HOŞGELDİNİZ….

... konulu sunumlar: "HOŞGELDİNİZ…."— Sunum transkripti:

1 HOŞGELDİNİZ…

2 NEGATİF SAYILARA İLİŞKİN ZORLUKLAR,KAVRAM YANILGILARI VE BU YANILGILARIN GİDERİLMESİNE YÖNELİK ÖNERİLER

3 kazanımlar Negatif sayı nedir? Negatif sayıların müfredattaki yeri
Negatif sayılara ilişkin zorluklar ve kavram yanılgıları Negatif sayıların kavramsallaştırılmasına ilişkin zorluklar Negatif sayılarda toplama ve çıkarma işlemlerine ilişkin zorluklar Negatif sayılarda çarpma ve bölme işlemlerine ilişkin zorluklar Kavram yanılgılarında öğretmen bilgisi Çoklu gösterim modüllerinin kullanılması Negatif sayıları anlamlı öğrenmeye yönelik yöntem ve öneriler Negatif sayıların anlamlandırılması Negatif sayılarda toplama ve çıkarma işlemlerinin anlamlandırılması Negatif sayılarda çarpma ve bölme işlemlerinin anlamlandırılması Sonuç

4 GİRİŞ İlköğretim 1. kademe süresince sadece doğal sayılarla işlem yapmaya alışkın olan öğrenciler için negatif sayıları anlamlandırmak kolay bir süreç değildir.Bu anlatımda negatif sayıların tanım ve önemine ,kısaca tarihçesine,bu sayıların öğreniminde ve öğretiminde karşılaşılan güçlükler ve bu güçlüklerle kavram yanılgılarının nasıl giderilebileceğine dair konulara değinilmiştir.

5 Negatif sayı ne demektir?
Van De Walle (2007) negatif sayıları doğal sayılar üzerinden tanımlamıştır.Rönesans dönemi gibi yakın bir dönemde rastlanır.Descartes negatif sayıların varoluşunu imkansız olarak belirtmiş ve kendi oluşturduğu koordinat düzlemde sadece pozitif yön kullanmıştır.Halbuki sayılar sadece miktar göstergesi değil aynı zamanda sayı doğrusu üzerinde hareket olarak düşünülmekte farklı bir deyişle pozitif sayılar sağ yöne, negatif sayılar ise sol yöne hareket olarak tanımlanmaktadır.

6 Negatif Sayıların kısaca tarihçesi
Crowley ve Dun(1985) negatif sayıların tarihçesine ilişkin eski dönem matematikçilerinin negatif sayılardan haberdar olmalarına rağmen onları reel sayı olarak kabul etmek istemediklerini ve bu sayıları anlamlandırmada zorlandıklarını belirtmişlerdir.16.yy sonlarında ve 17.yy başlarında negatif sayıları kabul etmemiştir.18.yy da matematikçiler bu sayıların özelliklerini ispat etmeye çalışmışlardır. Negatif sayıların ve eksi ile eksinin çarpımının artı olduğunu kabul görmesi 19. yüzyılı bulmuştur. Günümüzde ise negatif sayılar matematik derslerinde adı geçen bir kavram olmanın ötesinde günlük yaşamda da karşımıza çıkmakta ve böylece bir çok kişi okuldaki formal eğitim sürecinden önce negatif sayılara ilişkin farkındalık geliştirmektedir.

7 Negatif Sayıların Müfredattaki Yeri
Hativa ve Cohen (1990)çocukların formal olarak negatif sayılara ilişkin aldıkları eğitim öncesinde de pozitif olmayan sayı ve miktarlara karşı sezgilere sahip olduklarını gösteren çalışmaların olduğunu belirtir. Örneğin Azze (1989)yaptığı çalışmada bir çok 4 ve 5. sınıf öğrencisinin eksi işareti ile ilk kez karşılaştıklarında bu işareti yadırgamadıklarını ve sayı doğrusu üzerinde sıfırın solundaki sayıları incelerken ve bu sayılara ilişkin belli işlemleri yaparken zorluk yaşamadıklarını belirtmiştir. Benzer şekilde Murray (1985) ilköğretim 2. kademe öğrencileri yanı sıra ilköğretimde ki 1. kademedeki öğrencileri de negatif sayılara ilişkin bilgilere sahiptir ve bu sayılara ilişkin işlemleri doğru yapabildikleri belirtilmiştir.

8 Öğrenciler günlük yaşamda bir çok sezgisel bilgiler geliştirseler de formal anlamda bu sayılara ilişkin ilk kavramsal bilgiler 6. sınıfta verilmektedir. Negatif sayılar ilköğretim 6. sınıf matematik kitabında ‘sayılar’ öğrenme alanının altında ‘Tam Sayılar ve Tam Sayılarda İşlemler’ alt öğrenme olarak karşımıza çıkar(MEB,2008) Tamsayılara ilişkin kazanımlar ise ;tam sayıları açıklar ,mutlak değerin anlamını açıklar,tamsayıları karşılaştırır ve sıralar,tam sayılarda toplama ve çıkartma işlemi yapar. Bir çok matematik eğiticisi negatif sayıların müfredatta hangi seviyede yer alması gerekliliğine dair görüşlerini sunmuş ve bu düşüncelerine ilişkin gerekçelerini belirtmişlerdir.

9 Murray (1985)negatif sayıların 4
Murray (1985)negatif sayıların 4.sınıfta tanıtılmasını uygun olacağını hatta basit toplama (-4+-3) işlemlerinin kuralsız anlatılabileceğini savunmuştur.Buna paralel olarak Hativa ve Cohen (1995)negatif sayıların erken dönemde (4 ve5.sınıf)pozitif sayı sisteminin uzantısı şeklinde öğretilmesi gerekliliğini savunmuştur.Hativa ve Cohen(1995)’e göre negatif sayılara ilişkin belli kavram ilköğretim seviyesinden itibaren tanıtıldığında ileriki yaşlarda oluşabilecek kavram yanılgılarının önüne geçilebilecektir.

10 Negatif sayılar ve negatif sayılara ilişkin işlemler öğrenciye ne zaman öğretilmelidir sorusu hala netlik kazanmamıştır. Ne var ki hazırlanan yeni ilköğretim matematik müfredatında 6. sınıfa kaydırılan tam sayılarda toplama ve çıkarma işlemi yapar kazanımı Milli Eğitim Bakanlığı Talim Terbiye Kurulu Başkanlığınca ilköğretim matematik dersi (1-8.sınıflar)öğretim programında yapılan değişikler raporunda tekrar 7. sınıfa kaydırılmış(MEB,2009)6. sınıfta ise öğrencilerin bu sayılara ilişkin farkındalıklarının artırılması amaçlanmıştır.

11 Negatif sayıların hangi sınıf seviyesinde yer alması gerekliliği , öğrencilerin gelişim süreçleri de gözönünde bulundurularak değerlendirilmelidir.Başka bir deyişle öğrenciler formal eğitim süreçleri öncesinde her ne kadar negatif sayılara ilişkin sezgisel bilgilere sahip olsalarda bu sayılarla işlemlere yönelik kavramsal bilgilerin gelişmesi için onlara daha geniş aralıklı zamanlar verilmesi gerekmektedir.

12 Negatif sayılara ilişkin zorluklar ve kavram yanılgıları
Doğal sayılar ve kesirlere oranla ,öğrencilerin negatif sayıları nasıl anlamlandırdıkları ve onlarla işlem becerilerinin nasıl geliştiği üzerine literatürde çok az sayıda çalışmaya rastlanmaktadır(NRC,2001).bir çok öğrencinin sadece kuralları temel alıp bu konuları kavramlaştırmadan ezberledikleri v4e bu yüzden bir çok lise öğrencisinin bile negatif sayılarla işlem yapmada zorluk yaşadıkları belirtilmiştir(Bruno,Espinel Martinon,1997;Kucheman,1980).

