39

40

41

42

43 Bir üçgende 60 derecelik bir açı karşısında 4cm, 70 derecelik bir açı karşısında
3cm’lik bir uzunluk olabilir mi? Böyle bir üçgen çizilebilir mi?

44 Kavram yanılgılarını önlemede çözüm önerileri
Sınıfların kalabalık oluşu, matematik öğretiminin gerçekleşmesini zorlaştırmaktadır. Bu yüzden, sınıflar kişilik öğrenci sayısıyla sınırlandırılmalıdır. Kavramlar öğretilirken, öğrencilerin yaşadığı çevreden örnekler verilip, günlük hayatla ilişkilendirilmelidir. Öğretmenlerimizin yeni programı uygulayabilmelerine yönelik, yeni programın uygulama, yöntem ve tekniklerine ilişkin hizmet içi eğitime tabii tutulmalıdırlar.

45 Matematik öğretiminde sadece işlemsel ve kurala dayalı bilgiye önem verilmemeli, bu bilginin temelini oluşturan kavramsal bilgi üzerinde de durulmalıdır. Matematik öğretiminde sadece tahta kullanılarak sunuş yoluyla öğretim yapılmamalıdır. Konuların özelliğine göre değişik öğretim yöntemleri ve teknoloji de kullanılmalıdır. Öğrencilerin matematiğe karşı ilgisini artırmak için, birbirleriyle iyi iletişim kurmaları, matematiği tartışacakları iyi bir öğrenme ortamı hazırlanmalıdır.

46 Öğretmenlerin anlattıkları konular içerisinde, sordukları soruları kendilerinin çözmemesi, öğrencilere çözdürmesi ve onların sorular üzerindeki düşüncelerini alması, problem çözümünde nerelerde hata yapıyorlarsa, oralarda öğrencilere yardımcı olması kavram ve konu öğreniminde yararlı olmaktadır.

47 HAYAT PAYLAŞINCA GÜZEL 
BİZİ DİNLEDİĞİNİZ İÇİN TEŞEKKÜR EDERİZ..