FONKSİYON

FONKSİYON KONUSU SORU DAĞILIMI 1997 1998 1999 ( iptal ) 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2 3 1 - Fonksiyon konusundaki soru tipleri genel olarak şu şekilde gruplandırılabilir. Fonksiyon tanımı Fonksiyon Çeşitleri Cinsinden - Türünden Grafik

Bu soruların soru tiplerine göre dağılımı 1997-2004 ÖSS’lerinde , fonksiyon konusundan toplam 9 soru sorulmuştur. Bu soruların soru tiplerine göre dağılımı 3 tane fonksiyon çeşitlerinden 3 tane fonksiyon tanımından 3 tane grafik

Fonksiyon konusu oldukça geniş ve kapsamlı bir konudur Fonksiyon konusu oldukça geniş ve kapsamlı bir konudur.Konunun iyi anlaşılabilmesi için soru tiplerini gruplandırarak çalışmak ve özellikle çözümlü örnekleri tekrar tekrar çözmek gerekmektedir.Bu sayede fonksiyon konusunun mantığı anlaşılabilecek ve çıkacak olan soru çözülebilecektir.Konuyu çalışırken önceliği değer – tanım kümesi ilişkisi , ters - bileşke fonksiyon ve grafik sorularına vermek gerekir.Konu kapsamlı olduğu içinde daha fazla zaman ayrılması iyi olacaktır.

FONKSİYONU ÜRETMESİDİR. ÖRNEK :1 A B FABRİKA İPLİK KUMAŞ FABRİKANIN FONKSİYONU ÜRETMESİDİR. İPLİKTEN KUMAŞ

ÖRNEK :2 A B TOPRAK TOHUM BİTKİ TOPRAĞIN FONKSİYONU..................................................................................DÖNÜŞTÜRMESİDİR. TOHUMU BİTKİYE

f Bu durum f : A  B veya A  B biçiminde gösterilir. A ve B boş olmayan iki küme olsun.AXB nin her alt kümesine A da B ye bir bağıntı dendiğini biliyorsunuz. Şimdi , A dan B ye tanımlanan  bağıntılarından bazılarının aşağıda değineceğimiz şartları doğrulamasını isteyeceğiz ve bu bağıntılara fonksiyon diyeceğiz. TANIM: A ve B boş olmayan herhangi iki küme olsun . A’nın her elemanını B’ nin bir ve yalnız bir elemanına eşleyen f bağıntısına A dan B ye fonksiyon denir. Bu durum f : A  B veya A  B biçiminde gösterilir. f

TANIM: A’ dan B’ ye f fonksiyonu A’ nın bir x elemanını B ’ nin bir y elemanına eşlesin , y ’ye x ’ in f altında görüntüsü denir. Bu durum ; f f f : x  y , x y , y = f ( x ) , ( x , y )  f İfadelerinden biri ile gösterilir. A kümesine f fonksiyonun tanım kümesi , B kümesine bu fonksiyonun değer kümesi ve A ’ nın elemanlarının B kümesindeki görüntülerinin oluşturduğu kümeye görüntü kümesi denir.Görüntü kümesi f(A) ile gösterilir.

ÖRNEK : 3 f G F f fonksiyonunu şu şekillerde gösterebiliriz. .0 .1 .2 .0 .1 .3 .6 GÖRÜNTÜ KÜMESİ ( f (G) ) f ( 0 ) = 0 f ( 1 ) = 3 f ( 2 ) = 6 f = { ( 0 , 0 ) , ( 1 , 3 ) , ( 2 , 6 ) } f : 0 → 0 2 → 6 f TANIM KÜMESİ DEĞER KÜMESİ

ÖRNEK : 4 f F G .0 .1 .2 .3 .0 .1 .2 .3 .5 Yanda şeması verilen f fonksiyonunun : a) Tanım kümesini yazınız. b) Değer kümesini yazınız. c) Görüntü kümesini yazınız. ÇÖZÜM: Tanım Kümesi , T = { 0 , 1 , 2 ,3 } Değer Kümesi , D = { 0 , 1 , 2 , 3 , 5 } Görüntü Kümesi , f ( G ) = { 1 , 2 , 3 , 5 }

FONKSİYONUN ÖZELLİKLERİ 1- Tanım kümesinde açıkta eleman kalmaz,değer kümesinde açıkta eleman kalabilir. 2- Tanım kümesinde bir eleman değer kümesindeki birden fazla elemanla eşlenemez. 3- Tanım kümesindeki birden fazla eleman değer kümesindeki bir elemanla eşlenebilir. Bu özelliklerin daha iyi aklımızda kalması için şu örneği verebiliriz

Çocukları ile beraber bir toplantı düzenleyen anneleri düşünelim Çocukları ile beraber bir toplantı düzenleyen anneleri düşünelim.Çocuklar tanım kümesi , bu çocukların anneleri de değer kümesi olacak şekilde bunları iki gruba ayıralım. ÇOCUKLAR ANNELER Tanım kümesinde bulunan her çocuğun değer kümesinde bir annesi vardır.Dolayısıyla tanım kümesinde açıkta eleman kalmamıştır ama çocuğu olmayan anneler bulunabilir.Yani değer kümesinde açıkta eleman kalabilir.           TANIM KÜMESİ DEĞER KÜMESİ

           ÇOCUKLAR ANNELER Tanım kümesindeki bir çocuğun değer kümesinde iki tane annesi olmaz .Yani tanım kümesindeki bir eleman değer kümesinde ancak bir elemanla eşlenebilir fakat bir annenin birden fazla çocuğu olabilir.            TANIM KÜMESİ DEĞER KÜMESİ

f = { ( a , 2 ) , ( b , 1 ) , (c ,3 ) } bağıntısı bir fonksiyondur ÖRNEK : 5 f G S .a .b .c .1 .2 .3 f = { ( a , 2 ) , ( b , 1 ) , (c ,3 ) } bağıntısı bir fonksiyondur

g = { ( a , 1 ) , ( b , 2 ) , (c ,2 ) } bağıntısı bir fonksiyondur ÖRNEK : 6 g G S .a .b .c .1 .2 .3 g = { ( a , 1 ) , ( b , 2 ) , (c ,2 ) } bağıntısı bir fonksiyondur

h = { ( a , 2 ) , ( b , 2 ) , (c ,2 ) } bağıntısı bir fonksiyondur ÖRNEK : 7 h G S .a .b .c .1 .2 .3 h = { ( a , 2 ) , ( b , 2 ) , (c ,2 ) } bağıntısı bir fonksiyondur

ÖRNEK : 8 k G S .a .b .c .1 .2 .3 k = { ( a , 2 ) , ( b , 3 ) , (c , 2) , (c , 1) } bağıntısı bir fonksiyon değildir. Çünkü G kümesindeki 'c' elemanının eşlendiği iki eleman vardır.

ÖRNEK : 9 m F B .a .b .c .1 .2 m = { ( a , 2 ) , (c , 1) } bağıntısı bir fonksiyon değildir.Çünkü F kümesindeki ‘b' elemanının eşlendiği eleman yoktur.

UYARI: Her fonksiyon bir bağıntıdır fakat her bağıntı bir fonksiyon değildir.Fonksiyon tanımını gerçekleyen özel bağıntılar fonksiyon olur.

Bir ineğin delidana hastası olduğunu nasıl anlarsınız? Eğer ineğinizin sesi şöyleyse: ızgaranızın ateşini yakın... Eğer ineğinizin sesi şöyleyse: balık yemeniz ruh sağlığınız açısından daha iyi olur... (Çift tıklayın) (Çift tıklayın) 1

ÖRNEK : 10 A = { a , b , c } kümesinden B = { 5 , 6 , 7 , 8 } kümesine tanımlanan aşağıdakilerden hangisi bir fonksiyon belirtir? a ) β1= { ( a , 5 ) , ( b , 5 ) , (c , 5 ) } b ) β2= { ( a , 5 ) , ( a , 6 ) , (a , 7 ) , ( b , 5 ) , ( b , 7 ) } c ) β3= { ( a , 8 ) , ( a , 7 ) , (b , 8 ) , ( b , 5 ) } d ) β4= { ( a , 5 ) , ( b , 6 ) , ( b , 7 ) , ( c , 8 ) } e ) β5= { ( c , 5 ) , ( a , 6 ) , (c , 7 ) , ( c , 8 ) } ÇÖZÜM Bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için tanım kümesindeki ( A ’da ki ) her elemanın yalnız bir tane görüntüsü olmalıdır. β1 bu şartı sağladığı için fonksiyondur.