13 NEGATİF SAYILARIN KAVRAMSALLAŞTIRILMASINA İLİŞKİN ZORLUKLAR
Negatif sayılara ilişkin yaşanan en büyük zorlukların başında hiç kuşkusuz bu sayıların anlamlandırılamaması ve kavratılamaması gelmektedir. Fischbein bu zorlukların ana kaynağını aritmetik öğretimi sırasında sayılara ilişkin ‘’büyüklük’’ve ‘’miktar’’ kavramlarının kullanımının negatif sayılardaki kullanımı ile çatışması olarak belirtir. Örneğin, 1kg elma ile 5kg elma arasında karşılaştırma yapan bir öğrenci miktar olarak 5kg elmanın daha çok olduğunu, aynı mantıkla 1 rakamı ile 5 rakamını karşılaştırdığında ise 5 rakamının daha büyük olduğunu belirtir.Bu mantıkla hareket eden bir öğrenci -1 ile -5 arasında da aynı ilişkiyi kurmakta ve -5’in büyüklük ve miktar olarak -1’den daha büyük olduğunu savunmaktadır. Negatif sayıların büyüklüklerinin karşılaştırılmasına ilişkin Ball ise mutlak değer kavramının işin içine girdiğini ve bu durumun bazı öğrenciler için karmaşık bir hal alabileceğini belirtmiştir.

14 İŞLEMLERİNE İLİŞKİN ZORLUKLAR
Fischbein ve Ball’un çalışmalarından da anlaşılacağı gibi öğrencilerin negatif sayıları karşılaştırırken yaşadıkları zorlukların ve yaptıkları hataların temelinde pozitif sayılara ilişkin özelliklerin negatif sayılara da genellenebileceği kavram yanılgısı vardır. NEGATİF SAYILARDA TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMLERİNE İLİŞKİN ZORLUKLAR Negatif sayılara ilişkin bir diğer önemli zorluk ise bu sayılarla yapılan toplama ve çıkarma işlemlerinde ortaya çıkmaktadır.Negatif sayılarla işlem yaparken şüphesiz karşılaşılan en büyük sorun öğrenciler için daha önce sadece toplama ve çıkarma işlemlerini temsil eden ‘’+’’ ve ‘’-’’ sembollerinin kullanımıdır.

15 Özellikle ,iki sembolün aynı anda kullanımı öğrencilerin kafasındaki bu karışıklığı arttırmaktadır.Örneğin ,[(+3)+(-7)] işleminde toplama ve çıkarma işlemlerinin yan yana kullanılması ve bir işlemde aynı sembole birden çok yer verilmesi (+ sembolü iki kez kullanılmış) öğrencilerin bu işlemleri anlamalarını ve kavramalarını zorlaştırmaktadır. Bilindiği gibi öğrenciler negatif sayılara giriş yaparken öncelikle ‘yönlü sayılar’ kavramını öğrenmekte ve bugüne kadar edindikleri bilgiye ek olarak kullandıkları ‘’+’’ ve ‘’-’’ sembollerinin artık sadece toplama ve çıkarma işlemine değil aynı zamanda sayıların yönlerini belirtmekte de kullanıldığını öğrenirler.

16 Başka bir deyişle , öğrenciler pozitif ve negatif sayılara ilişkin bir işlemle karşılaştıklarında sayıların önündeki sembollerin sayının yönünü mü yoksa işlemin kendisini mi ifade ettiğini kavramakta zorlanırlar.Örneğin, en basit olarak [+1-2] işleminde öğrenciler ‘’-’’ sembolünün 2 sayısının yönünü mü yoksa çıkarma işlemini mi temsil ettiğini ayırt edemezler. Öğrencilerin negatif sayılarda işlemlere ilişkin yaşadıkları diğer bir zorluk ise mutlak değeri aynı olan iki sayının toplanmasıdır. Van de Walle öğrencilerin -4 ile +4 ün toplamının neden sıfır olduğunu anlamakta zorlandıklarını ve bazı öğrencilerin cevabın -8 veya 8 olması gerektiğini düşündüklerini belirtmiştir.

17 Yapılan diğer çalışmada ,Hativa ve Cohen öğrencilerin negatif sayıları anlamada ve işlem yapmakta zorlandıklarını vurgulamış ve negatif sayılarla toplama ve çıkarma işlemi yaparken öğrencilerin yaptıkları hataları ve işleme verdikleri olası cevapları şöyle sıralamışlardır: A. Sıfırdan pozitif bir sayının çıkarılması [0-x , x>0 ] ,Olası cevaplar: x, 0 , 10-x Örnek olarak verirsek , öğrenciler [0-4] işleminin sonucunu 4,0 veya 6 olarak hesaplamaktadırlar. B.Pozitif bir tam tamsayıdan daha büyük bir pozitif tamsayının çıkarılması [x-y, y>x >0], Olası cevaplar: y-x, x+y, -(x+y),x,y Örneğin, [3-8] işleminin sonucu 5,11,-11,3 veya 8 şeklinde yorumlanmaktadır.

18 C.İki negatif sayının toplamı [-x+y,x>0, y>0], Olası cevaplar: x-y , -(x-y), x+y, x Örneğin, [-3+8] işleminin sonucu öğrenciler tarafından 5,-5,11 veya 3 olarak bulunmuştur. D.Pozitif bir sayının negatif işaretlisi ile toplanması [-x+x,x>0],Olası cevaplar: 2x, x Örneğin: [-3+3] işleminin sonucunda öğrenciler cevabı 6 veya 3 olarak bulmaktadırlar. E.Pozitif bir sayının kendisinden daha büyük olan bir sayının ters işaretlisine eklenmesi [-x+y, x>y>0], Olası cevaplar: x-y, x+y, -(x+y),x,y Örneğin, öğrenciler [ -8+3] işleminin sonucunu 5,11,-11,8 veya 3 şeklinde bulmaktadırlar.

19 NEGATİF SAYILARDA ÇARPMA VE BÖLME
İŞLEMLERİNE İLİŞKİN ZORLUKLAR Yapılan literatür taraması negatif sayılara ilişkin toplama ve çıkarma işlemlerinin yanı sıra öğrencilerin bu sayılarla çarpma ve bölme işlemleri yaparken de zorluk yaşadıklarını göstermiştir. Buna paralel olarak,’İki negatif sayının çarpımı pozitiftir.’ açıklaması tamsayılarda çarpma ve bölme işlemlerine genellenerek ‘aynı işaretli sayıların çarpımı veya bölümü her zaman pozitif, farklı işaretlilerinki ise negatiftir.’ açıklaması ile öğrencilere verilmektedir Ne var ki, yukarıdaki açıklama her ne kadar net bir ifade olarak görülse de öğrencilerin çarpma ve bölme işlemine yönelik yaşadıkları zorluk veya yaptıkları işlem hatalarını engelleyememektedir.

20 Öğrenciler bir pozitif ve bir negatif sayıyı çarparken [Örneğin,8x-3 veya -3x8] sayıların yönünü ifade eden sembolleri anlamlandıramadıklarından, işlemi doğal sayılarda çarpma işlemi olarak yorumlayıp sonucu 24 olarak bulmaktadırlar.Buna benzer olarak ‘Çarpma işleminde sonuç her zaman çarpanlardan daha büyüktür.’ Kavram yanılgısına sahip olan öğrenciler sonucu 24 olarak bulma eğilimindedirler. Başka bir deyişle, iki negatif sayının toplamının yine negatif bir sayı olduğunu kavrayan bir öğrenci aynı mantığı iki negatif sayının çarpımına da genellemekte ve sonucun negatif olması gerektiği yanılgısına düşmektedir. Yukarıda belirtilen zorluklar ve işlem hataları negatif sayılarda bölme işlemi yaparken de karşımıza çıkmaktadır.

