İstatistik I

Öğrencilerin okuma hızı (dakika olarak) Ham veri 2, 6, 1, 7, 5, 4, 3, 3, 7, 5, 5, 3, 4, 2, 6, 4, 4, 6, 4, 5, 4, 4, 5, 2, 3 Sıralanmış veri 7, 7, 6, 6, 6, 5, 5, 5, 5, 5, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 1

Ölçüm Frekans (f) Toplamlı frekans (tf) Yüzde (%) Toplamlı yüzde (t%) 7 2 25 8 100 6 3 23 12 92 5 20 80 4 15 28 60 16 32 1

Bir grup öğrencinin başarı testi puanları 09 35 33 57 56 51 75 87 98 78 77 65 67 63 61 68 43 41 48 23 25 11 17 10 21 29 27 26 34 31 52 55 53 58 76 71 79 72 73 93 83 86 84 88 20 22 44 45 49 42 30 37 38 39 40 69 60 66 64 59 54

Verilerin Gruplandırılması Grup sayısının belirlenmesi: Puanlarının tümünün gösterimi zor olduğu durumlarda puanlar grup şeklinde verilir. Kaç tane grubun olacağına uygulayıcı karar verir. Grup aralık katsayısının belirlenmesi: Puanların gruplandırılacağı aralığın genişliğini, grup aralık katsayısı belirler. En yüksek puandan en düşük puan çıkarılarak tercih edilen grup sayısına bölünür. 98-9/10= 8,9 ˜ 9 Puanların gerçek puan aralıklarının belirlenmesi: Puanların sürekli hale getirilmesi için tam sayılarla tanımlanan değerlerde her grubun başlangıç noktasının 0,5 altına, bitim noktasının 0,5 puan üstüne doğru genişletilmesi ile elde edilir.

Başarı testi puanlarına ait gruplandırılmış frekans dağılımı Puan aralığı f % Orta nokta Gerçek sınırlar Toplamalı f Toplamalı % 90-98 2 94 89.5-98.5 100 81-89 6 85 80.5-89.5 98 72-80 9 76 71.5-80.5 92 63-71 12 67 62.5-71.5 83 54-62 17 58 53.5-62.5 71 45-53 13 49 44.5-53.5 54 36-44 15 40 35.5-44.5 41 27-35 14 31 26.5-35.5 26 18-26 8 22 17.5-26.5 09-17 4 08.5-17.5

Frekans Dağılımlarının Betimlenmesi Merkezi Eğilim Ölçüleri Ortalama Mod Medyan (Ortanca) Değişkenlik Ölçüleri Ranj Standart sapma Varyans

___________________________ Ortalama Gruplandırılmamış Veriler Ʃ X ___________________________ N Aritmetik Ortalama Puanlar toplamı Eleman sayısı = =

_________________________ 104 _________________________ 25 Ölçüm Frekans (f) fx 7 2 14 6 3 18 5 25 4 28 12 1 n=25 ∑fx=104 = = 4,16

Aritmetik Ortalama = N Ʃf * X = Gruplandırılmış Veriler Toplam frekans x Puan aralığı orta noktası Eleman sayısı = Ʃf * X _____________________________________________________________ N o =

Puan aralığı f Orta nokta fX0 90-98 2 94 188 81-89 6 85 510 72-80 9 76 684 63-71 12 67 804 54-62 17 58 986 45-53 13 49 637 36-44 15 40 600 27-35 14 31 434 18-26 8 22 176 09-17 4 52 ∑ 5071

5071 100 50,71 = =

Aritmetik ortalamayı hesaplayınız.   (10+12)/2=11 (13+15)/2=14 (16+18)/2=17 (19+21)/2=20 (22+24)/2=23

AĞIRLIKLI ORTALAMA Puanların ortalamaya olan katkılarına farklı ağırlıklar verilerek hesaplanan ortalamaya denir.  