UYARI: s( A ) =n ve s( B ) = m olmak üzere A dan B ye tanımlanabilen fonksiyon sayısı dir. mn ÖRNEK: 11 s(A) = 2 ve A’dan B’ye 144 fonksiyon tanımlanabildiğine göre s(B)=? ÇÖZÜM: s( A ) =2 s( B )= m olsun A’dan B’ye tanımlanabilen fonksiyon sayısı n2 dir. Buna göre m2 = 144  m = 12 = s( B )

UYARI: s( A ) =n ve s( B ) = m olmak üzere A dan B ye fonksiyon olmayan bağıntı sayısı ; dir. 2n.m - mn ÖRNEK: 12 s( A ) = 2 ve s( B ) = 3 ise A dan B ye fonksiyon olmayan bağıntı sayısı kaçtır? ÇÖZÜM: A’ dan B’ ye tanımlanabilen fonksiyon olmayan bağıntı sayısı ; 22.3 - 32 = 26 - 9 = 64 - 9 = 55

ÖRNEK : 13 A = { - 2 ,- 1 , 0 , 1 , 2 } , B = { - 6 ,- 4 , - 3 , 0 ,1 , 3 , 6 } kümeleri için f : A → B , f ( x ) = 3x bağıntısı verilsin: a) f bağıntısını şema ile gösterelim.Fonksiyon olup olamadığını belirtelim. b) f : A →B ye bir fonksiyon ise f(A) kümesini bulunuz. c) f fonksiyonunu ikililer halinde yazınız. ÇÖZÜM: x = - 2 için f ( - 2 ) = 3.( -2 ) = - 6 ( -2 ' nin görüntüsü -6 dır ) x = - 1 için f ( - 1 ) = 3.( -1 ) = - 3 ( -1 ' in görüntüsü -3 dür ) x = 0 için f ( 0 ) = 3.( 0 ) = 0 ( 0 ' ın görüntüsü 0 dır ) x = 1 için f ( 1 ) = 3.( 1 ) = 3 ( 1 ' in görüntüsü 3 dür ) x = 2 için f ( 2 ) = 3.( 2 ) = 6 ( 2 ' nin görüntüsü 6 dır )

b ) A kümesinin görüntü kümesi f ( A ) = { – 6 , – 3 , 0 , 3 , 6 } x = - 2 için f ( - 2 ) = 3.( -2 ) = - 6 x = - 1 için f ( - 1 ) = 3.( -1 ) = - 3 ( -2 ' nin görüntüsü -6 dır ) ( -1 ' in görüntüsü -3 dür ) x = 0 için f ( 0 ) = 3.( 0 ) = 0 ( 0 ' ın görüntüsü 0 dır ) x = 1 için f ( 1 ) = 3.( 1 ) = 3 ( 1 ' in görüntüsü 3 dür ) x = 2 için f ( 2 ) = 3.( 2 ) = 6 ( 2 ' nin görüntüsü 6 dır ) A B -2 -1 1 2 -6 -4 -3 1 3 6 a ) Tanım kümesinin bütün elemanları değer kümesinde bir ve yalnız bir elemanla eşlendiği için f bağıntısı bir fonksiyondur. b ) A kümesinin görüntü kümesi f ( A ) = { – 6 , – 3 , 0 , 3 , 6 } c ) f = { ( - 2 , - 6 ) , ( - 1 , - 3 ) , ( 0 , 0 ) , ( 1 , 3 ) , ( 2 , 6 ) }

ÖRNEK : 14 f : A → R , f ( x ) = x2 +1 ve A = { -2 ,0 ,1 , 2 , 3 } ise f ( A ) kaç elemanlıdır? ÇÖZÜM: A = { -2 ,0 ,1 , 2 , 3 } kümesinin elemanlarının görüntülerini bulalım. x = - 2 için f ( -2 ) = ( -2 )2 +1 = 5 x = 0 için f ( 0 ) = ( 0 )2 + 1 = 1 x = 1 için f ( 1 ) = ( 1 )2 + 1 = 2 x = 2 için f ( 2 ) = ( 2 )2 + 1 = 5 x = 3 için f ( 3 ) = ( 3 )2 + 1 = 10 f ( A ) = { 1 , 2 , 5 , 10 } olup s ( f ( A ) ) = 4 tür.

ÖRNEK :15 f = { ( 2 , 3 ) , ( 4 , 5 ) , ( 6 ,3 ) , ( 8 , 1 ) } bağıntısı bir fonksiyon ise f fonksiyonunun şemasını çizelim , tanım ve görüntü kümelerini yazalım. ÇÖZÜM: Verilen f fonksiyonunun tanım kümesi A , değer kümesi de B olsun . f fonksiyonunun elemanları olan ikililerin birinci bileşenleri tanım kümesinin ( A ) , ikinci bileşenleri de değer kümesinin ( B ) elemanıdır. Buna göre ; f A B 2 1 Tanım kümesi : A = { 2 , 4 , 6 , 8 } 4 Değer kümesi : B = { 3 , 5 , 1 } 3 6 Görüntü kümesi : f( A ) = { 3 , 5 , 1 } 8 5

ÖRNEK : 16 f : R  R f ( x ) = 3x – 1 için f ( 2 ) = ? b) f ( a ) =8 ise a = ? ÇÖZÜM: f ( 2 ) = 3 ( 2 ) – 1 b) f ( a ) = 3 ( a ) – 1 = 8 = 6 – 1 3 ( a ) = 8 + 1 = 5 3 a = 9 a = 3

ÖRNEK: 17 f ( x +2 ) = 3x2 - 2 f ( 0 ) + f ( 3 ) = ? ÇÖZÜM: x +2 = 0  x = - 2 x = - 2 için f ( 0 ) = 3( -2 )2 - 2  f ( 0 ) = 10 x +2 = 3  x = 1 x = 1 için f ( 3 ) = 3( 1 )2 - 2  f ( 3 ) = 1 f ( 0 ) + f ( 3 ) = 10 + 1 = 11

ÖRNEK: 18 f ( x – 1 ) = 5x2 – 4 olduğuna göre f ( 4 ) = ? ÇÖZÜM : x -1 = 4 için f ( 4 ) = 5 ( )2 – 4 x = 5 f ( 4 ) = 25 – 4 f ( 4 ) = 21

ÖRNEK: 19 f ( x + 3 ) + f ( x – 2 ) = 2x – 1 ise f ( 5 ) – f (– 5 ) = ? ÇÖZÜM: x = 2 için , f ( 5 ) + f ( 0 ) = 3 – + x = – 3 için , f ( 0 ) + f (– 5 ) = – 7 – + f ( 5 ) - f ( - 5 ) = 10

ÖRNEK: 20 f ( 2a+2 – 8 ) = 2a - 2 ise f ( x ) fonksiyonunu bulunuz. ÇÖZÜM: 2a+2 – 8 = 4.2a – 8 = 4.( 2a – 2 ) f fonksiyonu , 4 ( 2a – 2 )  ( 2a – 2 ) eşlediğine göre f ( 4x ) = x dir

ÖRNEK: 21 x2 + 1 x + 1 f ( ) = + + 1 ise f ( x ) = ? ÇÖZÜM : x2 + 1 x + 1 x + 1 x2 + 1 1 a  a İse  Buna göre 1 x f ( x ) = + x + 1 dir.

ÖRNEK: 22 f (x) = 4x – 7 fonksiyonu veriliyor. f (2x+3) fonksiyonunun f (x) cinsinden değeri nedir ? ÇÖZÜM: f (2x+3) = 4( 2x + 3 ) - 7 f (x) = 4x – 7 f (x) + 7 = 4x = 8x + 12 - 7 x = f (x) + 7 4 = 8x + 5 f (x) + 7 = 8 ( ) + 5 4 = 2f( x ) +14 + 5 = 2f( x ) + 19

olduğuna göre f ( x – 1 )’ in f ( x ) türünden 1992 ÖRNEK: 23 olduğuna göre f ( x – 1 )’ in f ( x ) türünden değeri aşağıdakilerden hangisidir ? ÇÖZÜM :  = O halde x ‘ i f ( x ) ’ e bağlı yazarsam sonuca varılır.

