-MOMENT -KÜTLE VE AĞIRLIK MERKEZİ Değirmendere Hacı Halit Erkut Anadolu Lisesi -MOMENT -KÜTLE VE AĞIRLIK MERKEZİ Hazırlayan : Şehriye IŞIK

MOMENT: Kuvvetin bir cismi, bir eksen veya bir nokta etrafında döndürme etkisine moment adı verilir. Moment vektörel bir büyüklüktür ve M ile gösterilir. -Kuvvet dönme noktasına veya eksenine ne kadar uzaksa moment o kadar büyüktür. Yani moment kuvvetin sabit noktaya olan uzaklığına bağlıdır ve doğru orantılıdır. -Moment, dönme noktasına olan uzaklığın kuvvetin dik bileşeniyle de doğru orantılıdır. M=F.d.sin α denklemi ile hesaplanır.

Uygulanan F kuvveti O’dan geçen eksene göre dik ise, moment en büyük değerdedir.

Kuvvet eksenle α açısı yapacak şekilde ise momentini kuvvetin dik bileşeni etkiler.

Kuvvet O noktasından geçen eksene 180 derecelik açıyla etki ederse, çubuğu döndüremez,ancak çubuğu itmeye çalışır. Bu nedenle momenti sıfırdır.

Kuvvet O noktasından( Uygulama noktasından) etki ederse çubuğu döndüremez. Momenti sıfırdır.

Kuvvet çubukla birlikte 180 derecelik açı yaparsa çubuğu yine döndüremez, ancak çubuğu çekmeye çalışır. Momenti sıfırdır.

DENGE Hareketsiz yani durmakta olan, sabit hızla hareketli cisimlere kuvvet etki eder. Ancak etki eden kuvvetlerin bileşkesi veya sabit bir noktaya göre momentlerinin bileşkesi sıfır olduğundan cisim varolan hareket durumunu sürdürür. Bu durum aynı zamanda dinamiğin 1. yasası olan eylemsizlik ilkesiyle de açıklanabilir. Bu duruma denge adı verilir. Kısaca dengede olan bir cisim için iki şart geçerlidir:

Dengenin Şartları Cisme etki eden kuvvetlerin bir noktaya göre momentlerinin bileşkesi sıfırdır. Cisme etki eden kuvvetlerin bileşkesi sıfırdır.

Örnekler: 1.                                                             Çözüm:  M=F.d.sin 53=10.8.0,8=64 N.m

Örnek Çözüm: Kuvvetlerin saat yönüne göre dönme etkileri şekildeki gibidir. (Saat yönü + alınmıştır.) Buna göre: M= 10.5. sin 37+5.4-10.4.sin 30  M= 10. 5. 0,6+ 5. 4- 10. 4. 0,5 M= 30+20-20=30 N.m olur. Yanıt B’dir.

örnek Çözüm: Sorunun çözümü kuvvetlerin bileşkesinin sıfır olmasıyla yapılır. Buna göre cisme etki eden  F= 20 N’luk kuvveti dengeleyen kuvvet ipteki T gerilmesinin yatay bileşeni olan Tx dir.   F=Tx         20= T.cos 60        20= T.0,5      T=40 N bulunur.

Örnek Çözüm:  4F kuvveti 2 yönünde,Fve 3F kuvvetleri ise 1 yönünde döndürür. Saat yönü olan 1 yönü + seçilip O’ya göre moment alınırsa; M= -4F.2r + 3F.2r + F.r =-F.r bulunur.     Bu da 2 yönünde F.r’lik moment demektir.       Yanıt D’dir

KÜTLE VE AĞIRLIK MERKEZİ -Bileşkenin uygulama noktası cismin ağırlık merkezidir. -Bileşkenin bir noktaya göre momenti bileşenlerin aynı noktaya göre momentlerinin toplamına eşittir.

1- Geometrik Olmayan Cisimlerin Ağırlık Merkezi Xkm = m1 . X1 + m2 . X2 + . . . m1 + m2 + . . . Ykm = m1 . Y1 + m2 . y2 + . . . m1 + m2 + . . .

Örnek: Şekildeki sistemin ağırlık merkezinin X ve Y koordinatları nedir ?