21 Örneğin, öğrenciler negatif ve pozitif sayılarda bölme işlemi yaparken [Örneğin, -8:2] çarpma işlemindeki gibi sayıların yönünü belirten işaretleri yok sayıp cevabı 4 olarak bulmaktadırlar. Yukarıda da belirtildiği gibi öğrencilerin negatif sayılarda çarpma ve bölme işlemleri yaparken doğal sayılardaki genellemeleri kullanmaları ve bu işlemlerin ardındaki kavramsal bilgiye ulaşamamaları onları işlem hataları yapmaya yöneltmektedir. KAVRAM YANILGILARINDA ÖĞRETMEN BİLGİSİNİN ÖNEMİ Hiç şüphe yok ki öğrencilerde oluşan bu kavram yanılgılarının giderilmesinde en önemli faktörlerden biri de öğretmen ve öğretmen adaylarının konu alan ve pedagojik alan bilgileridir

22 Konu alan bilgisi iyi olan öğretmenlere duyulan ihtiyaç, son yıllarda eğitimcilerin ilgilerini öğretmenlerin alan bilgilerine çevirmelerine neden olmuştur. Öğrencilerin konuyu anlaması öğretmenin gerekli kural ve bilgileri vermesinden ibaret değildir. Alan bilgisi ‘’kuvvetli’’ olan öğretmenler derslerinde yüzeysel bilgi ve kurallar yerine detaylara iner, konuyu diğer konularla ilişkilendirir ve kitaba bağlı kalarak onu işlemezler. Diğer yandan ise, alan bilgisi zayıf olan öğretmenlerin genellikle matematiksel doğruları ve gerçekleri mantıksal açıklamalar yapmadan bulunmuş kurallar şeklinde sunmayı ve ders planlarına bağlı kalarak ders anlatmayı tercih ettikleri saptanmıştır. Ne var ki, sadece iyi bir alan bilgisine sahip olmak konuyu en etkin bir şekilde sunabilmek için yeterli değildir.

23 Öğretmenlerin sahip oldukları bu matematiksel bilgileri en güçlü gösterimler kullanarak öğrenciler için anlaşılabilir ve kullanılabilir hale getirmeleri gerekmektedir. Başka bir deyişle, birçok matematik eğitimcisi öğretmenlerin matematiksel kavramları iyi bilmelerinin yeterli olmadığını aynı zamanda bu bilgilerin öğrencilere en etkin bir şekilde aktarılabilmesinin gerekliliğini savunmuştur. Buna paralel olarak, Milli Eğitim Bakanlığı ‘nın matematik özel alan yeterliklerinde öğretmenlerin sayılar, geometri,ölçme, olasılık ve istatistik ile cebire yönelik alan bilgisine sahip olmaları ve bu bilgileri öğretim sürecinde etkin bir biçimde kullanabilmenin önemi belirtilmiştir. Shulman en genel anlamda pedagojik alan bilgisini ‘’matematiksel fikir ve kavramların en etkin bir şekilde temsili, güçlü benzeşimler, matematiksel örnek ve açıklamalar, yani konunun diğer kişilerin anlayabilmesi için en iyi şekilde sunumu’’ olarak tanımlar.

24 Demek ki , yukarıdaki bölümlerde belirtilen negatif sayılara ilişkin öğrencilerin yaşadıkları zorluklar ve kavram yanılgılarının giderilebilmesi için öğretmenlerin ve öğretmen adaylarının öncelikle bu zorluklara ve yanılgılara ilişkin farkındalıklarının aktarılması gerekmektedir. Başka bir deyişle, negatif sayılara ilişkin kavramsal bilgisi kuvvetli olan, öğrencilerin bu konuya ilişkin yaşadıkları zorluk ve sahip olabilecekleri kavram yanılgılarının farkında olan ve de bu yanılgıları etkin öğretim materyalleri kullanarak giderebilecek öğretmen ve öğretmen adaylarına ihtiyaç vardır. Shulman ve Grossman ın da belirttiği gibi öğrencilerin bu zorlukları yenmelerinde ve kavramları öğrenebilmelerinde etkin öğretim materyallerinin ve farklı temsillerin önemi büyüktür.

25 Çoklu Gösterim Modellerinin Kullanılması
Lesh, Post ve Berh ( 1987) matematiksel öğrenme ve problem çözme sürecinde 5 belirgin gösterimden bahsetmiştir. Bunlar ; Gerçek yaşam durumları- bilginin gerçek yaşamdan alındığı durumlar Manipülatifler, kesir çubukları, sayı pulları vb. Resim ve diyagramlar- sayı doğrusu, alan modeli vb. Sözlü semboller-günlük yaşam dili Yazılı semboller- matematiksel özel cümleler ve ifadelerdir Lesh Çoklu Gösterim Geçiş Modeli(LÇGGM) olarak da bilinen model aşağıda verilmiştir.

26 Gerçek yaşam durumları
Lesh Çoklu Gösterim Geçiş Modeli Manipülatifler Gerçek yaşam durumları Resim ve diyagramlar Yazılı semboller Sözlü semboller

27 Berh ve diğerleri (1983) Lesh modelini Bruner’in enaktif, ikonik ve sembolik modlarını genişleterek oluşturmuşlardır. Lesh modelinde, gerçekçi bir matematiksel problem genellikle gerçek yaşam durumlarından belirtilen gösterim sisteminin içerisine alınıp, bu gösterimin sistemimde belli dönüşümler-den geçilerek bazı çözüm yolları üretilip tekrar gerçek yaşam durumu ile ilişkilendirilmektedir.Modelde ayrıca bir problemin birçok gösterim biçimi kullanılarak çözülebileceği ve resim veya somut materyallerin gerçek yaşam ve yazılı sembol gösterimleri arasındaki geçişi kolaylaştırmada kullanılabileceği vurgulanmıştır.Aynı kavramın farklı gösterimlerle sunulması şüphesiz öğrencileri farklı ve yaratıcı düşünmeye ve alternatif çözümler üretmeye güdüleyecektir. Öğrencilerin konuya ilişkin ilgi ve isteklerini artırmada da önemli rol oynayacağına inanılmaktadır.Konun farklı temsillerle sunumunun birçok öğrenciye ulaşmada ve konunun kavratılmasında etkili olabilir.

28 Ne var ki, matematiksel kavramların farklı temsillerle oluştu-rulacak etkin bir öğretim ortamında öğrenciye sunulmasında öğretmen bilgisinin önemi unutulmamalıdır.Öğretmen gerek günlük yaşam problemleri, gerek manipülatifler gerekse yazılı semboller yardımıyla kavratacağı konuları iyi bilmeli, bu temsil-ler arası geçişte öğrencilere rehber olabilmeli ve oluşacak zorluk ve kavram yanılgılarının önüne geçebilmelidir. Negatif Sayıları Anlamlı Öğrenmeye Yönelik Yöntem ve Öneriler Bu alt bölümde öğrencilerin negatif sayıların kavramlaştırıl-masına yönelik yaşadıkları zorluklar ve sahip olduğu kavram yanılgılarının giderilmesi için önerilen yöntemler ile bu yöntem-lerin hangi durumlarda daha etkin olabilecekleri tartışılmıştır.

29 Negatif Sayıların Anlamlandırılması
Öğrencilerin negatif sayılara ilişkin yaşadıkları zorlukların başında bu sayıları kavrayamamaları gelmektedir.Ball (1990) öğrencilere negatif sayıları öğretmenin onların günlük yaşam-daki sayısal miktarlar ile formal matematik anlamaları arasın-daki köprüyü kurma girişimi olarak değerlendirir.Negatif sayı-ların öğretiminde ilk adım hiç kuşkusuz bu sayılara neden ihti-yaç duyulduğunun öğrencilere hissettirmesidir.Bunu bir ör-nekle açıklarsak, Altun(2008) boy, kütle ve hacim gibi kavram-larda bahsederken bu kavramlara ilişkin değerlerin sıfırın al-tında olmayacaklarının ancak sıcaklık ve zaman gibi kavramlar düşünüldüğünde aynı durumun geçerli olmadığını belirtmiş böylece negatif sayılara olan ihtiyacı ortaya koymuştur.