-  x = f ( x ).x + f ( x ) x - x f ( x ) = f ( x ) Buradan; - - - =

. . . . . . . ÖRNEK : 24 x 9 f ( x ) = 3 f ( x +1) ve f ( 5 ) 16 ise f ( 2 ) kaçtır? ÇÖZÜM: = f ( 4 ) 4 3 . f ( 5 ) 4 . 9 3 x =4 için = = 3 16 4 f ( 3 ) = 3 f ( 4 ) . 3 . 3 3 x =3 için = = 3 4 4 2 . 2 . 3 1 x =2 için f ( 2 ) = f ( 3 ) = = 3 3 4 2

FONKSİYONUN GRAFİĞİ Bir f fonksiyonunun elemanları olan ikilileri analitik düzlemde göstererek oluşturulan noktalar kümesine bu fonksiyonun grafiği denir. ÖRNEK : 25 A = {– 2 , – 1 , 1 , 2 } ve B = { 1 , 2 , 5 } kümeleri ile A dan B ye f : x  x2 + 1 fonksiyonu verilsin verilsin. f ’ nin grafiğini çiziniz. ÇÖZÜM : A = { – 2 , – 1 , 1 , 2 } tanım kümesinin elemanlarının f fonksiyonuna göre görüntüleri ; f ( – 2 ) = ( – 2 )2 + 1 = 5 f ( 2 ) = 22 + 1 = 5 f ( – 1 ) = ( – 1 )2 + 1 = 2 f ( 1 ) = 12 + 1 = 2

. f fonksiyonunun liste biçiminde yazarsak f = { ( – 2 , 5 ) , ( – 1 , 2 ) , ( 2 , 5 ) , ( 1 , 5 ) } elde edilir. Bu noktaları analitik düzlemde gösterirsek aşağıdaki grafik elde edilir. -1 . 1 2 -2 5 x y

ÖRNEK: 26 f: R  R , f ( x ) = 3x + 1 olduğuna göre f ( x ) ‘ in grafiğini çiziniz. y ÇÖZÜM . 7 Tanım kümesinin elemanlarından bazılarının görüntülerine bakalım. . 4 f ( 0 ) = 3.0 +1 = 1 f ( 1 ) = 3.1 + 1 = 4 1 f ( 2 ) = 3.2 + 1 = 7 . . . . . . . . x -2 -2 -1 -1 1 2 2 f = {…. ( 0 , 1 ) , ( 1 , 4 ) , ( 2 , 7 ) ,…. } Bu noktalar kümesi yandaki grafiği oluşturur.

f ( x ) fonksiyonunun grafiği yanda verilmiştir.Buna göre f ( 1 ) = ? ÖRNEK: 27 y f ( x ) fonksiyonunun grafiği yanda verilmiştir.Buna göre f ( 1 ) = ? 5 f ( 2 ) = ? x -2 1 2 3 f ( 0 ) = ? -1 f (-2 ) = ? ÇÖZÜM: Grafiği verilen bir f( x ) fonksiyonu için ; f( a ) , x ekseni üzerimdeki a noktasından y eksene çizilen paralelin grafiği kestiği noktanın ordinatıdır. a) f ( 1 ) = b) f ( 2 ) = -1 c) f ( 0 ) = 5 d) f ( -2 ) =

[ c , d ] : görüntü kümesi olur ÖRNEK: 28 y B A ve B kümeleri için yandaki grafiği inceleyelim. d f : A → B tanımlı ise A  R ve B  R dir. x b a A c A : tanım kümesi [ b , a ] : tanım aralığı B: değer kümesi [ c , d ] : görüntü kümesi olur

fonksiyonunun grafiği yanda verilmiştir. ÖRNEK: 29 y A  R olmak üzere f : A → R fonksiyonunun grafiği yanda verilmiştir. 4 a- Tanım aralığı yazınız. x b- Görüntü kümesini yazınız. -1 3 ÇÖZÜM: -5 a- Grafiğe göre -1< x  3 olduğundan tanım kümesi A = ( -1 , 3 ] b- Grafiğe göre -5  y  4 olduğundan görüntü kümesi : f ( A ) = [ -5 , 4 ]

Grafiği verilen f ( x ) fonksiyonu çin ÖRNEK : 30 2 3 4 - 3 -2 Grafiği verilen f ( x ) fonksiyonu çin f ( x + 2 ) = 0 eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır? ÇÖZÜM: f ( – 3 ) = 0 , f ( 2 ) = 0 , f ( 4 ) = 0 Buna göre f( x + 2 ) = 0 ise x + 2 = – 3 , x + 2 = 2 , x + 2 = 4 Buradan x = – 5 , x = 0 , x = 2 elde edilir ve bunların toplamı – 5 + 2 = - 3

UYARI : Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için y eksenine paralel doğrular çizilir.Bu paralel doğrular grafiği bir noktada keserse fonksiyondur, grafiği birden fazla noktada kesiyor ise fonksiyon değildir. ÖRNEK:31 y y y . x x x

ÖRNEK: 32 Aşağıdaki f : x→y ile tanımlı kurallardan hangisi fonksiyon değildir. A B C D E

1- BİREBİR (1:1) FONKSİYON FONKSİYON TÜRLERİ : 1- BİREBİR (1:1) FONKSİYON Tanım kümesindeki her farklı elemanın , görüntüsü de farklı ise bu tip fonksiyona bire bir ( 1:1 ) fonksiyon denir. ÖRNEK: 33 f g G F G F .1 a .a .1 .2 .2 b .b .3 .3 c .c .4 f fonksiyonu birebirdir g fonksiyonu birebir değildir.

ÖRNEK: 34 s(A) = 3 , s( B ) = 5 ise A’ dan B’ ye tanımlanabilecek bire bir fonksiyon sayısı nedir ? ÇÖZÜM: s( A ) = 3 , s( B ) = 5 olduğuna göre A’dan B’ye tanımlanabilecek 1:1 ve örten fonksiyon sayısı m! P( m ; n ) = dir. Buna göre ; ( m – n )! 5! 5.4.3.2! P( 5 ; 3 ) = = = 60 ( 5 – 3 )! 2!

UYARI : Grafiği verilen fonksiyonun 1:1 olduğunu anlamak için x eksenine paralel çizilir. Bu paraleller grafiği en fazla bir noktada kesiyor ise f birebirdir. ÖRNEK: 35 y y x x f , 1:1 fonksiyondur f , 1:1 değildir

g , fonksiyonu örten değildir 2- ÖRTEN FONKSİYON Değer kümesi ile görüntü kümesi eşit olan fonksiyona örten fonksiyon denir.( f (A) = B ) ÖRNEK: 36 g f A A B .1 .a .1 B .a .b .b .2 .2 .3 .c .3 .c .d .4 .d .4 f , örten fonksiyondur g , fonksiyonu örten değildir

k , fonksiyonu içine değildir 3- İÇİNE FONKSİYON Değer kümesi ile görüntü kümesi birbirinden farklı olan fonksiyona içine fonksiyon denir.( f (A)  B ) ÖRNEK:37 k h G F F G .a .1 .a .1 .b .b .2 .2 .c .3 .c .3 .d .4 .d .4 h , fonksiyonu içinedir k , fonksiyonu içine değildir

ÖRNEK:38 s(A) = 3 , ve A’ dan A’ ya tanımlanabilecek bire bir ve örten olmayan fonksiyon sayısı nedir ? ÇÖZÜM: s( A ) = 3 A ’ dan A ’ ya tanımlanabilecek 1:1 ve örten olmayan fonksiyon sayısı ( içine ) mm - m!. dir Buradan 33 - 3! = 27 – 6 = 21

UYARI : ÖRNEK: 39 Grafiği kesmiyor f , içinedir Grafiği verilen bir fonksiyon içine ya da örten olduğunu anlamak için x eksenine parelel doğrular çizilir.Bu parelel doğrular grafiği daima keserse örten, grafiği kesmeyen paraleller varsa f içinedir . ÖRNEK: 39 f :RR f :RR y y x x Grafiği kesmiyor f , örtendir f , içinedir

BİREBİR ÖRTEN FONKSİYON f : A  B fonksiyonu hem bire bir hem de örten fonksiyon ise bire bir örten fonksiyon denir. UYARI : f : A  B fonksiyonunun bire bir örten olabilmesi için s(A) = s(B) olmalıdır. ÖRNEK: 40 f f : A → B fonksiyonunda farklı elemanların görüntüleri de farklı ve f ( A ) = B olduğundan f fonksiyonu bire bir örten fonksiyondur. A .1 .a B .2 .b .3 .c

UYARI: s( A ) =n ve s( B ) = m olmak üzere A dan B ye tanımlanabilen bire bir ve örten fonksiyon sayısı dir. n !

Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi 1:1 ve örtendir? ÖRNEK : 41 Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi 1:1 ve örtendir? a c b o d e

BİREBİR İÇİNE FONKSİYON f : A  B fonksiyonu hem bire bir hem de içine fonksiyon ise f fonksiyonuna bire bir içine fonksiyon denir. ÖRNEK: 42 g ( A ) g g : A  B fonksiyonunda farklı elemanların görüntüleri de farklı ve g ( A )  B olduğundan f fonksiyonu bire bir içine fonksiyondur. A B .1 .a .6 .b .3 .c .4 .5

ÖRNEK : 43 Aşağıdaki şemalarla belirtilmiş fonksiyonların hangi türleri tanımladığını söyleyiniz. f g A B C D .a .k .1 .1 .b .f .2 .2 .c .r .3 .3 .d .n a) b) İçine fonksiyon Örten fonksiyon

Bire bir içine fonksiyon Bire bir örten fonksiyon g E .p F .1 F H .k .0 .2 .r .l .1 .3 .s .4 .m .2 c) d) Bire bir içine fonksiyon Bire bir örten fonksiyon h M .a N .b .1 .c .2 .d .3 .e .f e) Örten fonksiyon