Ağırlık merkezinin koordinatı : A ( 5 , 4 ) Çözüm : Xkm = m1 . X1 + m2 . X2 + m3 . X3 + m4 . X4 m1 + m2 + m3 + m4 = 5. 10 + 3. 8 + 2. 0 + 4. ( - 1 ) = 70 / 14 = 5 5 + 3 + 2 + 4 Ykm = m1 . Y1 + m2 . Y2 + m3 . Y3 + m4 . Y4 = 5. 8 + 3. 0 + 2. ( - 4 ) + 4. 6 = 56 / 14 = 4 Ağırlık merkezinin koordinatı : A ( 5 , 4 ) Not : İki cisimden oluşan bir sistemin ağırlık merkezi bu cisimlerin ağırlık merkezlerini birleştiren doğru üzerindedir. ( Ağırlığı fazla olana daha yakın olur. ) Not : Sıcaklığı artan cismin hacmi artar , öz kütlesi azalır , kütlesi değişmez ve ağırlığı değişmez.

Levhalar ( Alanlı Cisimler ) İki boyutlu sistemlerde cisimler aynı maddeden yapılmış ve kalınlıkları aynı ise ağırlık yerine alanları alınabilir. Ör : Daire levha gibi. (Aynı maddeden yapılmamış ise öz kütleleri ile de çarpılır. ) Şekillerde bazı geometrik biçimli levhaların alanları ve kütle merkezi verilmiştir.

Katı Cisimler ( Hacimli Cisimler , Üç Boyutlu Cisimler ) Üç boyutlu sistemlerde cisimler aynı maddeden yapılmış ve kalınlıkları aynı ise ağırlık yerine hacimleri alınabilir. (Aynı maddeden yapılmamış ise öz kütleleri ile de çarpılır. ) ( İçleri boş ise yüzeyleri alınır. )

Parça Ekleme Bir cisme başka bir cisim eklenirse paralel ve aynı yönlü iki kuvvetin bileşkesinin uygulama noktası gibi düşünülerek veya ikiden fazla paralel kuvvetin bileşkesi gibi düşünülerek moment alınıp işlem yapılır (sistemin ağırlık merkezi ) bulunur. Örnek : Aynı maddeden yapılmış homojen aynı kalınlıkta kare ve daire şeklindeki levhalardan oluşan sistemin ağırlık merkezi O1 noktasından ne kadar uzaktadır ? ( π = 3 )

Çözüm : 1. Yol : ( Paralel ve aynı yönlü iki kuvvetin bileşkesi gibi ) G1 = 14. 14 = 196 G2 = π . r2 = 3. 72 = 147 G1 . X = G2 . Y 196. X = 147 . ( 14 – X ) 4X = 3. ( 14 – X ) 7X = 42 X = 6 cm 2. Yol : ( Moment ile ) { Saat yönü ( – ) , tersi yönü (+ ) alalım. } ve { + y eksenindeki kuvvetler (+) , – y yönündeki kuvvetleri de ( – ) alalım } O1 noktasına göre moment alınırsa :

- İpe Asılı Cisimler Bir cismi ağırlık merkezi dışındaki bir noktadan serbestçe dönme hareketi yapacak şekilde asarsak cismin ağırlık merkezi asılan noktadan çizilen düşey doğru üzerindedir.

şöyledir : X > Y > Z ÖRNEK: X , Y , Z metallerinin boyca genleşme katsayılarının büyükten küçüğe doğru sıralanışı şöyledir : X > Y > Z X-Y , Z-X , Y-Z kürelerinden oluşan sistemler t sıcaklığında şekildeki gibi dengededir. Şekil-1 deki cisimlerin sıcaklıkları t kadar azaltılıp , Şekil-2 ve Şekil-3 teki cisimlerin sıcaklıkları t kadar artırılırsa sistemlerin ağırlık merkezleri hangi taraflara gider ? Soru 27 :

Çözüm : Şekil-1 deki cisimlerin sıcaklıkları azaltıldığı için X küresinin yarıçapı Y küresininkinden daha çok kısalır. Şekil-1 de ağırlık merkezi sağa doğru yer değiştirir. Şekil-2 ve Şekil-3 teki cisimlerin sıcaklıkları artırıldığı için genleşme kat sayısı büyük olanın yarıçapı daha çok artar. Dolayısıyla ağırlık merkezleri Şekil-2 de sağa doğru, Şekil-3 te ise sola doğru yer değiştirir. Şekil-1 Şekil-2 Şekil-3 Ağırlık Merkezi Sağa Sola

Bilinçli dinlediğiniz ve not aldığınız için teşekkürler. Şehriye IŞIK