30 Negatif sayıları öğretirken en önemli amaçlardan birisi negatif sayıların büyüklüklerine ilişkin sezgiler geliştirmek, bu sayıların özelliklerini kullanarak işlemler yapmak ve eksi işaretinin belirsizliğini ortadan kaldırmaktır.Bu sebeple, Ball(1990) negatif sayıları anlatırken iki önemli bileşenin; büyüklük ve yön kavramlarının öneminin vurgulanması gerektiğini belirtmiştir. Başka bir deyişle, negatif sayıların bir şeyin miktarının tersi ( Örneğin, -5’in 5 TL’lik eldeki paranın tersi yani borç için yapılan bir gösterim) veya sıfıra göre konum belirtmek için (Örneğin -5’in, sıfırdan 5 birim sola doğru olan uzaklık için yapılan gösterim) kullanılabileceği belirtilmiştir. Ülkemizde, MEB’in 6. sınıf için hazırlanan kitaplarda öğrencilere buz, su, termometre, hava sıcaklığı gibi günlük yaşam örneklerinden yararlanılarak tamsayıların kavratılması amaçlanmıştır.

31 Negatif sayılara ilişkin sayıların işaretlerin neden “+” ve neden “-” olduğunu tartışılması gerekliliğini vurgulanmıştır. Örneğin, sıcaklığın sıfırın altında 6 derece olmasının, 10 TL kar veya 15TL zararın veya bir alışveriş merkezinde -3. katın ne anlama geldiği öğrencilerle tartışılmalı böylece öğrencilere bu sayıların sıfıra yakınlığı ve uzaklıkları hissettirilmelidir. Buna ek olarak, öğrencilere sayıların önüne konan “+” ve “-” işaretlerin aslında işlemlerin değil de sayıların yönünü belirten işaretler olduğu hatırlatılması gerekliliği belirtilmiştir. Ayrıca, pozitif ve negatif sayıların sayı doğrusu üzerinde modellenmesine geçilmeden bu sayıların sıfıra yakınlıklarının sezdirilmesinin öğrencilerin bu sayıları kavramalarında etkili olacağına inanılmaktadır.

32 Buna paralel olarak, literatürde negatif sayıların kavratılmasına ilişkin bir çok metafordan yararlanılabileceği belirtilmiş ve bunların başlıcaları asansör ve termometre üzerindeki pozitif ve negatif sayıların anlandırılması, alacak-verecek veya kar zarar durumunun pozitif ve negatif sayılarla ilişkilendirilmesi ve sayı doğrusu üzerinde artı ve eksi yönü belirten okların kullanılması olarak gösterilmiştir. Janvier (1983) çalışmasında, Ball (1990)’un negatif sayıların iki önemli birleşenini denge ve sayı doğrusu modeli olarak açıklamış ve her iki modelin de avantaj ve dezavantajlarını belirtmiştir. Denge modelinde sayılar iki zıt kavramı temsil etmektedir. Bu modelde toplama işlemi birleştirme, bir araya getirme çıkarma işlemi ise uzaklaştırma, çıkarma veya tersini eklemek anlamında kulanılmaktadır.

33 Müfretadımızda da kulanımına sıkça yer verilen sayı pulları bu model içerisinde yer almaktadır. Negatif sayılarda toplama ve çıkarma işlemi yapılırken öğretmenler sayı pullarını etkin bir şekilde kullanabilirler. Farklı bir ifade ile öğretmenler öğrencilerin pozitif sayılarla işlem yaparken kullanmaya alışık oldukları sayı pullarını bu sefer negatif sayılarla işlem yapmak için kullanabilir ve bu sayede öğrencilerin pozitif ve negatif sayılarla dört işlem becerilerin gelişimine katkıda bulunabilirler. Janveir’in (1983) belirttiği diğer model ise sayı doğrusu mo-delidir.Bu modelde sayılar sayı doğrusu üzerinde konum ve pozisyonları ile veya bu doğru üzerindeki uzaklıkları ile tanım-lanırlar.Toplama işlemi bu pozisyon veya uzaklıkların birleştirilmesi veya sağ yönüne hareket olarak, yorumlanır. Çıkarma işlemi ise uzaklıkların farkının alınması, ters yöne dönüş veya sol yöne hareket olarak yorumlanır.

34 İlk öğretim öğrencileri için negatif sayıların anlandırılmasında hangi modelin daha etkili olduğu tartışılmıştır. Diğer bir deyişle, yapılan çalışmalarda ,negatif sayıların kavratılmasında veya tam sayılarda işlemler yaparken bazı modellerin diğerlerinden daha avantajlı olduğu vurgulanmıştır.Örneğin NCTM (1989) 5-8 sınıf seviyelerindeki matematik müfredatlarında negatif sayıların karşılaştırılmasında sayı doğrusu modelinin daha etkin olduğunu savunmuştur. Fischbein (1987) ise yaptığı çalışmada negatif sayıların ve bu sayıların cebirsel özelliklerin tümüne ilişkin bir model olmadığından bu sayıların öğrencilere tanıtılmasında en basit ve onların alışık oldukları bir model olan sayı doğrusu modelinin kullanılması gerekliliğini savunmuştur

35 Human ve Murray da (1987)negatif sayıları sezgisel ve doğru biçimde gösterebilmek için seçilebilecek en uygun strajenin pozitif tam sayılarla birlikte kurulabilen benzeşimler olduğunu belirtmiş ve sayı doğrusu modelin, savunmuştur. Bu sonuçlara paralel olarak,yapılan diğer çalışmalarda ise ilköğretim seviyesindeki öğrencilere negatif sayıların gerçek yaşam durumları içerisinde somutlaştırılarak öğretilmesinin çok faydalı olmayacağı, bu yüzden bu seviyedeki çocuklar için en uygun modelin sayı doğrusu modeli olduğu savunulmuştur.

36 Özet olarak diyebiliriz ki, negatif sayıların kavramlaştırılmasında öğrencilerin bu sayıların anlamlarına ve büyüklüklerine yönelik yaşadıkları zorluklar ve sahip oldukları kavram yanılgı-larının giderilmesinde birçok model ve gösterimden yararlanılabilmektedir. Lesh modelin de belirtildiği gibi negatif sayıların kavramlaştırılmasında, gerçek yaşam durumları (örneğin, asansör, borç ve alacak), manipülatifler(sayı pulları), resim ve diyagramlar(sayı doğrusu) gibi çoklu gösterim modellerinden yararlanılabilir.Önemli olan öğretmenlerin bu gösterimleri nasıl etkin bir şekilde kullanabileceklerini bilmeleri ve bu konuların kavratılmasında öğrencilerin anlamalarını güçlendirecek modelin sunulmasıdır.

37 NEGATİF SAYILARDA TOPLAMA, ÇIKARMA, ÇARPMA VE BÖLME İŞLEMLERİNİN ANLAMLANDIRILMASI

38 Toplama İşlemi İki negatif veya bir negatif ve bir pozitif sayıyla işlem yapmak öğrenciler için yeni olduğundan hemen hemen her öğrenci bu sayılarla toplama çıkarma işlemi yaparken zorluk çekmektedir. Sayı pulları Sayı doğrusu Sözlü ve yazılı ifadeler Benzeşimler bu işlemleri kolaylaştırmak için kullanılabilir.