5- BİRİM FONKSİYON Tanım kümesinin her elemanını kendisi ile eşleyen fonksiyona birim fonksiyon denir. ÖRNEK: 44 ÖRNEK: 45 f f : R → R , f( x ) = x fonksiyonun grafiği A B .1 .1 y x .2 .2 .3 .3 .4 .4

f :RR , f( x ) = 4 fonksiyonunun grafiği 4- SABİT FONKSİYON Tanım kümesinin bütün elemanlarını değer kümesinin yalnız bir elemanına eşleyen f fonksiyona sabit fonksiyon denir. ÖRNEK :46 ÖRNEK: 47 f f :RR , f( x ) = 4 fonksiyonunun grafiği G F .a .1 y x 4 .b .2 .c .3 .d .4

UYARI: s( A ) =n ve s( B ) = m olmak üzere A dan B ye tanımlanabilen sabit fonksiyon sayısı dir. m

Bu doğru x eksenidir SIFIR FONKSİYONU f : A  B ye y = f ( x ) fonksiyonunda , 0  B ve x  A için f ( x ) = 0 ise fonksiyona , sıfır fonksiyonu denir. Sıfır fonksiyonu sabit fonksiyondur. ÖRNEK: 48 f : R  R , f ( x ) = 0 ise f fonksiyonu , denklemi y = 0 olan doğrudur. x y Bu doğru x eksenidir

İKİ HANELİ 50 YE TAKIN SAYILARIN KARESİNİ 10 SANİYE İÇİNDE ALABİLECEK BİR YÖNTEM ÖRNEK : 49 462 = ? ÇÖZÜM: ( 50 – 46 )2 = 42 = 16 46 – 25 = 21 21 . 100 = 2100 2100 + 16 = 2116

ÖRNEK: 50 f ( x ) = ( m – 3 )x – 3 ile tanımlı f fonksiyonunun sabit fonksiyon olması için m kaç olmalıdır? ÇÖZÜM f ( x ) fonksiyonunun sabit fonksiyon olması için f x ) = c ( c sabit ) O halde m - 3 = 0  m = 3 için f fonksiyonu sabit fonksiyon olur. Yani; f ( x ) = ( 3 - 3)x – 3 = -3

ÖRNEK: 51 f :N  N , x  f ( x ) = ( m – 2 )x + 1 - n fonksiyonunun özdeşlik( birim ) fonksiyonu olduğuna göre m + n = ? ÇÖZÜM f( x ) fonksiyonunun birim fonksiyon olması için f( x ) = x olmalıdır. Buna göre ; m - 2 = 1 ve 1 – n = 0 m = 3 n = 1 olmalıdır. Buna göre m + n = 3 + 1 = 4 elde edilir.

EŞİT FONKSİYONLAR f : A  B ve g : A  B iki fonksiyon olsun. x  A için f (x) = g (x) ise f ve g fonksiyonlarına eşit fonksiyonlar denir. ÖRNEK: 52 A = { 0,3 } dan B = { 2, 83 } ye tanımlı f(x) = 3x3+ 2 ve g(x) = 9x2 + 2 fonksiyonlarının eşit olup olmadığını gösterelim. ÇÖZÜM: f (0) = 3.03 + 2 = 2 g (0) = 9.02 + 2 = 2 f (3) = 3.33 + 2 = 83 g (3) = 9.32 + 2 = 83 olduğu için f = g dir. f (0) = g (0) f (3) = g (3)

DENK KÜMELER Boş olmayan A ve B kümeleri verilsin , f : A  B bire bir ve örten bir fonksiyon ise A kümesi ile B kümesi , denk kümelerdir denir ve A  B ile gösterilir. f ÖRNEK : 53 A B A= {1 , 2 , 3 } kümesi ile B = { a , b , c } kümesinin denk kümeler olduğunu gösterelim. .1 .a .2 .b .3 .c ÇÖZÜM: f ( 1 ) = a , f ( 2 ) = b , f ( 3 ) = c olacak biçimde , f : A  B bire bir ver örten fonksiyonu tanımlanabilir.O halde A kümesi ile B kümesi birbirine denk kümelerdir ( A  B ) ve s (A ) = s ( B )

11 ve 7 dakikalık zaman dilimini ölçen iki kum saatini kullanarak 15 dakikayı nasıl ölçeriz.

f f-1 TERS FONKSİYON ÖRNEK: 54 UYARI: X DOSYASI UYARI: Ters fonksiyonun , bir f fonksiyonun yaptığı işin tersini yaptığını unutmayalım. f-1

a 1 1 a b 2 2 b c 3 3 c A dan B ye tanımlı bir f bağıntısının tersinin f -1 = { (y , x) l ( x , y )  f } biçiminde yazıldığını biliyoruz. Her fonksiyon bir bağıntı olduğundan , fonksiyonların tersinden söz edebiliriz. Bir fonksiyonun tersi , genel olarak bir bağıntıdır.Ancak bazı fonksiyonların tersleri fonksiyon olabilir. ÖRNEK: 55 f f-1 A B B A a 1 1 a b 2 2 b c 3 3 c f = { ( a ,1 ),( b , 2 ),( c , 2 ) } f-1 = { ( 1 ,a),( 2 , b ),( 2 , c) } bağıntısı içine fonksiyondur. bağıntısı fonksiyon değildir.

bağıntısı fonksiyondur. ÖRNEK: 56 f f-1 A B B A x 1 1 x y 2 2 y z 3 3 z f = { ( x ,1 ),( y , 2 ),( z , 3 ) } f-1 = { ( 1 , x ),( 2 , y ),( 3 , z ) } bağıntısı 1:1 ve öreten fonksiyondur. bağıntısı fonksiyondur. Bu örneklerden kolayca görülebileceği gibi bire bir (1:1) ve örten fonksiyonların tersi vardır.

f :A→B fonksiyonu 1:1 ve örten ise f(x)=y  f-1(y)=x dır. TANIM: f :A → B ye f : x → y = f( x ) fonksiyonu birebir ve örten fonksiyon olmak üzere , f -1 : y → x = f -1( y ) fonksiyonuna f fonksiyonunun tersi denir. UYARI: x y A B f f-1 1- f :A→B fonksiyonu 1:1 ve örten ise f(x)=y  f-1(y)=x dır. 2- ( f -1 )-1 = f

3- f ile f-1 fonksiyonlarının grafikleri y=x doğrusuna göre simetriktir. f(x) x f-1(x) y

2 a ÖRNEK: 57 x - 3 2x + 5 f ( x ) = ve f-1 ( a ) = 2 ise a = ? ÇÖZÜM: f-1 ( a ) = 2  f ( 2 ) = a dır. 2 - 3 -1 O halde f ( 2 ) = a = = 2.2 + 5 9

, , – dx + b BAZI FONKSİYONLARIN TERSLERİNİN PRATİK OLARAK BULUNUŞU x 1- f(x) = a x ise f-1 = x a ( a  0 ) 2- f(x) = x + a ise f-1 = x – a 3- f(x) = ax + b ise f-1 = x – b a , ( a  0 ) f( x ) = ax + b cx + d ise f-1( x ) = – dx + b dx – a 4- R – { - d / c }  R – {– a / c } 5- Genel olarak yukarıda ki kurallara uymayan fonksiyonların terslerini bulmak için y yerine x , x yerine y yazılarak y değeri yalnız bırakılır.

x a ) y 2x  f -1( x ) = = 2 x + 3 b ) y  f -1( x ) = 2x -3 = 2 x - 5 ÖRNEK: 58 Aşağıdaki fonksiyonların terslerini bulunuz. x a ) y 2x  f -1( x ) = = 2 x + 3 b ) y  f -1( x ) = 2x -3 = 2 x - 5 c ) y = 3x + 5  f -1( x ) = 3

-x-5 -2x - 5 d ) f ( x )  = f -1( x ) = 3x+2 3x + 1 2-3x - 5x + 2 e ) f ( x )  f -1( x ) = = -x + 3 5-x x -3x f ) f ( x )  f -1( x ) = = 3-x -x+1 3x-1 -2x-1 g ) f ( x )  f -1( x ) = = 2 -3

ÖRNEK: 59 f :R  R f ( x ) =2x - 4 ise f-1( x ) = ? ÇÖZÜM: y = f ( x ) =2x - 4 ifadesinde x ile y’ nin yerlerini değiştirelim ve y yi çekelim. y = 2x – 4 x + 4 2 x = 2y – 4  y = = f-1 ( x )

 ÖRNEK : 60 f :R  R f ( x ) =x7 – 48 ise f-1( x ) = ? ÇÖZÜM: y = f ( x ) = x7 – 48 ifadesinde x ile y ' nin yerlerini değiştirelim ve y ' yi çekelim. y = x7 – 48  x = y7 – 48 x + 48 = y7 = = = f-1( x)

ÖRNEK: 61 f: [ 2 ,  )  R , f ( x ) = x2 - 4x + 7 olduğuna göre f -1 ( x ) =? ÇÖZÜM f ( x ) = y = x2 - 4x + 7 x = y2 – 4y + 7 ; x ile y yer değişti x = y2 – 4y + 4 – 4 + 7 ; 4 eklenip 4 çıkarıldı x = ( y – 2 )2 + 3 x - 3 = ( y – 2 )2 

