MATEMATİKTE TARİHSEL EPİSTEMOLOJİ VE ÖĞRENCİLERİN KAVRAMSAL GELİŞİMLERİ ARASINDAKİ İLİŞKİLER ÜZERİNE Yazarlar: Kajsa Brating- Johanna Pejlare Hazırlayan: Tuğçem EROĞLU

Matematik tarihi, matematik eğitimi alanındaki araştırmalarda farklı yollarla değerlendirilmiştir. birincil tarihsel kaynaklarla öğrenme ve öğretmede matematik öğreniminde motivasyon faktörü olarak teorik çerçevenin oluşumunda eğitim materyali olarak ve bir öğretim yaklaşımı uygulamada evrimsel bir argüman olarak

Ernst Haeckel Rekapitülasyon Teorisi Birey oluş,soy oluşun tekrarıdır. Ernst Haeckel Psikolojideki versiyonuna göre, geçmişte olanların kısa bir versiyonunu içeren entelektüel gelişmeleri sunduğu varsayılır. Bu, öğrencinin kavramsal anlayışı gelişirken, kavramın (matematiksel bir kavram) tarihsel gelişim yinelemesine işaret eder.

Otto Toeplitz Lev Vygotsky Henri Poincare Felix Kleinda Eğitimcilerin görevi, çocukların babalarının gittiği yoldan gitmelerini sağlamaktır. Henri Poincare Formal argümanlar yerine keşfe giden yol daha önemlidir. Felix Kleinda Otto Toeplitz Didaktik araç olarak tarihi kullanan matematik öğretiminde bir genetik yöntemi savundu. Özellikle, matematik tarihini aktif olarak yansıtan öğretmen anlayışını ve öğrencilere bunun özünü ileten öğretmenleri dikkate aldı. Jean Piaget ve Rolando Garcia Tarihsel ve psikolojik gelişmeler paraleldir. Rekapitülasyona itiraz etmişlerdir. Lev Vygotsky Kültürün epistemolojik rolünü vurgulayarak, rekapitülasyon problemini ele aldı.

1) Farklı kavramsal çerçeveleri dikkate almama problemi Matematiğin tarihsel epistemolojisi, matematikte öğrencilerin kavramsal gelişmelerine paralellik gösterdiğinde ortaya çıkabilecek üç temel problem; 1) Farklı kavramsal çerçeveleri dikkate almama problemi 2) Üstü örtük bir Platonik bakış açısı varsayma problemi 3) Bilişsel seviyelerdeki farklılıkları dikkate almama problemi

Grattan-Guiness Miras yaklaşımı Tarih yaklaşımı MATEMATİK MİRASINA KARŞI TARİH Grattan-Guiness Tarih yaklaşımı Miras yaklaşımı Grattan-Guiness “Geçmişte ne oldu?” ve “ Geçmişte ne olmadı?” sorularıyla tarihe eğilir. İlgili soruları yanıtlarken “neden?” ile açıklamaları verir ve açıklamaya çalışır. Tarih yaklaşımı tarihsel nosyon ve görünüşte benzer olan daha modern nosyonlar arasındaki farkları dikkate alır. Miras, daha sonraki çalışmaların üzerindeki belirli bir matematiksel nosyonun etkisi anlamına gelir. Ana odak genellikle çalışılan nosyonun modern şeklidir. Grattan-Guiness şöyle özetler; “miras, ” biz buraya nasıl geldik” sorusunu ele alır ve genellikle cevabı ” bana özel yol” gibi okur.

işlevsel (süreçler ve algoritmalar) yapısal (soyut nesneler gibi) 1. FARKLI KAVRAMSAL ÇERÇEVELERİ DİKKATE ALMAMA SORUNU Matematiksel bir kavramın tarihsel gelişimi ve öğrencilerin aynı kavramı anlamasıyla karşılaştırılma yapılmasındaki problem, farklı zaman periyotlarında farklı kavramsal çerçeveler üzerine dayandırılan kavramlar olmasıdır. Piaget tarafından başlatılan “gelişimsel değişmezler” in düşüncesini taşıyan, Sfard matematiksel kavramların tarihsel gelişimi ve öğrencilerin kavram anlayışının gelişimi arasında paralel bir inanca dayanan teorik bir çerçeve geliştirdi. Sfard Matematiksel tanımların ve tarihsel ve psikolojik açıdan temsillerin bir analizine baktığında, birçok kavramın temelinde iki farklı şekilde formüle edilebilir olduğu sonucuna varmıştır. işlevsel (süreçler ve algoritmalar) yapısal (soyut nesneler gibi)

