BELİRLİ İNTEGRAL
KONUNUN AŞAMALARI KAPALI ARALIĞIN PARÇALANMASI BELİRLİ İNTEGRAL VE İNTEGRALLENEBİLİR FONKSİYON BELİRLİ İNTEGRALİN ÖZELLİKLERİ
KAPALI ARALIĞIN PARÇALANMASI b x0 < x1<x2<x3<......<xk-1<xk<.......<xn-1<xn P={x0 ,x1,x2,x3,......,xk-1,xk, ......., xn-1,xn } [a,b] aralığının bir parçalanması (bölüntüsü)
Her bir [xk-1, xk] kapalı alt aralığı için; xk= xk –xk-1 sayısı [xk-1, xk] kapalı alt aralığının uzunluğu
Alt aralıkların uzunlukları olmak üzere x1= x1 –x0 x2= x2 –x1 Alt aralıkların uzunlukları olmak üzere x3= x3 –x2 .................... xn= xn –xn-1 [a.b] aralığının uzunluğu b-a = x1+ x2+ x3+..........+ xn
Alt aralıklarının uzunlukları birbirine eşitse x1= x1 –x0 x2= x2 –x1 Alt aralıklarının uzunlukları birbirine eşitse x3= x3 –x2 .................... xn= xn –xn-1 P bölüntüsüne [a,b] aralığının DÜZGÜN BÖLÜNTÜSÜ denir.
P düzgün bir bölüntü ise; [a,b] aralığını, n eşit parçaya bölen P bölüntüsü-nün herhangi bir alt aralığının uzunluğu, P bölün- tüsünün normunu (aralık genişliğini) verir. xk= = P
P={2,11/3,16/3,7} bölüntüsü, düzgün bir bölüntüdür. ÖRNEK: [2,7] ARALIĞI İÇİN P={2,11/3,16/3,7} bölüntüsü, düzgün bir bölüntüdür. ? x1= x2= x3=
ALT TOPLAM y y=f(x) m3 mn m4 m2 m1 x y=f(x) m3 mn m4 m2 m1 x1 x2 x3 xk xn a=x0 x1 x2 x3.......xk-1 xk ..........xn-1 xn=b ALT TOPLAM
ÜST TOPLAM y y=f(x) M3 Mn MK M2 M1 x y=f(x) M3 Mn MK M2 M1 x1 x2 x3 xk xn a=x0 x1 x2 x3.......xk-1 xk ..........xn-1 xn=b ÜST TOPLAM
f(t2) f(tk) f(tn) f(t1) a=x0 t1 x1 t2 x2 xk-1 tk xk xn-1 tn xn x1 x2 y y=f(x) f(t2) f(tk) f(tn) f(t1) a=x0 t1 x1 t2 x2 xk-1 tk xk xn-1 tn xn x1 x2 xk xn RİEMANN TOPLAMI
Bu toplamlar arasındaki sıralama Alt Toplam Rieman Toplamı Üst Toplam
A B C ÖRNEK: f:[0,2] R, f(x)=x2 fonksiyonu için; [0,2] aralığını, 4 eşit parçaya bölerek; A Alt toplamını B Üst toplamını C Riemann toplamını bulalım:
P, düzgün bir bölüntü olduğundan x1= x2= x3= x4= P={0, 1/2 , 1 , 3/2 , 2}
A y y=x2 x Alt toplamı m1=f(0)=0 m2=f(1/2)=1/4 m3=f(1)=1 m4=f(3/2)=9/4 y=x2 m1=f(0)=0 m2=f(1/2)=1/4 m3=f(1)=1 m4=f(3/2)=9/4 1/2 1 3/2 2
B y y=x2 x Üst toplamı M1=f(1/2)=1/4 M2=f(1)=1/4 M3=f(3/2)=9/4 y=x2 M1=f(1/2)=1/4 M2=f(1)=1/4 M3=f(3/2)=9/4 M4=f(2)=4 1/2 1 3/2 2
C Riemann toplamı: y x y=x2 1/2 1 3/2 2
TANIM: f:[a,b] R sınırlı bir fonksiyon ve [a,b] aralığının bir bölüntüsü P olsun. ise, f fonksiyonu, [a,b] aralığında İNTEGRALLENEBİ-LİR FONKSİYONDUR. Bu “s” sayısına da, f fonksiyo- nunun [a,b] aralığındaki BELİRLİ İNTEGRALİ denir.
olması ne demektir? [a,b] aralığının, [xk-1,xk] alt aralıklarının uzunlukla-rının SIFIRA yaklaşması demektir. Bu durumda, alt ve üst toplamlarda elde edilen dik- dörtgenlerin taban uzunlukları küçülecek ve dolayısı ile, alt ve üst toplam birbirine yaklaşacaktır.
P parçalanması, düzgün bir parçalanma olduğundan;
ÖRNEK: belirli integralini, tanıma göre hesaplayalım: [0,3] aralığını, n eşit parçaya bölersek; k{0,1,2,....,n} için,
? YANİ
İNTEGRAL HESABIN TEMEL TEOREMİ f: [a,b] R fonksiyonu, [a,b] aralığında integralle- nebilen bir fonksiyon olsun. F:[a,b] R fonksiyonu (a,b) aralığında türevli ve x(a,b) için, F’(x)=f(x) ise,
ÖRNEK:
BELİRLİ İNTEGRALİN ÖZELLİKLERİ f ve g fonksiyonları, [a,b] aralığında integralle-nebilir iki fonksiyon ve a,b,c R ise; = + 3(-cosx) sinx = +
2 3(-cosx) + sinx -3.[(cos - cos(/2)] + [sin - sin (/2)] [-3.((-1)+3.0)] + (0-1) 2
[a,c] aralığında integrallenebilir bir f fonksiyonu için, a<b<c ise;