ÖRNEK : f :R  R , f ( x ) = f ( x ) = f -1 ( x ) olması için a ne olmalıdır? ax +1 x - 4 ÇÖZÜM: ax +1 x - 4 f ( x ) = ise f -1 ( x ) = 4x +1 x - a dir. f ( x ) = f -1 ( x ) olması için a = 4 olmalıdır. ax +1 x - 4 4x + 1 x - a =

ÖRNEK: 62 Yandaki grafiğe göre ; a ) f - 1 ( f –1 ( 4) ) = ? 5 f( x ) 4 a ) f - 1 ( f –1 ( 4) ) = ? x -5 -3 4 5 7 b) f( f (4) ) = ? -3 -5 ÇÖZÜM: a ) f - 1 ( f -1 ( 4) ) = f - 1 ( - 5 ) = 7 b ) f ( f ( 4) ) = f ( 5 ) = 0

f : R  R fonksiyonunun grafiği veriliyor. ÖRNEK : 63 -1 1 2 y x f (x) 3 f : R  R fonksiyonunun grafiği veriliyor. f ( 2 ) + f-1 ( 2 ) kaçtır ? f ( -1 ) + f-1 ( 3 ) ÇÖZÜM: Grafiği verilen bir f( x ) fonksiyonu için ; f( a ) , x ekseni üzerimdeki a noktasından y eksene çizilen paralelin grafiği kestiği noktanın ordinatıdır. y f (x) f ( 2 ) + f-1 ( 2 ) 3 + 0 3 1 = = 2 f ( -1 ) + f-1 ( 3 ) 1 + 2 1 x -1 2

ÖRNEK: 64 f ( 3x – 2 ) = x2 + 1 ise f ( x ) = ? ÇÖZÜM: 3x – 2 ’ in tersini eşitliğin sağında x yerine yazılırsa f ( x ) = = = elde edilir. =

ÖRNEK: 65 x2+3 olduğuna göre f (x) = ? f ( 2x +1 ) = 5 ÇÖZÜM: 1992 ÖRNEK: 65 f ( 2x +1 ) = olduğuna göre f (x) = ? x2+3 5 ÇÖZÜM: 2x + 1 fonksiyonunun tersi alınıp eşitliğin sağında ve solunda x yerine yazılırsa f( x ) fonksiyonu elde edilir. g-1 ( x ) = x – 1 2 g ( x ) = 2x + 1 dersek f ( x ) =

BİLEŞKE FONKSİYON ÖRNEK : 66 f g A B C gof UYARI: Biz burada , hurda demirin tek fabrikada otomobile dönüşmesine ................................ diyeceğiz. bileşke fonksiyon

ÖRNEK : 67 A = {– 2 , 0 , 2 , 4 } , B = { 0 , 4 , 16 } , C = { 1 , 3 , 9 } kümeleri ile x 2 f : A  B , f (x ) = x2 , g ( x ) = + 1 fonksiyonlarını şema ile gösterelim. ÇÖZÜM: f ( x ) = x2 f (– 2 ) = ( – 2 )2 = 4 g ( 0 ) = ( 0 / 2 ) + 1 = 1 f ( 0 ) = 02 = 0 g ( 4 ) = ( 4 / 2 ) + 1 = 3 f ( 2 ) = 22 = 4 g ( 16 ) = ( 16 / 2 ) + 1 = 9 f ( 4 ) = 42 = 16

f ve g fonksiyonları yardımı ile A kümesinin elemanları C’ nin B g C gof .1 .3 .9 .0 .4 .16 .1 .3 .9 .-2 .-2 . 0 . 0 . 2 . 2 . 4 . 4 f ve g fonksiyonları yardımı ile A kümesinin elemanları C’ nin elemanları ile eşlenmiştir. gof fonksiyonu A’ nın her elemanını C’ nin bir z elemanı ile eşlemektedir.

( g o f )( x ) = g ( f (x ) ) =g( y ) = z TANIM: f : A  B ye ve g : B  C ye fonksiyonları verilsin. f( x ) = y , g ( y ) = z olsun. g o f :  C , ( g o f ) ( x ) = z olan fonksiyona f ile g nin bileşke fonksiyonu denir ve " g o f " yazılışı " g bileşke f " diye okunur. A B C f g x y=f(x) z=g(y) f( f (4) ) = ? gof ( g o f )( x ) = g ( f (x ) ) =g( y ) = z

UYARI: Bileşke fonksiyonda uygulamanın sağdan sola doğru olduğuna dikkat ediniz. ÖRNEK : 68 f ve g , R den R ‘ ye tanımlıdır. f ( x ) = 4x – 5 ve g ( x ) = x2 +1 olduğuna göre ( f o g )( x ) ve ( g o f ) ( x ) fonksiyonlarını bulunuz. ÇÖZÜM: f ( x ) = 4x – 5 , g ( x ) = x2 +1 olduğuna göre , ( f o g ) ( x ) = f( g( x ) ) = f (x2 + 1) = 4( x2 + 1 ) – 5 = 4x2 – 1 ( g o f ) ( x ) = g( f( x ) ) = g( 4x – 5 ) = ( 4x – 5 )2 + 1 = 16x2 - 40 x + 26

{ ÖRNEK :69 f ( x ) = x +3 , g ( x ) =x2 - 2 ( f o g )( -1 ) = ? ÇÖZÜM: ( f o g )( -1 ) = f ( g ( –1 ) ) ; g ( -1 ) = ( -1 )2 - 2 = -1 { = f ( -1 ) = -1 + 3 = 2

BİLEŞKE FONKSİYONLARIN ÖZELLİKLERİ 1- f o g  g o f ; Değişme özelliği yoktur. 2- ( f o g ) o h = f o ( g o h ) ; Birleşme özelliği vardır. 3- f o f-1 = f-1 o f = ( x ) ; Birim fonksiyon 4- f o =  o f = f 5- (f o g )-1 = g-1 o f-1 6- f o g = g o f = ( x ) ise f = g-1 veya f-1 = g 7- a) f o g = h ise g = f-1 o h b) g o f = h ise f = g-1 o h

Bileşke fonksiyon özelliği ÖRNEK : 70 [ ( f o g )-1 o f ] ( x ) = 4x – 7 ise g ( 5 ) = ? ÇÖZÜM: [ ( f o g ) -1 o f ] = g -1 o f -1 o f ; Bileşke fonksiyon özelliği ; ( f -1 o f ) Bileşme özelliği = g -1 o ; = g -1 o Bilerim eleman tanımı ( x ) = g -1 x + 7 g ( x ) [ ( f o g ) -1 o f ]-1= ( g -1 ) -1 = = 4 5 + 7 g ( 5 ) = = 3 4

ÖRNEK: 71 IR den IR ye f ve g fonksiyonları veriliyor. f ( x ) = 2x + 5 , ( f o g )= 6x +1 olduğuna göre g(x ) =? ÇÖZÜM : 1. YOL ( f o g )( x ) = 6x +1  f ( g ( x ) ) = 6x + 1 2 g ( x ) + 5 = 6x + 1 2 g ( x ) = 6x - 4 g ( x ) = 3x - 2

ÇÖZÜM : 2. YOL [ ] ( x ) f -1 o ( f o g ) [ ( f -1 o f ) o g ] ( x ) = ( ) o ( ) 6x + 1 2 6x + 1 - 5 = 2 6x - 4 = = 3x - 2 2

ÖRNEK: 72 f ( x ) = 2x +3 , ( f o g )( x ) =2x – 5 ise g( x ) = ? ÇÖZÜM: ( f o g )( x ) = f ( g ( x ) ) = 2 g( x ) + 3 = 2x - 5 2 g( x ) = 2x – 5 – 3 2 g( x ) = 2x – 8 2 g( x ) = 2 ( x – 4 ) g( x ) = x – 4

g ( x ) = -x +3 , ( f o g )( x ) = - 2x -1 ise f -1( 3 ) = ? ÖRNEK : 73 g ( x ) = -x +3 , ( f o g )( x ) = - 2x -1 ise f -1( 3 ) = ? ÇÖZÜM: Tersini ( f o g )( x ) = f ( g ( x ) ) = f ( -x + 3 ) = - 2x -1 f ( x ) = - 2 ( - x + 3 ) – 1 = 2 x - 6 – 1 = 2 x - 7 x + 7 3 + 7 f ( x ) = 2 x - 7  f-1( x ) = , f-1( 3 ) = 2 2 = 5

ÖRNEK : 74 f (x) =3x + 5 ve g (x) = 3x -4 ise ( f-1og )-1 ( 2 ) =? ÇÖZÜM: ( f-1og )-1 ( 2 ) = ( g-1 o ( f-1 )-1 ) ( 2 ) = ( g-1 o f ) ( 2 ) = g-1( f ( 2 ) ) ; f ( 2 ) = 3( 2 ) + 5 =11 x + 4 = g-1( 11 ) ; g-1( x ) = 3 = 5