Bu öğrencinin ağırlıklı ortalaması kaçtır? Ders Kredi Not Fizik 4 Kimya 3 Biyoloji 5 Matematik Edebiyat Bu öğrencinin ağırlıklı ortalaması kaçtır?

Ders Kredi Not Kredi x Not Fizik 4 16 Kimya 3 12 Biyoloji 5 15 Matematik 20 Edebiyat  

) . değer ) . değer Ortanca - Medyan Ortanca Ortn Ortn = Sıradaki ( 2 ) . değer 3, 4, 8, 5, 6 3, 4, 5, 6, 8 = Sıradaki ( ) . değer Ortn 5 + 1 2 Ortn 3, 4, 5, 6, 8 = Sıradaki 3. değer

) . değer Ortanca - Medyan Ortn Ortn = Sıradaki ( 1, 2, 3, 5, 7, 8 Veri Sayısı Çift 3, 5, 2, 1, 8, 7 1, 2, 3, 5, 7, 8 = Sıradaki ( 6 + 1 2 ) . değer Ortn 1, 2, 3, 5, 7, 8 Ortn = Sıradaki 3,5. değer Ortn = 4

Ortanca= L + ( 𝑛 2 −𝑡𝑓𝑎 𝑓𝑏 ) a Gruplandırılmış Verilerde Ortanca Ortanca= L + ( 𝑛 2 −𝑡𝑓𝑎 𝑓𝑏 ) a L: n/2. frekansın rast geldiği aralığın gerçek alt sınırı tfa: bu aralığa kadar olan toplamlı frekans fb: bu aralığa karşılık gelen frekans A: Grup aralık katsayısı

Ortanca - Medyan ) ( . a Gruplandırılmış Veriler Puanlar f N/2 – f f Ortn = L + a 57 - 59 54 - 56 51 - 53 48 – 50 45 - 47 42 - 44 39 – 41 36 - 38 33 – 36 30 – 32 27 – 29 24 – 26 21 – 23 18 – 20 15 - 17 1 2 5 10 8 6 4 ortn L = Ortancanın bulunmuş olduğu aralığın alt sınırı f = Alt sınırın altındaki frekans toplamı f = Ortancanın bulunmuş olduğu aralığın frekansı yf = Yığılmalı frekans a = Aralık katsayısı a ortn 23 ƩN= 52

Ortanca - Medyan ( ) ( ) ( ) Puanlar f . a . 3 . 3 Gruplandırılmış Veriler Puanlar f ( N/2 – f f ) . a Ortn = As + a 57 - 59 54 - 56 51 - 53 48 – 50 45 - 47 42 - 44 39 – 41 36 - 38 33 – 35 30 – 32 27 – 29 24 – 26 21 – 23 18 – 20 15 - 17 1 2 5 10 8 6 4 ortn ( 52/2 – 23 5 ) . 3 Ortn = 32,5 + 3 5 ( ) . 3 Ortn = 32,5 + Ortn = 34,3 ƩN= 52

= = n 25 2 12,5 2 Ölçüm Frekans (f) fx Toplamlı f(tf) 7 2 14 25 6 3 18 23 5 20 4 28 15 12 8 1 n=25 ∑fx=104 İlk toplamlı frekans 15 Buna karşılık gelen puan 4 L=3,5 tfa= 8 fb=7 a=1 Ortanca= L + ( 𝑛 2 −𝑡𝑓𝑎 𝑓𝑏 ) a = 3,5 + ( (12,5)−8 7 ) 1 = 4,14

Puan aralığı f Orta nokta fX0 X20 fX20 Xı fXı (Xı2) f(Xı2) tf 90-98 2 94 188 8836 17672 9 18 81 162 100 81-89 6 85 510 7225 43350 8 48 64 384 98 72-80 76 684 5776 51984 7 63 49 441 92 63-71 12 67 804 4489 53868 72 36 432 83 54-62 17 58 986 3364 57188 5 25 425 71 45-53 13 637 2401 31213 4 52 16 208 54 36-44 15 40 600 1600 24000 3 45 135 41 27-35 14 31 434 961 13454 28 56 26 18-26 22 176 484 3872 1 09-17 169 676 ∑ 5071 297277 419 2251