Sfard Sfard, işlevsel ve yapısal kavramların tamamlayıcı ya da” aynı madalyonun arka ve ön yüzleri” olduğunu ve hem süreç hem nesnel olarak bir kavramın derin anlayışını kazanmak için vazgeçilmez olduğunu iddia eder. Ayrıca “reification” olarak bilinen soyut nesnelere sayısal işlemlerden geçiş, “bir ontolojik değişme” olarak tanımlanır ve Sfard’a göre bu, tarihsel gelişimin yanı sıra bireyin kavram oluşumunda zor bir süreçtir.

Değişken miktarın bir fonksiyonu, değişken miktar ve sayıların veya sabitlerin bir şeklide oluşturulmuş analitik ifadesidir. 1748 EULER Grattan-Guiness’in miras yaklaşımı açısından ele alırsak, modern fonksiyon kavramının bir işlevsel anlayışı olarak bunu yorumlayabiliriz.. Sfard’ a göre, Euler’in analitik tabiri, cebirsel işlemlere bağlıydı ve bu nedenle işlevsel olarak yorumlanabilir. Ama bu tarihsel yaklaşımla karıştırılmamalıdır: Euler ne modern alandan çok farklı bir fonksiyon kavramına ulaştı, ne de bunu formüle etmek için uğraştı. O kavramsal çerçevesi dâhilinde, zamanın matematik problemleriyle başa çıkmak için uygun olan bir fonksiyon kavramını formüle etmiştir

Eğer önceki değiştirildiğinde sonraki değişikliğe uğruyorsa, bu miktarlar birbirine bağlıdır ve önceki miktarlara sonrakinin fonksiyonu denir. Bunlar geniş bir yapıya sahiptir ve bir miktarın diğerleri tarafından tespit edilebilir olmasını sağlayan bir yöntemi içerir. Bu nedenle, x ifadesi değişken bir miktarı ifade eder, daha sonrakiler herhangi bir şekilde x bağlıdır veya bunun tarafından belirlenir. Tüm miktarlar bunun fonksiyonları olarak adlandırılır. EULER 1755 reification (yeni bir objeyi elde etme) Sfard bu tanımın, 1748’deki tanımdan daha net bir şekilde işlevsel çıktığını iddia eder. Ona göre, bir kavramın yapılandırılmasında kullanılan aşamalar : interiorization (aynı objeler arasındaki işlemleri kavrama) condensation ( bu işlemlerin başka objelere dönüşümü kavrama)

Tarihsel gelişim ile öğrencilerin kavramsal anlayışlarını karşılaştırmayı içeren çalışmalarda odak genellikle belirli bir kavramla sınırlıdır ve diğer kavramlar dikkate alınmamıştır. Bir kavramsal çerçeveye dâhil olan bir kavrama, tarihsel bir bakış açısıyla bakıldığında önemli olanın kavramın kendi doğru tarihsel bağlamı açısından dikkate alınması gerektiğini savunuluyor. 2)ÜSTÜ KAPALI OLARAK PLATONİK BİR BAKIŞ AÇISI ÜSTLENME SORUNU Matematik, bizden bağımsız olarak var olan soyut yapılarla ilgili gerçekliklerden, bu gerçeklikleri kuran mantıksal savlardan, bu savların altında yatan yapılanmalardan, bu savları ve gerçeklikleri sergileyen simgelerin biçimsel kullanımlarından oluşur. Platonik Bakış Açısı Platonik bakış açısı, öğretmenler tarafından öğretim yollarını biçimlendirme ve öğrencilerin matematikte yeniden keşfetmelerini sağlama açısından kabul edilebilir bir bakış açısıdır.

