İSTATİSTİK II Örnekleme Dağılışları & Tahminleyicilerin Özellikleri

İstatistiksel Yöntemler

Yorumlayıcı İstatistikler 1. İçeriği: Tahminleme Hipotez Testleri 2. Amaç Anakütlenin karakteristiği hakkında yorumlamalar (genellemeler) yapmak. Anakütle?

Yorumlama (Çıkarım) Süreci

Yorumlama (Çıkarım) Süreci Anakütle

Yorumlama (Çıkarım) Süreci Anakütle Örnek

Yorumlama (Çıkarım) Süreci Anakütle Örnek istatistiği (X) Örnek

Yorumlama (Çıkarım) Süreci Tahminler & testler Anakütle Örnek istatistiği (X) Örnek

Tesadüfi Örnekleme Eğer bir anakütleden n birimi tesadüfi (rastgele) olarak çekersek, anakütleden çekilecek her n birimlik örnek, aynı olasılıkla çekilmiş olacaktır ve bu çekime tesadüfi örnekleme denir. Bir anakütleden tesadüfi çekim iadeli veya iadesiz olarak yapılabilir. Örneklemede iadesiz çekim en iyisidir.

Tanım Ortalamanın Örnekleme Dağılışı Her biri n hacimli örneklerin örnek ortalamalarının olasılık dağılışıdır. page 256 of text  

Örnekleme Dağılışı 1. Teorik olasılık dağılışı. 2. Şans değişkeni Örnek İstatistiğidir. Örnek ortalaması, örnek oranı vs. 3. Sabit bir hacimli tüm olası örneklerin alındığını varsayalım. 4. Tüm olası [X, P(X) ] ikilileri Ortalamanın Örnekleme Dağılışı

Otomobilin Kat Ettiği Mesafe Örnek Olayı Yeni bir otomobil modelinden 6 adet deneme üretimi yapılmış ve tüketim değerleri (mpg) için aşağıdaki veriler elde edilmiş olsun.

Örnek Ortalamalarının Dağılışı n = 2 otomobillik örnekler alınsın ve bunların ortalamasının dağılışını bulalım.

Örnek Bir anakütle varsayalım. ... Anakütle hacmi, N = 4 Şans değişkeni, X, kişilerin bir işteki hata sayısı olsun. x’in değerleri: 1, 2, 3, 4 Her değerin olasılığı eşit olsun. İki kişilik örnekler ile gerçek ortalama m’yü tahmin edelim. © 1984-1994 T/Maker Co.

Anakütle Karakteristikleri Anakütle dağılışı Have students verify these numbers.

n = 2 hacimli tüm olası örnekler Yerine koyularak örnekleme

n = 2 hacimli tüm olası örnekler 16 Örnek Ortalaması Yerine koyularak örnekleme

Tüm Örnek Ortalamalarının Örnekleme Dağılışı 16 Örneğin Ortalaması Örnekleme Dağılışı

Karşılaştırma Anakütle Örnekleme Dağılışı

Ortalamanın Standart Hatası 1. Tüm olası örnek ortalamaları X’ların standart sapması 2. Anakütle standart sapmasından küçüktür.

Ortalamanın Standart Hatası 1. Tüm olası örnek ortalamaları X’ların standart sapması 2. Anakütle standart sapmasından küçüktür. 3. Formülü (İadeli Örnekleme)

Yerine koymadan örnekleme n > 0.05 N ise N - n  x = n N - 1 Sonlu anakütle Düzeltme faktörü

X-bar’ın Beklenen Değeri “Hatırlatma” E(X+Y) = E(X) + E(Y) Buradan

X-bar’ın Varyansı “Hatırlatma” Bağımsız X ve Y için Buradan Var(X + Y) = Var(X) + Var (Y) Buradan “Hatırlatma”

Tahminleyiciler 1. Bir anakütle parametresini tahminlemek için kullanılan şans değişkenleridir. Örnek ortalaması, örnek oranı, örnek standart sapması 2. Örnek: Örnek ortalamasıX , anakütle ortalaması ’nün bir tahminleyicisidir. EğerX = 3 ise; 3, ’nün tahminidir.

Tahminleyicilerin Özellikleri - 1. Sapmasızlık (Yansızlık) 2. Minimum Varyans (Etkinlik) - Örnek ortalaması bu iki özelliği de sağlamaktadır. 9

Sapmasız ve Sapmalı Tahminleyiciler Sapmasız tahminleyici Sapmalı tahminleyici { Sapma

Etkinlik Etkin tahminleyici Etkin olmayan tahminleyici

Ortalamanın Örnekleme Dağılışının Özellikleri 1. Sapmasızlık (Yansızlık) Örnekleme dağılışının beklenen değeri gerçek ortalamaya eşittir. 2. Etkinlik (minimum varyans) Örnek ortalamasının varyansı diğer bir sapmasız tahminleyicinin varyansından küçüktür. An estimator is a random variable used to estimate a population parameter (characteristic). Unbiasedness An estimator is unbiased if the mean of its sampling distribution is equal to the population parameter. Efficiency The efficiency of an unbiased estimator is measured by the variance of its sampling distribution. If two estimators, with the same sample size, are both unbiased, then the one with the smaller variance has greater relative efficiency. Consistency An estimator is a consistent estimator of a population parameter if the larger the sample size, the more likely it is that the estimate will come close to the parameter.