39 Şimdi mutlak değeri aynı olan, faklı işaretli sayıların toplamının neden sıfır olduğunu sayı pulları kullanarak inceleyelim; Örneğin: (-4) + 4 = 0 Yukarıda (-4) ve (4) rakamları görsel olarak sırası ile 4 siyah ve 4 beyaz pulla temsil edilmiştir. İki rakam arasındaki toplama işlemi ise pozitif sayılarda olduğu gibi “eklemek”, “üzerine koymak” veya” bileştirmek” anlamında kullanılmıştır.

40 Örnekte, her bir negatif sayının pozitif karşılığı ile nötrleşerek geriye ne negatif ne de pozitif sayı kaldığı ve böylece cevabın sıfır olduğu gösterilmiştir (Van de Walle, 2007). Ayrıca, mutlak değeri anı olan farklı işaretli sayıların toplamının sıfır olduğu diğer örneklerle çoğaltılabilir ve öğrencilere istenilen eş miktarda siyah ve beyaz pul bir araya getirildiğinde sıfır elde edebilecekleri fark ettirilmelidir. Başka bir deyişle, sayı pulları yardımı ile yardımı ile aynı miktardaki pozitif ve negatif sayılarının toplamının sıfır olduğu öğrencilere hissettirilebilir.

41 Aynı örneğin sayı doğrusu üzerinde gösterimi;
şeklindedir. Verilen işlemin [ (-4) + 4 = 0 ] sözel olarak ifadesi; Eksi 4 noktasından (-4) harekete başlayan bir aracın sağ yöne doğru (toplama işlemi) 4 birim (4) ilerlediğinde vardığı noktanın sıfır noktası olduğu şeklinde yorumlanabilir. 4 ekle

42 Thompson (1994) değeri aynı olan pozitif ve negatif sayıların toplamının sıfır olduğunun vurgulanmasında birbirinin zıttı hareketlerden yararlanabileceğini belirtmiştir. Örneğin; pozitif değeri sağ tarafa uygulanan bir kuvvet değeri olarak düşünürsek negatif değerdeki sayıyı da sol tarafa aynı miktarda uygulanan kuvvet olarak düşünebiliriz.Böylece her iki kuvvet aynı anda uygulandığında herhangi bir hareket gözlemlenmediğinden iki kuvvetin toplamı(birleşimi) bize sıfır değerini verecektir.

43 Thompson’ a göre bu örnekler çoğaltılabilir;
Kapı açılıp kapanması Işık açıp kapanması Kağıdın katlanıp açılması Bir kaba su eklenip aynı miktarda suyun çıkarılması gibi örnekler değeri aynı olan bir pozitif bir negatif sayının toplamının neden sıfır olduğunu göstermede öğrencilerin anlamalarını güçlendirmek amaçlı kullanılabilir (Thompson, 1994).

44 Negatif sayılarda toplama işlemi yaparken sözel problemlerden de yararlanılabilir.Pozitif sayıların eldeki para veya alacak, negatif sayıların ise borç veya verecek şeklinde yorumlanması, bu sayılarla ilgili işlemlerin anlamlandırılmasında yararlı olacaktır. Örneğin; (-3) + (-5) = -8 işleminde iki negatif sayının toplanması kolaylıkla; “3 TL’ lik borcum (-3) var ve ben bu borcun üzerine 5 TL’lik bir borç (-5) daha ekliyorum.Buna göre sonuçta ne kadar borcum var?” şeklinde sözel bir probleme dönüştürülebilir.

45 Verilen örnek borca borç eklemek, borcu daha da artırmak, borcu çoğaltmak şeklinde de yorumlanabilir .Tam sayılarla yapılan toplama işleminde işlem işareti [+] ekle, çoğalt, artır şeklinde de ifade edilebildiğinden bu işlemin kavratılmasında birçok günlük yaşam örneğine yer verilebilir. Bu gösterimlere paralel olarak Milli Eğitim Bakanlığınca hazırlanan İlköğretim kitaplarında da öğrenciler iki negatif veya bir negatif ile bir pozitif sayıyla işlem yapmayı ilk kez gördüklerinden, bu konularda farklı gösterimlerle pekiştirmek sağlanmasının önemi vurgulanmıştır(MEB,2008).

46 Çıkarma İşlemi Birçok öğrenci çıkarma işlemi yaparken klasik bir yöntem olan “2. sayının işaretini ters çevir ve 1. sayı ile topla” stratejisini uygulamakta ve bu bilginin altındaki kavramsal bilgiyi sorgulamamaktadır. Başka bir deyişle , öğrenciler tam sayılarda işlemler konusunda ilk önce toplama işlemini öğrendiklerinden daha sonra öğrendikleri çıkarma işlemi onlara zor gelmekte ve böylece çıkarma işlemi yaparken bu işlemin mantığını aramaktan çok öğretmenlerinin sunduğu pratik çözümlere yönelmektedirler Ne var ki, negatif sayılarda çıkarma işlemi faklı modellemeler yardımı ile öğrencilere kavratılabilir ve böylece onların konuya ilişkin matematiksel anlamlandırmaları güçlendirilebilir.

47 Öğrencilerin kavramsal bilgilerini geliştirmede önceki bilgilerin önemi büyüktür. Varolan bilginin üzerine bu bilgi ile ilişkilendirerek eklenen yeni bilgi kalıcı öğrenmeye de katkı sağlamaktadır. Demek ki, negatif sayılarda çıkarma işlemi yaparken de doğal sayılardaki çıkarma işleminden yararlanılabilir ve öğrencilerin alışlık olduğu konum–mesafe ilişkisi vurgulanabilir. Diğer bir deyişle , negatif sayılarda çıkarma işlemi , doğal sayılarda , çıkarma işlemi ile ilişkilendirmeli ve aslında tek farkı kullanılan sayıların doğal sayılar yerine yönlü sayılar olduğu belirtilmelidir. Şimdi bu modellemelerden örnekleri inceleyelim;

48 “Sayı doğrusu üzerinde 3 noktasında duran bir aracın noktasında duran bir araca uzaklığı ne kadardır? ” Sorusu ile başlayalım 4 birim Öğrenciler, iki noktanın konumunu bildiğinde ardaki mesafeyi bulabilmek için çıkarma işlemi yapacaklarını [7-3] doğal sayı problemlerindeki önbilgilerinden yararlanarak da bulabilirler.

49 Problemi negatif sayılara genişletmek istediğimizde, ilk aracın konumunu 3 yerine (-3) noktasına getirebiliriz. Böylelikle problemimizi “Sayı doğrusunda (-3) noktasında bulunan bir aracın 7 noktasında duran bir araca uzaklığı ne kadardır? ” şeklinde ifade etmek mümkündür. Yukarıdaki örnekten de yararlanarak öğrencilerden verilen sözel ifadeyi sembollerle belirtilmesi istediğinde aradaki mesafenin [7 – (-3)] ifadesi ile bulunabileceği açıktır. Ayrıca , öğrenciler bu işlemi yapmadan önce de arasındaki mesafenin 10 birim olduğunu sayı doğrusunda iki sayı arasındaki birimleri sayarak da bulabilirler.

50 Şimdi ise verilen sembolik ifadeyi [7-(-3)] sayı doğrusu yardımı ile sözel olarak ifade edelim.
7 birim 3 birim 10 birim Sıfır noktasında bulunan bir kişi sayı doğrusu üzerinde sağ yöne doğru 7 birim ilerler daha sonra bu kişi yüzünü negatif yöne doğru çevirir (iki sayı arasındaki eski işareti sayı doğrusunda sol yöne hareket olarak yorumlanmıştır) . Ancak , geriye dönen kişi -3 birim ilerlemesi gerektiğinden bulunduğu konumun ters yönüne (tekrar sayı doğrusu üzerinde sağ yön) 3 birim hareket etmek durumundadır (-3).