; Bileşke fonksiyon özelliği ÖRNEK : 75 g ( x ) = x2 – 1 ve f ( x ) = 3x - 7 ise ( g o f-1 )-1 ( x ) =? ÇÖZÜM: ( gof-1 )-1 ( x ) = [ ( f-1 )-1 o g-1 ] (x ) ; Bileşke fonksiyon özelliği = ( f o g-1 )(x ) = f ( g-1 ( x ) ) ; g-1( x ) = = f ( ) = 3 - 7

ÖRNEK:76  f (x) = 4x ise (fofo ...........of) (x) = ? 10 tane ÇÖZÜM: ( f o f ) ( x ) = 4.( 4x ) = 42 . x ( f o f o f ) ( x ) = 4.( 42. x ) = 43 . x ( f o f o f o f ) ( x ) = 4.( 43. x ) = 44 . x ........................................ ( f o f o f o f o.....o f) ( x ) = 4.( 49. x ) = 410 . x  10 tane

ÖRNEK:77 -x+1 , x < 2 f (x) = olduğuna göre ( f o f o f ) ( 2 ) = ? -5x+7 , x  2 ÇÖZÜM: ( f o f o f ) ( 2 ) = f ( f ( f ( 2 ) ) ) ; f ( 2 ) = -5.2 +7 = -10 + 7 = -3 = f ( f ( -3 ) ) ; f (-3 ) = - ( -3 ) +1 = 3 +1 = 4 = f ( 4 ) ; f ( 4 ) = - 5.4 +7 = -20 +7 = -13 = -13

ÖRNEK: 78 f ( x ) = ax + b , g ( x ) = 3x - 1 fonksiyonları veriliyor. ( f o g ) =( g o f ) ( x ) olması için a ve b arasındaki bağıntı ne olmalıdır. ÇÖZÜM : ( f o g ) =( g o f ) ( x ) = olması halinde eşitlik sağlanır. x O halde f o f-1 =  ( x ) = x olduğundan g-1( x ) = f ( x ) olmalıdır. Buradan x + 1 1 f ( x ) = = ax + b  a = b = 3 3

PERMÜTASYON FONKSİYON Tanım: A  A tanımlanan birebir ve örten her fonksiyona permütasyon fonksiyon denir. s(A) = n ise n! kadar permütasyon fonksiyon vardır. ÖRNEK: 79 A={1,2 ,3 ,4 } , f : A  A f = {(1,3) , ( 2 ,1) , ( 3,4 ) ,(4,2)} fonksiyonu permütasyon fonksiyondur ve Tanım Kümesi 1234 3142 şeklinde gösterilir. f = Değer Kümesi

f fonksiyonunda 2 , 4 ile eşlendiğinden ÖRNEK : 80 A ={1,2,3,4 } kümesinde tanımlı f ve g fonksiyonları 1 2 3 4 3 4 2 1 1 2 3 4 4 3 1 2 f = g ise = a ) f ( 2 ) = ? b ) g ( 3 ) = ? c ) f fonksiyonunun tersini yazınız. d ) g fonksiyonunun tersini yazınız. ÇÖZÜM: 1 2 3 4 3 4 2 1 a ) f = f fonksiyonunda 2 , 4 ile eşlendiğinden f ( 2 ) = 4

g fonksiyonunda 3 , 1 ile eşlendiğinden g( 3 ) = 1 1 2 3 4 3 4 2 1 1 2 3 4 4 3 1 2 f = g = 1 2 3 4 4 3 1 2 b ) g = g fonksiyonunda 3 , 1 ile eşlendiğinden g( 3 ) = 1 1 2 3 4 1 2 3 4 f-1 = g-1 = c ) d ) 4 3 1 2 3 4 2 1

ÖRNEK : 81 A ={a, b , c , d } kümesinde tanımlı f ve g fonksiyonları f = a b c d c a b d g d c a b ise ( f o g ) = ? ÇÖZÜM: ( f o g ) = o a b c d c a b d a b c d d c a b ; d b a c a c = a b c d b c b d b c a a d d

( f-1 o g )-1 = g-1 o ( f -1 )-1 g-1 o f = o ÖRNEK: 82 A = { 1 , 2 , 3 , 4 } kümesinde tanımlı f ve g fonksiyonları f = 1 2 3 4 2 1 4 3 g 3 1 2 4 ise ( f -1 o g ) -1 = ? ve ÇÖZÜM: ( f-1 o g )-1 = g-1 o ( f -1 )-1 g-1 o f = 1 2 3 4 2 3 1 4 1 2 3 4 2 1 4 3 = o 1 2 3 4 3 2 4 1 =

ÇİFT FONKSİYON VE TEK FONKSİYON : f : R  R fonksiyonunda 1- x  R için f ( - x ) = f ( x ) ise f ye çift fonksiyon denir. 2- x  R için f ( - x ) = - f ( x ) ise f ye tek fonksiyon denir. UYARI: Çift fonksiyonların grafikleri y eksenine göre tek fonksiyonların grafikleri ise orijine göre simetriktir.

olduğu için g tek fonksiyondur ÖRNEK : 83 f( x ) = x2 + 3 , g( x ) = x3 + x , h( x ) = x3 + x2 fonksiyonlarının tek veya çift olup olmadığını araştıralım. ÇÖZÜM: f( -x ) = (-x)2 + 3 = x2 + 3 = f( x ) olduğu için f çift fonksiyondur. g( -x ) = ( -x )3 + ( -x ) = -x3 - ( x ) = - (x3+ x) = - g(x) olduğu için g tek fonksiyondur

h( -x ) = (- x )3 + ( -x )2 = -x3 + x2 h( – x ) , h( x )’ e ya da – h( x )’ e eşit olmadığından dolayı , h ne çift ne de tek fonksiyondur.

FONKSİYONLARLA YAPILAN İŞLEMLER f : A  R , g : B  R fonksiyonları için A ∩ B   olsun. 1) f + g : A ∩ B  R ( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x ) 2) f – g : A ∩ B  R ( f – g ) ( x ) = f ( x ) – g ( x ) 3) f . g : A ∩ B  R ( f . g ) ( x ) = f ( x ) . g( x )

: A ∩ B  R 4)  x  ( A ∩ B ) için g(x) ≠ 0 olmak üzere, ( ) ( x ) = 5) c  R olmak üzere c . f : A  R ( c . f ) ( x ) = c . f ( x )

ÖRNEK: 84 f : { 1 , 3 }  R , f ( x ) = x2 +2 g : { – 2 , 1 }  R , g ( x ) = 2x – 1 fonksiyonları veriliyor. Buna göre 2f + g ) fonksiyonunun görüntü kümesini bulunuz. ÇÖZÜM : 2f + g fonksiyonu { 1, 3 } ∩ { – 2 , 1} = { 1 } kümesinden R’ ye tanımlıdır. Buna göre ; ( 2f + g ) ( 1 ) = 2 f (1 ) + g ( 1 ) = 2 (12 +2 ) + (2.1 – 1 ) = 6 + 1 = 7

= – 10 1 = = – 10 olduğuna göre ÖRNEK: 85 g ( x ) = – x + 4 , f ( x ) = x2 + 3 , h ( x ) = x3 – 1 olduğuna göre ÇÖZÜM : h ( – 2 ) – f (– 2 ) + g (– 2 ) – 9 – 7 + 6 = h ( – 1 ) . g (– 1 ) (– 2 ) . 5 – 10 = 1 = – 10

ÖRNEK: 86 f = { ( 1 , 4 ) , ( 2 , 5 ) , ( 3 , 6 ) } g = { ( 2 , 8 ) , ( 3 , 7 ) , ( 4 , 9 ) ,( 5 , 1 ) } fonksiyonları veriliyor.Buna göre ; a ) 2f b ) f + g neye eşittir. ÇÖZÜM : 1 , 4 , 5 tanım kümelerinde ortak eleman olmadığından onlar için dört işlem tanımlı değildir. a ) 2f = { ( 1 , 2.4 ) , ( 2 , 2.5 ) , ( 3 ,2.6 ) } = { ( 1 , 8 ) , ( 2 , 10 ) , ( 3 , 12 ) } b ) f + g = { ( 2 , 5+8 ) , ( 3 ,6+7 ) } = { ( 2 , 13 ) , ( 3 , 13 ) }

BİR FONKSİYONUN EN GENİŞ TANIM KÜMESİ 1 – f ( x ) = anxn + an-1xn-1 +.....................+ a2x2 + a1x1 + a0x0 nN , an , an-1 , ...... a2 , a1 , a0 R biçimindeki fonksiyonlara polinom fonksiyonlar denir. Bu fonksiyonların en geniş tanım kümesi ( aralığı ) Reel sayılardır ( lR ) ÖRNEK: 87 f ( x ) = x4 + 7x3 - 8x2 + 3 polinom fonksiyonunun en geniş tanım kümesi reel sayılar ( R ) dır

O halde tanım aralığı lR – { 2 } dir. 2– f ( x ) ve g ( x ) polinom fonksiyonu olmak üzere h( x )= f ( x ) / g ( x ) biçiminde ki ifadelere rasyonel ifadeler denir ve g ( x) = 0 yapan x değerleri varsa h ( x ) ’ in bir fonksiyon olması için bu değerler tanım kümesinden çıkarılmalıdır. ÖRNEK: 88 g ( x ) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz. = x2 + 4 x – 2 ÇÖZÜM: g ( x )’ in paydasını sıfır yapan değer x – 2 = 0  x = 2 dir. O halde tanım aralığı lR – { 2 } dir.