Sapmasızlık (Yansızlık) Sapmalı 

Ortalamanınörnekleme dağılışı Medyanın örnekleme dağılışı Etkinlik Ortalamanınörnekleme dağılışı Medyanın örnekleme dağılışı 

Örnek Hacmi büyüdükçe tahminleyicinin varyansı küçülür. Büyük örnek hacimli durum Küçük örnek hacimli durum 

Normal dağılış gösteren bir anakütleden örnekleme Merkezi eğilim Yayılma Anakütle dağılışı Örnekleme dağılışı n = 4 X = 5 n =16 X = 2.5

Örnek Telekom’da çalışan bir uzman, uzun zaman yaptığı gözlemlerden, telefon konuşma sürelerinin  = 8 dk. ve  = 2 dk. olan normal dağılış gösterdiğini belirlemiştir. 25 görüşme rasgele seçilirse, örnek ortalamasının 7.8 ile 8.2 dakika arasında çıkması olasılığı nedir? © 1984-1994 T/Maker Co.

Standart Normal Dağılış Çözüm Örnekleme dağılışı Standart Normal Dağılış .3830 .1915 .1915

Normal olmayan dağılışlardan örnekleme Merkezi eğilim Yayılma Yerine koyarak örnekleme Anakütle dağılışı Örnekleme dağılışı n = 4 X = 5 n =30 X = 1.8

Merkezi limit teoremi Örnek hacmi yeterince büyükse (n  30) ...

Merkezi limit teoremi Örnekleme dağılışı hemen hemen normal olur. Örnek hacmi yeterince büyükse (n  30) ... Örnekleme dağılışı hemen hemen normal olur.

Merkezi limit teoremi Örnekleme dağılışı hemen hemen normal olur. Örnek hacmi yeterince büyükse (n  30) ... Örnekleme dağılışı hemen hemen normal olur.

Merkezi limit teoremi 1. x şans değişkeninin, ortalaması µ ve standart sapması  olan bir dağılışı olsun. 2. n hacimli örnekler şans örneği olsun. page 257 of text

Merkezi limit teoremi Örnek ortalaması x ‘ın dağılışı, örnek hacmi arttıkça bir normal dağılışa yaklaşır. Örnek ortalamalarının ortalaması, anakütle ortalaması µ’ye eşit olur. Örnek ortalamalarının standart sapması s/ olur.

Otomobilin Kat Ettiği Mesafe Örnek Olayı – Tüm Üretim Süreci Otomobillerin seri üretime geçtiğini varsayalım. Üretim devamlı olacağı için anakütlenin hacmi sonsuz kabul edilebilir. Gerçek ortalama tüketimin 31.6 olduğunu kabul edelim (Not: Gerçekte bu değer bilinmez ve tahmin edilmek istenir.) Kat edilen mesafelerin standart sapması σ = 0.8 olsun.

Örnek: Kadınlardan oluşan bir anakütlede ortalama ağırlık 143 lb ve standart sapma 29 lb’dir. Eğer 36 değişik kadın rasgele seçilirse, bunların ortalamasının 150 lb’den büyük olması olasılığı nedir? The (b) problem exemplifies one that uses the central limit theorem to compute. Note the different wording to that of the (a) problem.

Örnek: Kadınlardan oluşan bir anakütlede ortalama ağırlık 143 lb ve standart sapma 29 lb’dir. Eğer 36 değişik kadın rasgele seçilirse, bunların ortalamasının 150 lb’den büyük olması olasılığı nedir? The different standard deviation will have to be computed for this distribution. Note that the standard deviation is smaller than that of the population. x = 143 150 x= 29 = 4.83333 36

Örnek: Kadınlardan oluşan bir anakütlede ortalama ağırlık 143 lb ve standart sapma 29 lb’dir. Eğer 36 değişik kadın rasgele seçilirse, bunların ortalamasının 150 lb’den büyük olması olasılığı nedir? z = 150-143 = 1.45 29 36 With a different standard deviation, there will be a different z score computation. 0.4265 x = 143 150 x= 4.83333 1.45

Örnek: Kadınlardan oluşan bir anakütlede ortalama ağırlık 143 lb ve standart sapma 29 lb’dir. Eğer 36 değişik kadın rasgele seçilirse, bunların ortalamasının 150 lb’den büyük olması olasılığı 0.0735 dir. P(x> 150) = 0.0735 z = 150-143 = 1.45 29 36 0.5 - 0.4265 = 0.0735 Interpretation of numerical answer. 0.4265 x = 143 150 x= 4.83333 1.45

Örnek Oranının Örnekleme Dağılışı  

Örnek Oranının Standartlaştırılması

ÖRNEK

ÖRNEK

ÖRNEK

Krem Peynir Örnek Olayı Bir gıda işleme firması, «kolay akıtan» bir ağızlığa sahip plastik ambalaj içinde krem peynir pazarlamaktadır. Yeni ve ucuz bir ağızlık kullanılmak istenmektedir. Bundan dolayı kaybedilecek müşteri oranı yüzde 10’dan az olursa, karın artacağı düşünülmektedir. Tesadüfi olarak seçilen 1000 müşteriden (yeni ağızlıklı ürünü denedikten sonra) 63’ü bu yeni ağızlıklı ürünü almayacağını belirtmiştir. Oranın yüzde 10’dan az olduğuna dair şu an elimizde delil var. Delilin güvenilirliğini belirlemek için örnek oranının örnekleme dağılışını bilmeye gereksinimimiz var.