Devre & Sistem Analizi Projesi

Proje adı : Verilmiş Bir Transfer Fonksiyonuna Karşı Düşen Devrenin Elde Edilmesi Öğretim Üyesi : Yrd. Doç. Dr. Neslihan Serap Şengör Asistan : Müh. Özkan Karabacak Sorumlu öğrenciler : Mehmet Fatih Ilgın Hüseyin Altın Malik Kuran Enes Cesur

AMAÇ Bir kapılı LC, RC ve RL devrelerinin sentezi

Devre Sentezine Genel Bir Bakış Verilmiş bir transfer fonksiyonuna karşı düşen devrenin bulunması devre sentezidir. Sentez sonucunda devre biçimi ve devre elemanlarının değerleri elde edilir.

Temel Tanımların Verilmesi Pasif Devre Aktif Devre Transfer Fonksiyonu Empedans Fonksiyonu Z(s) Admitans Fonksiyonu Y(s) İç Kritik Frekans Pozitif Reel Fonksiyonlar Foster ve Cauer Devreleri

F(s) fonksiyonunun sağ yarı s-düzleminde kutbunun bulunmaması, F(s) fonksiyonunun jw ekseninde kutupları bulunuyorsa bu kutupların katsız ; bu kutuplardaki rezüdilerin de reel ve pozitif olması. Tüm ω değerleri için (0 ≤ ω ≤ ∞) Re{F(j ω)} ≥ 0 koşullarının sağlanması

Foster ve Cauer Devreleri Verilen bir rasyonel fonksiyonu devre elemanlarına karşı düşecek şekilde basit ifadeler ile elde edilmesinde Foster ve Cauer devrelerinden yararlanılır.

1-KAPILI LC-DEVRELERİNİN SENTEZİ Reaktans Fonksiyonları: Bir reaktans F(s) fonksiyonu LC-türü bir giriş fonksiyonu; 1 ) Tüm sıfır ve kutuplar jw-ekseninde ve katsızdır; s=0 ve s=∞’da bir kutup ya da bir sıfır bulunur. 2 ) FLC(s)=P(s)/Q(s) ,P0(s)=m , Q0(s)=n olmak üzere , |m-n|=1’dir. 3 ) FLC(s) tek fonksiyondur. 4 ) X(w) reel fonksiyon olmak üzere FLC(jw)=jX(w) 5 ) dX(w)/dw >0 koşulu geçerlidir. (X(w) artan bir fonksiyondur.) Bunun sonucunda da bu türden bir fonksiyonun bir sıfırından sonra bir kutup, bir kutbundan sonra bir sıfır geleceği söylenebilir. Yani sıfır ve kutuplar jw-ekseninde sıralı olacaklardır.

Bu özelliklere uygun olarak karşımıza; 0<w1<w2<w3…. veya 0<w2<w1<w4<w3……..

Foster ve Cauer Devrelerinin Gerçekleştirilmesi Basit kesirlere açılım F(s) = k∞s + (k0/s) + ∑( 2kis / (s2+ ωi2)) ; Giriş empedans fonksiyonu ise Foster I Devreleri Giriş admitans fonksiyonu ise Foster II Devreleri

Foster I Devresi

Foster II Devresi

Cauer Devreleri Cauer I devreleri için sürekli kesirlere açılım;

Cauer Devreleri Cauer II devreleri için sürekli kesirlere açılım;

Cauer I Devresi Cauer II Devresi

Cauer I tipi devre ele alınan fonksiyonun pay ve payda polinomlarının en yüksek dereceli terimden en küçük dereceli terime doğru, Cauer II tipi devre de en küçük dereceli terimden en yüksek dereceli terime doğru yazılması ile elde edilen sürekli kesirlere açılımlara ilişkin devrelerdir. Bir başka deyişle, sırasıyla ki s ve ki/s biçimli terimlerden oluşan sürekli kesirlere ilişkindirler.

Bir Kapılı RC ve RL Devrelerinin Sentezi LC devresinin çevre empedans matrisindeki terimler ZLC (s) = Lij s + (1 /C ij s) biçiminde RC devresinin çevre empedans matrisindeki terimler ZRC (s) = Rij + (1 /C ij s ) biçiminde RL devresinin çevre empedans matrisindeki terimler ZRL (s) = Lij s + Rij biçiminde olur

RC Türü Giriş Empedans Fonksiyonlarının Özellikleri ( RL türü giriş admitans fonksiyonlarının özellikleri ) ZLC(s) fonksiyonuna ilişkin basit kesirlere açılım , ZLC(s)= k∞s + (k0 / s) + ∑ [(2ki’s) / ( s2 + ω2 ) ] biçimindendi. Bu açılıma Cauer dönüşümü uygulanacak olursa, 2ki’= ki ve ωi2 = σi olmak üzere , ZRC(s)= k∞ + (k0 / s) + ∑ [ki / ( s + σi ) ] açılımı elde edilebilir., RC türü giriş empedans fonksiyonları şu özellikleri sağlayan fonsiyonlar olacaktır : Sıfır ve kutuplar -σ ekseninde sıralıdır. ZRC(∞) < ZRC(0) Sıfıra yakın kritik frekans bir kutup, sonsuza yakın kritik frekans bir sıfırdır.(bu kutup s=∞’da bulunabilir). Kutuplardaki rezüdiler pozitiftir.

RC Türü Giriş Admitans Fonksiyonlarının Özellikleri (RL türü giriş empedans fonksiyonlarının Özellikleri) Cauer dönüşümlerinden yararlanılarak YRC(s) ZRL(s) fonksiyonuna ilişkin bir açılım , k∞ , k0 ve ki ≤ 0 olmak üzere , YRC(s)= k∞s + k0 + ∑ [(kis) / ( s + σ )] biçiminde elde edilebilir . RC türü giriş admitans fonksiyonları şu özellikleri sağlamaktadır: sıfır ve kutuplar -σ ekseninde ve sıralıdır. YRC(∞) > YRC(0) sıfıra yakın kritik frekans bir sıfır , sonsuza yakın kritik frekans bir kutuptur. (sıfır s=0’da kutup da s=∞’da bulunabilir). s= -σ kutbundaki rezüdi negatiftir (-kiσi < 0) YRC(s) / s fonksiyonunun kutuplarındaki rezüdiler pozitiftir.

Cauer Dönüşümleri Tablosu

Giriş Empedans Fonksiyonları ZLC(s)= k∞s + (k0 / s) + ∑ [(2ki’s)/(s2 + ω2)] ZRC(s)= k∞ + (k0 / s) + ∑ [ki / ( s + σi ) ] ZRL(s)= k∞s + k0 + ∑ [(kis) / ( s + σ )]

UYGULAMA Örnek 1: fonksiyonunu Foster ve Cauer türü birer devre ile gerçekleyiniz.

Açılımından yararlanarak, Y(s) = s (s+2)/((s+1)(s+3)) eşitliği elde edilir. Bu açılıma karşılık düşen Foster II türü devre şekildeki gibidir.

s = -1 de ve s = -3 de tek katlı sıfırı s = 0 da ve s = -2de tek katlı kutbu vardır. Dolayısıyla devrede de 4 tane eleman bulunacaktır. fonksiyonunun biçimindeki açılımından da Cauer I devresine geçilir .

Örnek 2: fonksiyonunu gerçekleştiren iki devre elde ediniz.

açılımına karşılık düşen, devresi ile,

Açılımına karşılık düşen, devresi seri ve basamaklı türden birer devre olarak elde edilmiş olur.

Bizi sabırla dinlediğiniz için teşekkür ederiz.