 ÖRNEK: 89 3 f : A  B tanımlanan f ( x ) fonksiyonunun tanım = ve değer kümesini bulunuz. = x - 5 ÇÖZÜM: f ( x ) fonksiyonunun tanım kümesi , paydayı sıfır yapan x değerlerinin kümesinin reel sayılar kümesinden çıkarılmış halidir.  x-5 = 0 x = 5 olup f ( x ) fonksiyonunun tanım kümesi , IR – { 5 }

3 f : A  B tanımlanan f ( x ) fonksiyonunun tanım ve değer kümesini bulunuz. = x - 5 f ( x ) fonksiyonunun değer kümesi , f ( x ) fonksiyonunu tersinin tanım kümesidir. 5x + 3 f ( x )’ in tersi f -1( x ) dir. = x Bu f -1( x ) fonksiyonunun tanım kümesi , paydayı sıfır yapan x değerlerinin kümesinin reel sayılardan çıkarılmış halidir. x = 0 Yani , IR – { 0 } O halde f ( x ) fonksiyonunun değer kümesi , IR – { 0 }

3 – f ( x) = ( n Z+ ve n > 1 ) biçimindeki ifadelere köklü fonksiyonlar denir. a- n tek ise f ( x ) in en geniş tanım aralığı R dir. ÖRNEK: 90 f ( x ) = fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz. ÇÖZÜM : Kök indeksi 9 ( Tek ) olduğundan f ( x ) in en geniş tanım aralığı R dir.

b- n çift ve g(x) < 0 ise f(x) , R de tanımlı olamaz o halde f(x) ’ in R ’ de tanımlı olabilmesi için g(x)  0 olmalıdır. ÖRNEK: 91 g ( x ) = fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz. ÇÖZÜM : x +9  0 ve x  - 9 Çünkü kök derecesi 4 Çift sayıdır. En geniş tanım aralığı [ - 9 ,  ) dur.

ALIŞTIRMALAR

ALIŞTIRMA : 1 f : N  N , f (x) = x – 10 g : Z  Z , g (x) = (x+1) / 2 h : R  R , h (x) = x2 bağıntılarının hangileri fonksiyondur? ÇÖZÜM: f fonksiyon değildir.Çünkü 2N olmasına rağmen f ( 2 ) = 2 – 10 = – 8 N dir.( yani 2 nin görüntüsü yoktur.) g fonksiyon değildir.Çünkü tanım kümesindeki çift sayıların görüntüleri değer kümesinde yoktur. g ( 10 ) =(10+1) / 2 = ( 11 / 2 )  Z dir. h : R  R bir fonksiyondur . Çünkü her bir reel sayıya karşı bir reel sayı karşılık gelmektedir.

ALIŞTIRMA : 2 { 1 , 2 , 3 } kümesinden { 10 , 11 , 12 , }kümesine aşağıdaki fonksiyonlar tanımlanıyor.Bu fonksiyonlardan hangisinin ters fonksiyonu vardır? a) { ( 1 , 11 ) , ( 2 , 10 ) , ( 3 , 12 ) } b) { ( 1 , 12 ) , ( 2 , 11 ) , ( 3 , 11 ) } c) { ( 1 , 10 ) , ( 2 , 10 ) , ( 3 , 10 ) } d) { ( 1 , 10 ) , ( 2 , 10 ) , ( 3 , 11 ) } e) { ( 1 , 12 ) , ( 2 , 11 ) , ( 3 , 12 ) } ÇÖZÜM: Bire bir ve örten fonksiyonların tersi olacağından , doğru cevap A şıkkıdır.

ALIŞTIRMA : 3 1998 Bir fonksiyonu , " Her bir pozitif tam sayı kendi ile çarpımsal tersinin toplamına götürüyor.“şeklinde tanımlanmıştır.Bu fonksiyon aşağıdakilerden hangisi ile gösterilebilir? x2 + x x A) f ( x ) = B) f ( x ) = x - 1 x2 - 1 x x2 - 1 C) f ( x ) = D) f ( x ) = x2 + 1 x x2 + 1 E) f ( x ) = x

f fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre 1 4n – 2 = 0  4n = 2  n = ALIŞTIRMA : 4 f : R → R , f ( x ) = ( 4n - 2 )x + 2n + 3 fonksiyonu sabit fonksiyondur.Buna göre f ‘ nin kuralını bularak grafiğini çiziniz. ÇÖZÜM: f fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre 1 4n – 2 = 0  4n = 2  n = f(x)=4 2 Buna göre ; 4 f ( x ) = 4

( x ) birim fonksiyon olmak üzere ALIŞTIRMA : 5 ( x ) birim fonksiyon olmak üzere 3x – 1 f ( x ) = , ( g o f ) ( x ) =  ( x ) dir. 5 2 Buna göre g( ) = ? 5 ÇÖZÜM: = g ( ) 3x – 1 5 ( g o f ) ( x ) = g ( f ( x ) ) = x ;  ( x ) = x – 5x – 1 – 3 3x + 1 g ( x ) = = 5 3.2 + 1 2 5 = g ( ) = 5

f (x) =x2 –x+1 olduğuna göre , f (1 – x ) – f ( x ) = ? ALIŞTIRMA : 6 1999 f (x) =x2 –x+1 olduğuna göre , f (1 – x ) – f ( x ) = ? ÇÖZÜM: f (x) = x2 –x+1 = ( x – 1 )2 + x f ( 1 - x ) = ( 1 – x – 1 )2 + 1 – x ( – x )2 + 1 – x = x2 + 1 – x = f ( 1 – x ) – f ( x ) = x2 + 1 – x – ( x2 –x + 1 ) x2 + 1 – x – x2 + x – 1 = =

f(x) = x3 – 3x2 + 3x -1 olduğuna göre f (x+1) değeri nedir ? ALIŞTIRMA : 7 1998 f(x) = x3 – 3x2 + 3x -1 olduğuna göre f (x+1) değeri nedir ? ÇÖZÜM: f ( x ) = x3 – 3x2 + 3x -1 = ( x - 1 )3 f ( x ) = ( x - 1 )3 f ( x + 1) = ( x + 1 - 1 )3 f ( x + 1) = x3

f : lR– { –1 }  lR – { 3 } , olduğuna göre f (x) = ? x = 3 – f ( x ) ALIŞTIRMA : 8 1997 f ( x ) + 2 f : lR– { –1 }  lR – { 3 } , olduğuna göre f (x) = ? x = 3 – f ( x ) ÇÖZÜM: x = f ( x ) + 2 3 - f ( x )  x.( 3 – f ( x ) ) = f ( x ) + 2 3x – x f ( x ) = f ( x ) + 2 3x – 2 = f ( x ) + x f ( x ) 3x – 2 = f ( x )( 1 + x ) f ( x ) = 3x – 2 x + 1 f -1( x ) = x – 3 – x – 2 

ALIŞTIRMA : 9 1987 f ( 2x +3 ) = 3x + 2 , olduğuna göre f ( 0 ) = ? ÇÖZÜM: = x – 3 2 2x + 3 = 0 için f ( x ) = 2x = – 3 – 9 2 = x – 3 2 = + 2 = – 5 2

ALIŞTIRMA : 10 1997 f :R  R f ( x ) = 2x + 1 – f ( x +1 ) ve f ( 4 )= 2 olduğuna göre f ( 2 )’ nin değeri nedir ? ÇÖZÜM:  x =2 için f ( 2 ) = 4 +1 – f ( 3 ) = 4 +1 – 5 = 0 f ( 2 ) = 0  x =3 için f ( 3 ) = 6 +1 – f ( 4 ) 6 + 1 – 2 = 5 f ( 3 ) = 5 =

( f o g-1 o f ) ( 0 ) = f ( g-1 ( f ( 0 ) ) ) ALIŞTIRMA : 11 2000 f(x) g (x) = x3 ve f ( x ) fonksiyonunun grafiği yanda verilmiştir.Buna göre ( f o g-1 o f ) ( 0 ) =? 2 4 8 g(x) ÇÖZÜM: ( f o g-1 o f ) ( 0 ) = f ( g-1 ( f ( 0 ) ) ) = f ( g-1 ( 8 ) ) ; g-1( 8 ) = 2 ????? = f ( 2 ) = 0