51 Böylece kişi sayı doğrusunda 10 noktasına varmış olur ve aldığı mesafe (sıfırdan başlayıp 10 da biter) bize işlemin sonucunu olan 10 sayısını verir. Yukardaki örnekte, ister sayı doğrusu üzerinde arada kalan birimleri sayarak ister verilen sembolik ifadeyi sözel probleme dönüştürerek sonucunun 10 olduğu bulunabilir. Böylece , öğrencilerin çıkarma işlemi yaparken kısa yol olarak tanımlanan ‘’ 2. sayının işaretini ters cevir ve 1. sayı ile topla ‘’ kuralının nerden geldiği hakkında fikir sahibi olmaları sağlanabilecektir. Son olarak da verilen işlemlerin iki negatif sayı için gösterelim. Yukarıdaki örneğimizi kullanarak, (-7) noktasında bulunan bir aracın (-3) noktasında bulunan bir araca uzaklığı ne kadardır sorusu sorulabilir.

52 Öğrenciler, doğal sayılarda çıkarma işlemindeki ön bilgilerini kullanarak aradaki mesafeyi (son nokta eksi ilk nokta) sembolik olarak [-3-(-7)]ifadesine çevrilebilir ve cevabı 4 birim olarak bulabilirler. 7 birim sağ 3 birim sol 4 birim Diğer bir anlatımla ,sıfır noktasından -3 noktasına ilerleyen bir kişi (yüz negatif yani sol yöne dönük ) daha sonra hareketine sol yöne doğru devam eder (aradaki eksi işareti)ancak daha sonra -7 birim ilerlemesi gerektiğinden yönünü tekrar sağ yöne çevirip 7 birim daha ilerler.

53 Böylece bu kişin bulunduğu konum 4 noktası olacağından cevap +4 olarak bulunur. Altun (2008)bu örnekle öğrencilerin, çıkarma işleminde çıkarılan sayının işareti ters çevrilip toplanabilir genellemesine ulaşabileceklerini vurgulamıştır. Yapılan diğer bir çalışmada Chiu (2001) öğrencilerin daha önceki bilgilerine dayanarak metaforlar (benzetmeler) yardımı ile daha önce bilmedikleri kavramları anlayabileceklerini savunmuştur. Chiu ‘ ya göre matematik öğretiminde metafor kullanımı kavramları anlamına ve ilişkilendirmede, gösterimleri yorumlayabilmede, kavramları hatırlayabilmede ve yanlışları fark edip düzeltmede önemli rol oynamaktadır. Chiu (1994) negatif sayılarla yaptığı çalışmasında öğrencilerin metaforlar yardımı ile yaptıkları işlemsel hataları fark edip düzeltebildiklerini ve buldukları cevapların doğrulduklarını savunabildiklerini belirtmiştir.

54 Örneğin, öğrencilerin “ Aritmetik objelerin manipülasyonudur “ metaforunu kullanarak [-5 + 2] işlemsel problemini “ 5 tane delik ( - ) “ ve “ 2 tane bilye ( + ) problemine ” dönüştürdüklerini, her bir bilyenin bir deliğe girdiğinde bilye ve deliklerin birbirinin nötrleştirdiğini ve geriye hala üç deliğin kaldığını böylece öğrencilerin cevabı [ -3] olarak bulduklarını belirtmiştir .Diğer bir değişle, [-5+2] işleminin sonucu hatalı olarak 3 bulan kişilerin dedikleri (-5) bilyelerden (2) daha fazla olduğunu ve böylece işlem sonucunun delikler cinsinden yani negatif olması gerektiğini fark edip hatalarını düzelttiklerini savunmuştur.

55 Chiu (1994,2001) metaforik düşünmenin avantajı kadar dezavantajının olduğunu ve bunların başlıcalarının geçersiz doğrulamalar ile etkin olmayan prosedürler olduğunu vurgulamıştır .Diğer bir anlatımla, daha önce verilen örneğe dayanarak [ ] öğrencilerin metaforik düşünmeleri yerine doğrudan çıkarma işlemi [5-2] ve mutlak değeri büyük olan sayının işaretini de cevabın önüne ekleyerek -3 olduğunu matematiksel kural ve algoritmalar yardımı ile çok daha hızlı ve etkin bir şekilde bulabileceklerini savunmaktadır. Başka bir örnek verecek olursak , Hativa ve Cohen (1995)’nin de belirttikleri gibi öğrenciler ard arada iki eksi işareti gördüklerinde önce toplama işlemi yapıp daha sonra cevabının önüne eksi işareti koyarak da [Ör. -5-7= -(5+7)=-12] cevaba kolayca ulaşabilirler. Ancak, Chui (2001) yine de metaforlar yardımı ile alternatif bir düşünme yönteminin mantıksal anlamdaki önemini göz ardı etmemek gerektiğini çünkü bu örneklerin kavramsal anlamayı pekiştirdiğini belirtmiştir.

56 Diğer bir örnekte ise, Chui , negatif bir sayı ile pozitif bir sayının toplanması işleminde [ ] cevabını hatalı olarak 30 bulan öğrencilerin ‘Hareket’ metaforunu kullanarak hatalarını fark ettiklerini belitmiştir.Daha detaylı bir şekilde anlatmak gerekirse öğrencilerin dik olarak yerleştirilmiş sayı doğrusu üzerinde -70’den 40 birim yukarı doğru hareket ettiklerinde hala eksilerde olduklarını böylece cevabın 30 yerine -30 olması gerektiğini fark ettiklerini ve hatalarını düzelttiklerini belirtmiştir.Yine [-4-6] işlemini 2 olarak bulan bir öğrencinin ‘Hareket’ metaforu kullanarak -4 noktasından başladığını ve daha sonra bulunduğu konumdan 6 birim daha aşağı indiğinde vardığı noktanın 2 yerine -10 olması gerektiğini fark edip hatasını düzelttigini belirtmiştir

57 Ball (1990) negatif sayılarda belli toplama ve çıkarma işleminde asansör veya kat problemlerinin kullanılmasının bu işlemlerin kavratılmasında ideal olduğunu savunmuştur. Örneğin , 4.kattaki bir kişinin 6 kat aşağı indiğinde çıkartma işlemi yapılması gerektiği [4-6] ve sonuçta -2. kata varıldığının asansör problemini ile açıklanabileceğini belirtmiştir. Başka bir örnekte , -2.katta (yeraltında) olan bir kişinin 5 kat yukarı çıktığında [-2+5] 3.kata vardığını böylece verilen toplama işleminin yine asansör örneği ile kavratılabileceğini belirtmiştir. Ball (1990) çalışmasında bu modellerin belli toplama ve çıkarma işlemleri için ideal olduğunu savunmuş iki negatif sayının karşılaştırılmasında da (Örneğin -5’in -2’den daha küçük olduğunu gösterirken) bu örneklerin kullanılabileceğini ancak verilen kat modellemesinin daha küçük kavramları ile tam olarak özdeşleşmediğini belirtmiştir.

58 Yine [ 6+ ( -6 ) =0 ] örneğinde yerden 6 kat yukarı çıkıp daha sonra bunun üzerine yerin altından 6 kat daha eklemek açıklamasının mantıklı olmadığını bu tarz örneklerde para hesapları , sayı pulları ve sayı doğrusu örneklerinin daha etkin olacağı vurgulanmıştır. Hativa ve Cohen (1995) geliştirdikleri “Arithmetic Challenger ” isimli yazılı programı ile 4. sınıf öğrencilerinin negatif sayıları sayı doğrusu üzerinde gösterme, büyüklüklerini karşılaştırma, aralarındaki mesafeyi bulma ve basit toplama çıkarma işlemlerini yapabilme becerilerini sayı doğrusu modeli kullanarak geliştirmeyi hedeflemişlerdir. Çalışmada 4. sınıf öğrencilerinin bilgisayar ortamında bireysel çalışabilecekleri bir öğrenme ortamının sağlandığını ve bunun sonucunda öğrencilerin negatif sayıların sayı doğrusuna yerleştirilmesinde, büyüklük ve küçüklüklerinin karşılaştırılmasında ve iki sayı arasındaki mesafenin bulunmasında başarılı oldukları belirtilmiştir.

