SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİ PROF. DR. NAZMİYE YAHNİOĞLU nazmiye@yildiz.edu.tr www.yildiz.edu.tr/~nazmiye

ÖZET: Eksenel kuvvet etkisindeki çubuklar Matematiksel model elde edildi, Farklı mesnet tiplerine ait uygulamalar, Her nodda yerdeğiştirmenin bulunması, Her sonlu elemanda gerilmenin bulunması Mesnet yüzeylerindeki tepki kuvvetinin bulunması Sıcaklık değişiminin göz önüne alınmasına ait model ve uygulamalar öğrenildi.

EULER-BERNOULLİ KİRİŞLERİNİN EĞİLMESİ Euler – Bernoulli kiriş teorisi, kiriş eksenine dik olan düzlemsel en kesitin deformasyondan sonra da düzlem kaldığı kabulüne dayanır. Kiriş üzerindeki her bir noktanın ancak düşey doğrultuda hareket edebileceği kabul edilerek, bu hareket miktarına o noktanın çökmesi (w) adı verilir ve bu teoride diferansiyel denklem (yönetici denklem) çökme (w(x)) cinsinden 4. mertebeden bir diferansiyel denklem olur . Eylemsizlik Momenti b(x)=E(x).I(x) Elastisite Modülü

Euler-Bernoulli Kirişleri (Devam) verilen kirişe ait küçük bir parça üzerinde, bu parçaya ait bilinen ve bilinmeyen bütün büyüklükler: nod no 1 2 burada, (e) ninci alt bölgenin alt (üst) nodunun çökmesi (e) ninci alt bölgenin alt (üst) nodunun içinde bulunduğu kesitin dönmesi ler alt bölgenin uç noktalarındaki kesit tesirleri; T-Kesme Kuvveti/M-Eğilme Momenti

Varyasyonel Formülasyon Ele alınan küçük kiriş parçasının üzerine etki eden dış kuvvetler ve kesit yüzeylerine etkiyen kesit tesirleri altında dengede olduğunu kabul edelim. Bu durumda Galerkin Yöntemini bu parçaya uygulayalım. Bu durumda V(x) test fonksiyonu ile Çarpımının bölge üzerindeki integrali sıfır olur. iki defa üst üste kısmi integrasyon uygulanırsa;

Varyasyonel Formülasyon (devam) Aşağıdaki işaretlemeler kabul edilsin. Dolayısıyla tek indisli büyüklükler kesme kuvvetini; çift indisli büyüklükler eğilme Momentini gösterir.

Varyasyonel Formülasyon (devam) Dolayısıyla, şeklinde ifade edilebilir. Bu ifadeye, ele alınan alt bölge için verilen diferansiyel denklem ve sınır koşullarına (bilinen değerlere) göre elde edilmiş varyasyonel ifade adı verilir.

İnterpolasyon Fonksiyonları Ele alınan durumda interpolasyon fonksiyonları şimdiye kadar kullanılanlardan farklı olur. Bu fonksiyonlar 3. dereceden polinimlar olup Hermite tipi interpolasyon Fonksiyonları veya kübik Spline fonksiyonları adını alır. Burada alt nod koordinatı üst nod koordinatı

Sonlu Eleman Formülasyonu Aranan w(x) Çökme fonksiyonu ile V(x) Test fonksiyonu baz fonksiyonları yardımıyla seri formda yazılarak, fonksiyonelde yerine yazılırsa, için,

Sonlu Eleman Formülasyonu Gerekli hesaplamalar yapılırsa, eleman matrisleri olur. Eğer b=E.I=sb, f=sb olursa yukarıdaki matrislerin sayısal değerleri:

Eleman matrislerinin birleştirilmesi Eleman matrislerinin birleştirilmesinde; 1. öncelikli değişkenlerin eleman içersinde sürekliliği, 2. elemanın ortak nodunda 2. öncelikli değişkenlerin dengesi dikkate alınır. Birinci öncelikli büyüklükler (bilinmeyen) İkinci öncelikli büyüklükler (bilinen)

Eleman matrislerinin birleştirilmesi ve eleman sınırlarında kuvvetlerin dengesinden, = uygulanan noktasal (tekil) kuvvet = uygulanan tekil eğilme momenti NOT: Eksenin pozitif yönünde etkiyen kuvvetler pozitif işaret alır. Saat yönünde dönme etkisi yaratan momentler pozitif işaret alır.

Eleman matrislerinin birleştirilmesi ,

Eleman matrislerinin birleştirilmesi sayısal veriler ile,

Sınır Koşullarının Sisteme Dahil Edilmesi

Örnek 1. verilen yapı elemanını en az sonlu eleman alarak Euler- Bernoulli kiriş teorisi yardımıyla modelleyerek; Her nodda çökme ve dönmeleri, Mesnet reaksiyonlarını bulunuz.

Örnek 1. (devam) Sonlu elemanlara ayrıklaştırma,

Örnek 1. (devam) Bilinmeyen büyüklüklerin ortak sembolle gösterilmesi, Kopyalama matrislerinin sayısal değerleri integrallerinden bulunur.

Örnek 1.(devam) Genel sistem- K matrisi:

Örnek 1. (devam) Genel sistem- K matrisi:

Örnek 1. (devam) Genel sistem- F matrisi:

Örnek 1. (devam) Ku=F denklem sistemi oluşturulur. İndirgenmiş sistemi bulmak için, w(0) = 0  U1 = 0 ; w(28) = 0  U7 = 0 sınır koşulları yardımıyla bazı bilinmeyen büyüklükler biliniyor hale gelmiştir. Bu durumda Ku=F denklem sisteminde 1.,7. ve 8. denklemlerde bilinmeyenler bu denklemlerde eşitliğin her iki tarafında yer almaktadır. Buna karşın geriye kalan denklemler bu üç denklemden bağımsız olarak çözülebilmektedir. O halde çözüm iki aşamada yapılabilir. Birinci aşamada 2.-6. denklemler çözülür. İkinci aşamada buradan belirlenen büyüklükler diğer üç denklemde kullanılarak eşitliğin sağında bulunan ve bilinmeyen mesnet reaksiyonları belirlenir.

Örnek 1. (devam) Denklemin çözümünden, İndirgenmiş sistem Denklemin çözümünden, U2 = 0.03856 , U3 = -0.2808 m , U4 = 0.01214 , U5 = -0.1103 m , U6 = -0.02752

Örnek 1. (devam) Denklemin çözümünden, İkinci aşama için 1., 7. ve 8. denklem kullanılarak mesnet reaksiyonları , , Denklemin çözümünden,

Çözüm: Çökme fonksiyonu için, burada, R1 = 0.001856, A0 = 2400x10-7, A1 = 0.03856, A2 = 0.07497, A3 = 0.20943, h1 = 10m , h2 =12m