Grafikteki bilgilere göre , 1998 ALIŞTIRMA : 12 Grafikteki bilgilere göre , -2 1 2 3 4 y x g ( x ) f ( x ) ÇÖZÜM: -1

  ( f o f ) ( x ) = 4 f ( f ( x ) ) = 4 f ( x ) = 0 f ( x ) = 0 ALIŞTIRMA : 13 y x -4 4 3 y = f ( x ) fonksiyonunun grafiği yanda verilmiştir. ( f o f ) ( x ) = 4 şartını sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır? ÇÖZÜM:   ( f o f ) ( x ) = 4 f ( f ( x ) ) = 4 f ( x ) = 0 f ( x ) = 0 x 1 = – 4 x 2 = 3 x 3 = 4 Σx = 3 x = – 4 x = 3 x = 4

 ALIŞTIRMA : 14 IR - {1} de tanımlanan f (x) = fonksiyonunun değer 1998 IR - {1} de tanımlanan f (x) = fonksiyonunun değer kümesi aşağıdakilerden hangisidir ? 2x – 1 x – 1 A) IR B) IR - {3} C) IR - {2} D) IR - {1} E) IR - {0} ÇÖZÜM: f ( x ) fonksiyonunun değer kümesi , f ( x ) fonksiyonunu tersinin tanım kümesidir. = x – 1 x – 2 f ( x )’ in tersi f -1( x ) Bu f -1( x ) fonksiyonunun tanım kümesi , paydayı sıfır yapan x değerlerinin kümesidir.  x-2 = 0 x = 2 Yani , IR – { 2 } O halde f ( x ) fonksiyonunun değer kümesi , IR – { 2 }

Yanda grafiği verilen fonksiyonun tanım kümesi nedir? ALIŞTIRMA : 15 y x ( - 2 , 3 ) ( 4 , 13 ) Yanda grafiği verilen fonksiyonun tanım kümesi nedir? ÇÖZÜM: Grafiğe göre -2  x  4 olduğundan tanım kümesi Tanım kümesi [ -2 , 4 ]

fonksiyonunun en geniş tanım aralığını bulunuz. ALIŞTIRMA : 16 1991 fonksiyonunun en geniş tanım aralığını bulunuz. ÇÖZÜM: =  0 olmalıdır. x + 1 = 0  x = -1 Bu eşitsizliğin kökleri x = 0 x -1 Tanım aralığı IR- [ -1 , 0 ] dir. _ + + Eşitlik olmasına rağmen x = 0 ve x = -1 niçin tanım aralığında çıkarıldı ?

A) 3f(x) B) 3[f(x)]2 C) 2f(x) D) 2[f(x)]2 E) 2[f(x)]3 ÇÖZÜM: ALIŞTIRMA : 17 1990 f ( x ) = 23x-1 olduğuna göre f (2x)’ in f( x ) cinsinden ifadesini bulunuz. A) 3f(x) B) 3[f(x)]2 C) 2f(x) D) 2[f(x)]2 E) 2[f(x)]3 ÇÖZÜM: f (2x) = 23.(2x)-1 = (23x)2 . f (x)= 23x-1 23x 2f(x) = 23x  = 2 = (2f(x))2 . =4.(f(x))2. = 2 [ f ( x ) ]2

= ALIŞTIRMA : 18 x x2 + 1 ( f o g ) ( x ) = ve f ( x ) = x +1 1989 x x2 + 1 ( f o g ) ( x ) = ve f ( x ) = x +1 olduğuna göre g ( x ) = ? ÇÖZÜM: ( f o g )( x ) = f ( g ( x ) ) x x2 + 1 = = g ( x ) + 1 x x2 + 1 – 1 g ( x ) = x – x2 -1 – x2 + x – 1 g ( x ) = = x2 + 1 x2 + 1

f ( ) = ise en uygun koşullar altında f (x) =? x - 2 x +1 ALIŞTIRMA : 19 1989 x +1 x - 2 f ( ) = ise en uygun koşullar altında f (x) =? x - 2 x +1 ÇÖZÜM: x +1 x - 2 1 1 u dersek dur. Yani ; f(u)= dur. = = u x - 2 x +1 u 1 O halde f ( x ) = dir. x

ALIŞTIRMA : 20 x x2 + 1 ( f o g ) ( x ) = ve g ( x ) = x +1 1988 x x2 + 1 ( f o g ) ( x ) = ve g ( x ) = x +1 olduğuna göre f ( x ) = ? ÇÖZÜM: Tersini x x2 + 1 ( f o g )( x ) = f ( g ( x ) ) = f ( x + 1 ) = x – 1 x – 1 x – 1 f ( x ) = = = ( x – 1 )2 + 1 x2 – 2x + 1 + 1 x2 – 2x + 2

ALIŞTIRMA : 21 1987 f ( x ) doğrusal fonksiyonu için f ( 2 ) =3 , f ( 3 ) = 2 olduğuna göre f ( 1 ) =? ÇÖZÜM : f ( x ) doğrusal fonksiyon olduğuna göre , f ( x ) = ax + b şeklindedir. x = 2 için f ( 2 ) = 2a + b 3 = 2( -1) + b  5 = b x = 3 için f ( 3 ) = 3a + b O halde f ( x ) = -x + 5 dir 3 = 2a + b Buradan f ( 1 ) = -1 + 5 = 4 olur. - - 2 = 3a + b - 1 = -a a = -1

ALIŞTIRMA : 22 f ( ) = ise f (5 ) =? x - 5 2x - 1 -2x + 3 x + 1 ÇÖZÜM: x = 0 için f ( 5 ) = -2( 0 ) + 3 = 3 0 + 1

f :R  R , f ( x ) = biçiminde verilen bir fonksiyondur. ALIŞTIRMA : 23 1981 -2x x + a f :R  R , f ( x ) = biçiminde verilen bir fonksiyondur. f ( x ) = f -1 ( x ) olması için a ne olmalıdır? ÇÖZÜM: -2x x + a -ax f ( x ) = ise dir. f -1( x ) = x +2 f ( x ) = f -1 ( x ) olması için ( ) a = 2 olmalıdır. -2x x + a -ax x +2 =

ALIŞTIRMA : 24 f2 ( x ) – 6 f (x ) + 9 = x2 + 2x +1 olduğuna göre f( x ) fonksiyonunu bulunuz. ÇÖZÜM : f2 ( x ) – 6 f (x ) + 9 = x2 + 2x +1 ( f (x ) – 3 )2 = ( x + 1 )2 f (x ) – 3 = x + 1) f (x ) = x + 4

ALIŞTIRMA : 25 f ( x3 – 3x2 – 5 ) = 3x3 – 9x2 + 7 ise f-1( x ) aşağıdakilerden hangisidir? a ) x – 5 b ) 3x + 7 c ) 3x – 7 d ) ( x + 3 ) / 22 e ) ( x – 22 ) / 3 ÇÖZÜM :  x3 – 3x2 – 5 3.( x3 – 3x2 – 5 ) + 22 = 3x3 – 9x2 – 15 + 22 = 3x3 – 9x2 + 7 O halde f ( x ) = 3x + 22 dir. Buradan x – 22 f-1( x ) = 3

Savaş sırasında Genel Kurmay Başkanlığından yüzbaşıya şöyle bir emir geldi : " 214 numaralı tepenin eteğinde 120 erinizi , her sırada 11 er olacak şekilde 12 sıra yapın ve sizin her sıradan eşit uzaklıkta olmanız gerekmektedir. " Bu emir yapılabilir mi ?

ALIŞTIRMA 26 : 3 kişinin katıldığı bir sınav , başarı yönünden kaç farklı biçimde sonuçlanabilir ? ÇÖZÜM Sınava katılan 3 kişi A tanım kümesini , sınav sonucuda B kümesini oluştursun. . f A dan B ye 23 tane fonksiyon tanımlandığına göre sınav 8 farklı biçimde sonuçlanabilir. . . Başarılı . . Başarısız

ALIŞTIRMA : 27 , , 2x + 1 x > 2 ise 1 - 2x x > 0 ise , f ( x ) = x - 1 0 < x  2 ise g( x ) = , , 3 x  0 ise 2 - x x  0 ise ( f + g ) ( x ) fonksiyonunu bulunuz. ÇÖZÜM ( 2x + 1 ) + (1 - 2x ) , x > 2 ise ( f + g )( x ) = ( x – 1 ) + ( 1 - 2x ) , 0 < x  2 ise 3 + ( 2 – x ) , x  0 ise

ALIŞTIRMA:28 f ( x ) = x3 + x + m şeklinde tanımlanan f fonksiyonunun ters ( f-1 ) fonksiyonuna ait grafik ( 4 , -1 ) noktasından geçtiğine göre m kaçtır ? ÇÖZÜM ( 4 , – 1 )  f-1 ( – 1 , 4 )  f   f( – 1 ) = 4  f( – 1 ) = (– 1 )3 – 1 + m = 4  – 1 – 1 + m = 4  – 2 + m = 4  m = 4 + 2 = 6