Geçmiş matematikçilerin kavramları bizim modern kavramlarımıza mümkün olduğunca yakın hale getirmeğe çabaladığı ihtimalinin olmadığı görülüyor Radford, matematik tarihinin bir üstü kapalı olarak altında apriorist Platonik epistemoloji yatan bölümlerden oluşan bir hikâye olarak sunulduğunu savunur. Bagni ve Radford Bir matematiksel kavramın tarihsel gelişimi ister istemez benzersiz olmadığından, modern tanıma ulaşmada tek bir özel bir yol yoktur. Geçmişte matematikçilerin son "hedefleri" olarak, uğraştıkları matematiksel kavramların modern tanımlarını görmek için bir eğilimleri olduğu gözüküyor. Yani, bugün üniversite derslerinde öğrettiğimiz matematiksel tanımlar, matematikçilerin son olarak keşfettiği “doğru” tanımlar olarak görülüyor

3) BİLİŞŞEL SEVİYE FARKLILIKLARININ DİKKATE ALINMAMASI SORUNU Newton, Leibniz veya Euler ile bugünün bir öğrencisini karşılaştırmak haksızlıktır; öğrencileri geçmişteki ünlü matematikçilerle karşılaştırırken farklı bilişsel seviyelerde olduklarını varsaymak zorundayız. Tarihi matematikçiler matematiksel kavramları ” en alttan” geliştirdi, onlar hedeflerine ulaşmak için en iyi yolu seçti ve çoğu durumda doğru tanımlanmış kavramları kullandı. Onların tanımının daha sonra uygun olmadığı ortaya çıktığında bunu düzelttiler ve yeniden formüle ettiler. Ama bu öğrencilerin kavramsal anlayışlarıyla geçmişteki ünlü matematikçilerinki karşılaştırarak sonuçlar çıkarabileceğimiz anlamına gelmez. Tarihsel bağlamı göz önüne almadan bir miras anlayışı ile matematiksel kavramların tarihsel gelişimini düşünürsek, Sfard tarafından önerilenlerle paralel olduğunu kabul edebiliriz. Tarihsel kavramın modern bir yorumuyla öğrencilerin modern kavramı anlayışlarını karşılaştırabiliriz.

1)NEGATİF SAYILAR VE TARİHSEL GELİŞİMİ ALTERNATİF TARİHSEL GELİŞMELER VE ALTERNATİF TEORİK ÇERÇEVELER 1)NEGATİF SAYILAR VE TARİHSEL GELİŞİMİ Jiuzhang Suanshu Çin’de Liu Hui Matematiksel sanatın 9 bölümü, (MS 2. yüzyıl) Pisa Leonardo Batı Avrupa’da “Liber abici” Girolamo Cardano “Ars Magna” Michael Stifel “Arithmetica Integra” John Wallis “Treatise of Algebra”

2)STANDART-DIŞI ANALİZ Standart-dışı analiz bugün üniversite derslerinde matematikte kullanılan normal analiz için alternatif bir teoridir. Klasik standart-dışı analiz Robinson ile ilişkilidir; ama Schmieden ve Laugwitz tarafından geliştirilen daha sezgisel alternatif bir yol daha vardır. Matematiksel kuramları standart-dışı analizle diğer teorik çerçeveler içinde tanımlamada alternatif yollar vardır. Standart analizden matematiksel fenomenlerin “daha iyi” tanımları vardır.

SONUÇ Matematiğin tarihsel gelişimi, uygun bağlamda ele alındığında dünyada tekdüze değildir, ancak bu genellikle üstü kapalı olarak anlaşılır. Bir kavramın gelişimi dünyanın farklı bölgelerinde farklı olabilir ve toplumun ihtiyaçları ve kültürel düşüncelerin gelişimine bağlı olarak farklı zaman dilimlerinde gelişebilir. Bugün kullandığımız kavramlar Platonik bir bakış açısından olsalar bile, sadece mümkün olan tek “doğru” kavramlar değildir Ortalama bir öğrencinin büyük tarihsel matematikçilere göre daha düşük bilişsel seviyede olduğunu kabul etmeliyiz. Matematik tarihi kullanmanın matematik öğretme ve öğrenmedeki önemli bir rol oynayabilir.