59 Ayrıca çalışma sonrasında , başarı düzeyi düşük olan öğrencilerin yüksek olan öğrenciler kadar ilerleme kaydettikleri ve kavram yanılgılarında azalma olduğu vurgulanmıştır. Böylece , negatif sayıların öğretiminde ve negatif sayılara ilişkin işlemlerdeki kavram yanılgılarının giderilmesinde bilgisayar destekli eğitimin de önemi unutulmamalıdır. Hativa ve Cohen (1995) kullandıkları bilgisayar programının negatif sayıların öğretilmesinde ve kavram yanılgılarının giderilmesinde tek ve en iyi yöntem olarak kullanılması gerektiğini iddia etmediklerini ancak öğretmen açıklamaları ve günlük yaşam örnekleri ile de pekiştirildiğinde öğrencilerin kavramsal bilgilerinin gelişeceğini ve negatif sayılara ilişkin deneyimlerinin zenginleşeceğini belirtmişlerdir.

60 Negatif Sayılarda Çarpma ve Bölme İşlemlerinin Anlamlandırılması
Öğrenciler, negatif sayılarda çarpma ve bölme işlemleri yaparken toplama ve çıkarma işlemlerindeki gibi zorluk yaşayıp birçok kavram yanılgısına düşebilirler.Bu nedenle, toplama ve çıkarma işlemlerindeki gibi negatif sayılarda çarpma ve bölme işlemlerinin kavramlaştırılmasına ilişkin birçok model ve gösterimden yararlanılmalıdır. Milli Eğitim Bakanlığınca hazırlanan 7. sınıf kitabında , tam sayılarda çarpma işlemi günlük yaşam örnekleri ve sayı pulları yardımı ile bölme işlemi ise çarpma işlemindeki gibi sayı pulları ve çarpma işleminin özelliklerinden yararlanılarak öğrencilere kavratılmaya çalışılmıştır(MEB,2008).

61 Aşağıda pozitif ve negatif sayıların çarpılmasına yönelik bazı örneklere yer verilmiştir. Öncelikle bir pozitif bir negatif sayının çarpılması [3 x -2] örneğini ele alalım. Çoklu gösterim modellerinden yararlanılarak öğrencilerden, verilen sembolik ifadeyi cümle içerisinde veya bir hikaye durumu oluşturarak sözel bir problem şekline dönüştürmeleri istenebilir. Böylece, öğrenciler sözel olarak ifade etmeye çalıştıkları çarpma işleminin aslında ne anlama geldiğini sorgulamaya başlar. Verilen [3x-2] örneğinde -2’yi yer seviyesinin altında 2m olarak tanımlarsak , sorumuz ‘bulunduğu mesafenin 3 katı daha derine inen bir dalgıç yer seviyesinden kaç metre altına dalmış olur’ ifadesine çevrilebilir. Böylece , yapılan işlem pozitif sayılarda çarpma işlemi ile de ilişkilenmiş olur.

62 Verilen işlem sayı doğrusu ve sayı pulları yardımı ile de modellenebilir. Sayı doğrusu modellerini ele alalım. Daha önce de belirttiğimiz gibi negatif sayılar sayı doğrusunun sol tarafına hareket veya bulunan konumdan ters yöne hareket şeklinde yorumlanabilir. Böylece [ 3x-2] ifadesinin 3 kere -2[ ] yani 3 kez -2 yönünden hareket olarak değerlendirilmeleri beklenebilir.Şekilde de görüldüğü gibi sayı doğrusunda 3 kez ikişerli olarak sol tarafa gidildiğinde cevabın -6 olduğu görülebilir.

63 Verilen İfadeyi şimdide sayı pulları yardımı ile gösterelim
Verilen İfadeyi şimdide sayı pulları yardımı ile gösterelim. Negatif sayıları temsil etmek için siyah pulları ele alalım. Üç tane siyah pul çiftini ele alırsak sonucunun 6 tane siyah pul yani 3 kez -2’lik pulları bir araya getirmek (-6) olduğu görülebilir. Şimdi ise [ -2 x 3 ] işlemini ele alalım Akla ilk gelen bu işlemi çarpma işleminin değişme özelliğini kullanarak [ 3 x -2] yukarıdaki modellemeler yardımı ile öğrencilere kavratılmasıdır.

64 Şimdi ise işlemi sayı doğrusu ve sayı pulları yardımı ile gösterelim
Şimdi ise işlemi sayı doğrusu ve sayı pulları yardımı ile gösterelim. Sayı doğrusu modelini ele alıp, negatif sayıları sol yöne hareket olarak yorumlayalım. Böylece , [-2 x 3 ] işlemi artı yönde 2 kere 3 birim ilerleme yerine , 2 kere 3 birim eksi yönde hareket olarak yorumlanabilir. İşlemi sayı doğrusu üzerinde gösterirsek, 2 kez sol yöne hareket bize -6 cevabını verecektir. Sayı pulları kullandığımızda ise, [-2x3] ifadesi yine -2 tane 3 şeklinde yorumlamak mümkündür. Önceki modeldeki gibi negatif sayılar siyah , pozitif sayılar beyaz pullar ile gösterilirse , [2 x 3 ] ifadesi 2 kere 3 adet beyaz pulun bir araya gelmesi şeklinde yorumlanabilir.

65 Ancak, elimizdeki ifade [ -2 x 3] olduğundan verilen işlem 2 kere 3 adet beyaz pulu bir araya getirme yerine , 2 kere 3 adet beyaz pulu ortamdan çıkarma işlemine dönüşecektir. Diğer bir deyişle , Janvier ( 1983)’inde belirttiği gibi eksi işareti çıkarma , kaldırma yok etme anlamında kullanılıp 2 kez 3 tane beyaz pulun ortamdan kaldırılması şeklinde yorumlanabilir. Ancak , görülüyor ki ortamda kaldırılacak bir beyaz veya siyah pul yoktur. Bu aşamada , daha önce belirtildiği gibi çocuklara sıfır kavramının nasıl oluşturulduğu sorgulatabilir. Hatırlanacağı gibi , öğrencilere tam sayılarda toplama işlemi yaptırılırken mutlak değeri aynı olan pozitif ve negatif sayı çiftlerinin neden sıfır olduğu örneklerle kavratılmıştı. Böylece , öğrencilerden altı tane siyah ve 6 tane beyaz pulu bir araya getirdiklerinde 0 elde etmeleri beklenebilir. Başka bir değişle, beyaz pulların çıkarılması işlemine gitmeden önce , ortama hali hazırda 6 tane beyaz ve siyah pul konması sağlanabilir. Sonuç olarak, ortamdan altı tane beyaz pul çıkarıldığında cevap 6 siyah pul yani -6 olacaktır.

66 2 kere 3 beyaz pul çıkart Yukarıdaki örneklerde bir pozitif sayı ile bir negatif sayının daha sonra ise bir negatif ve bir pozitif sayının çarpma işlemi modellenmiştir.Bu işlemlerin sonunda öğrencilerle birlikte bir pozitif ve bir negatif sayının çarpımının negatif olduğu genellemesine gidilebilir.Daha öncede belirtildiği gibi , birçok öğretmen iki negatif sayının çarpımının neden pozitif olduğunu kural olarak öğrencilere sunar ve bunun sebebini sorgulatmaz ( Crowley&Dunn,1985).Gösterilen modellemeler ile birçok çalışmaya da konu olan negatif sayılarda çarpma işlemine yönelik bu ezber bilgiler artık anlam kazanmış olur.

67 Literatürde , yukardaki modellemelerin dışında negatif iki sayının çarpımın pozitif olması örüntü buldurularak ve matematiksel doğrularla da öğrencilere anlamlı hale getirilmeye çalışılmıştır. Örneğin , aşağıdaki örüntüyü inceleyelim; 2·3 = 6 2·2 = 4 2·1 = 2 2·0 = 0 2·-1= -2 2·-2= -4 Bu örnekte bir pozitif ve bir negatif sayının neden negatif olduğu , sayılar arasındaki ilişkiler incelenerek öğrencilere kavratılabilir .

68 Daha detaylı anlatmak gerekirse, öğrenciler ön bilgilerinden yararlanarak [ 2x3,2x2,2x1 ve 2x0 ] işlemlerini yapar ve her seferinde sabit olmayan çarpan bir birim azalacağından sonucun da bir öncekinden 2 birim daha küçük olacağını fark eder. Öğrenci , sabit olmayan çarpanı azaltmaya devam ettiğinde, artık negatif sayılara ulaşır ve sonucu işlemi gerçekleştirmeden bir önceki cevabı 2 birim azaltarak da bulmaya devam edebilir [ 2x-1=-2]. Böylece bir pozitif sayı ile bir negatif sayının çarpımının farklı örnekler yardımı ile de neden negatif olması gerektiği genellemesine ulaşılabilir.

69 İki negatif sayı çarpımının neden pozitif olduğu aşağıdaki örnekte de görüldüğü gibi öğrencilere yine sayılar arası ilişkiler kurdultularak kavratılabilir. ( Arcavi & Bruckheimer, 1981;Crowley & Dunn, 1985) . -2·2 = -4 -2·1 = -2 -2·0 = 0 -2·-1= 2 -2·-2= 4 -2·-3= 6

70 Crowley ve Dunn (1985) ise [-4x3] işleminin neden 12 olması gerektiğini aşağıdaki aritmetik işlemler sonucunda öğrencilere gösterilebileceğini savunmuştur. Başka bir deyişle , öğrencilere önceki bilgilerini kullanarak (Ör, =0,0 x -4 = 0 , çarpımının toplama üzerine dağılma özelliği, bir pozitif ve bir negatif sayının çarpımı negatiftir gibi) sonucun pozitif olması gerekliliği fark ettirilmiştir = 0 (-4) ·(3 + -3) = (-4)·0 (-4)·(3) + (-4)·(-3) = (-4)·(-3) = 0 (-4)·(-3) = 12 Tam sayılarda bölme işlemi de hem sayı doğrusu ve sayı pulları kullanılarak hem de çarpma ve bölme işlemi arasındaki ilişkiden yararlanılarak öğrencilere kavratılabilir.

71 Çarpma işlemindeki gibi öncelikle bir negatif ve bir pozitif sayının [-8:2] bölme işlemini ele alalım. Yukarıda belirtilen örnekler gibi çoklu gösterim modellerinden yararlanılarak öğrencilerden , verilen sembolik ifadeyi cümle içerisinde veya bir hikaye durumu oluşturarak sözel bir problem şekline dönüştürmeleri istenebilir. Aşağıda verilen işlemin sayı pulları ve sayı doğrusu üzerinde gösterimine yer verilmiştir. Çarpma işleminde olduğu gibi bölme işlemi yaparken de öğrencilerden tam sayılar bölme işlemi ile doğal sayılarda bölme işlemini ilişkilendirmeleri istenebilir. Böylece verilen işlem [-8:2], ‘’-8’in içerisinde kaç tane 2 vardır, -8’i iki eş gruba ayırdığımda her bir gruba ne kadar düşer veya ikili gruplarda kaç tanesi bir araya geldiğinde -8’i oluşturur’’. İfadelerine dönüştürülebilir.

72 Sayı doğrusu modeline baktığımızda ise +2’lik birimleri arka arkaya 4 kez çıkardığımızda sonucun -8 olduğu açıktır. Bu ifadede de ‘4kez çıkarma işlemi -4’e karşılık geleceğinden cevabı -4 olarak bulabiliriz.

73 Şimdi ise verilen işlemi sayı pulları kullanarak gösterelim;

74 Siyah pullar negatif sayıları gösterdiğine göre -8 sayısı 8 adet siyah pulla temsil edilebilir. Böylece 8 adet pulu iki eşit parçaya böldüğümüzde her bir gruba 4 adet siyah pul düşmektedir. Böylece cevap -4 olarak bulunabilir. Aynı şekilde , 2 negatif sayının bölümünde sayı pulları yardımı ile kolayca görselleştirilebilir. Örneğin, [ -8:-2] ifadesini ele alırsak ve yukardaki gibi -8 ifadesini 8 adet siyah pulla gösterirsek, verilen sembolik ifadeyi ‘ 8 siyah pulu ( -8) ikişer gruplara ayırırsak ( -2’lik gruplar) toplam kaç tane 2’şerli grubumuz olur ‘’ ifadesine çevirebiliriz. Diğer bir deyişle , ‘’ 8 adet siyah pulun içerisinde kaç tane 2’şerli siyah pul vardır’’ sözel ifadesi bize sonucu 4 olarak verir.

75 Çarpma işleminde de olduğu gibi, yukardaki modellemelerden de yararlanılarak bir negatif sayı ile bir pozitif sayının bölümünün neden negatif olduğu veya iki negatif sayının birbirine bölümünün neden pozitif olduğu yukardaki modellemeler yardımı ile öğrencilere kavratılıp genellemelere gidilebilir. SONUÇ Bu bölümde en genel anlamda negatif sayılardan , bu sayıların öğreniminde ve öğretiminde karşılaşılan güçlüklerden , bu güçlüklere bağlı kavram yanılgılarından ve bu güçlüklerle kavram yanılgılarının nasıl giderilebileceğine dair literatürde yer alan önerilerden bahsedilmiştir. Yapılan literatür taraması , negatif sayıların öğrenilmesinde ve kavramların oluşturulmasında en uygun etkinlik ve örneklerinin belirgin olmadığını ama belli model ve gösterimlerin etkilerinden söz edilebileceğini göstermiştir.

76 Öğretimin amacı öğrencileri bilişsel becerilerini geliştirmeye yönelik keşiflere yöneltecek ortamlar hazırlamaktır (Ball &McDiarmid,1990). Farklı bir ifade ile , iyi bir öğretim için asıl vurgu işlemsel becerilerin gelişmesine değil matematiksel kavramların oluşmasına, problem çözmeye ve fikirler arası ilişkilerin kurulmasına verilmelidir ( NCTM, 1989). Ball (1988) iyi bir öğretim modeli sunmanın onu etkin bir şekilde kullanılmakla aynı şey olmadığını vurgulamıştır. Ball mükemmel bir modellemenin olamadığını , iyi bir model üretiminin de standart bir formülü olmadığını ve iyi bir öğretmenin hazırladığı içeriği analiz etme kapasitesine sahip olması gerektiğini vurgulamıştır.

77 Diğer bir değişle , öğretmen kurguladığı modeli etkin bir şekilde sunmalı ve sunulan modelin eksik yanlarını giderici alternatif modeller üretebilmelidir ( Ball,1988).Bu sebepten dolayı, bu bölümde öğretmen bilgisine de değinilmiştir, iyi bir öğretmenin alan bilgisinin yanı sıra öğrencilerinin hangi konu ve kavramları anlamada zorluk çektiklerini ve onların sahip olabilecekleri kavram yanılgılarını iyi bilmeleri ve de bu kavaram yanılgılarını nasıl giderebileceğine yönelik yöntemler üretebilmeleri vurgulamıştır.

78 HAZIRLAYANLAR SÜMEYYE DEMİR BETÜL ERDEM ŞEYMA LOŞOĞLU FATİME KAHRAMAN