= = 100 2 𝑛 2 50 İlk toplamlı frekans 54 Buna karşılık gelen puan aralığı 45-53 L=44,5 tf= 41 fb=13 a=9 Ortanca= L + ( 𝑛 2 −𝑡𝑓𝑎 𝑓𝑏 ) a = 44,5 + ( (50)−41 13 ) 9 = 50,73

Mod – Tepe Değer * Bir dağılımda frekansı en fazla olan değerdir. Gruplandırılmamış Veriler 4, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 8, 10 Mod = 6

Mod – Tepe Değer Puanlar f Gerçek Mod = 3 - 2 Ortn Gruplandırılmış Veriler Puanlar f Mod Aralığı = 36 – 38 Kaba Mod = 37 57 - 59 54 - 56 51 - 53 48 – 50 45 - 47 42 - 44 39 – 41 36 - 38 33 – 36 30 – 32 27 – 29 24 – 26 21 – 23 18 – 20 15 - 17 1 2 5 10 8 6 4 Gerçek Mod = 3 - 2 Ortn 36 – 38 10 = 34,52 Ortn = 34,3 Gerçek Mod = 3*34,52 - 2*34,3 Gerçek Mod = 34,96 ƩN= 52

Ardışık iki ölçüm birbirine eşit sayıda ve öteki ölçümlerden daha çok tekrarlanmışsa bu gibi durumlarda mod ardışık iki ölçümün orta noktası olur. 31, 31, 32, 32, 32, 33, 33, 33, 33, 34, 34, 34, 34, 35, 36, 36 Mod= (33+34)/2= 33,5 Bir puan dağılımında ardışık olmayan iki ya da daha çok ölçüm eşit sayıda ve öteki ölçümlerden daha çok tekrarlanırsa, bu ölçümlerin hepsi mod sayılır ve dizinin çift ya da çok modlu olduğunu gösterir. 21,21,22,22,22,23,23,23,23,24,25,25,25 ,25,26 Mod= 23 ve 25’tir.

Mod=13-15 olduğu için 14’tür.

Yüzdelik Yy= L + ( 𝑦𝑛 100 −𝑡𝑓𝑎 𝑓𝑏 ) a Yüzdelik, ölçümlerin istenen bir yüzdesinin kendisinden aşağıda kaldığı değeri gösterir. Örneğin; 40. yüzdelik denildiğinde ölçümlerin %40’ını altında %60’ını üstünde bulunduran noktanın değeri anlaşılmaktadır. Yy= L + ( 𝑦𝑛 100 −𝑡𝑓𝑎 𝑓𝑏 ) a

Puan aralığı f Orta nokta 90-98 2 94 81-89 6 85 72-80 9 76 63-71 12 67 54-62 17 58 45-53 13 49 36-44 15 40 27-35 14 31 18-26 8 22 09-17 4 ∑

Gruplandırılmış verilerin 45.yüzdeliği; 𝑦𝑛 100 = (45)(100) 100 =45 𝑏𝑢 𝑑𝑒ğ𝑒𝑟𝑖𝑛 𝑘𝑎𝑝𝑠𝑎𝑑𝚤ğ𝚤 𝑖𝑙𝑘 𝑡𝑜𝑝𝑙𝑎𝑚𝑙𝚤 𝑓𝑟𝑒𝑘𝑎𝑛𝑠 54 𝑣𝑒 𝑏𝑢𝑛𝑎 𝑘𝑎𝑟ş𝚤𝑙𝚤𝑘 𝑔𝑒𝑙𝑒𝑛 𝑝𝑢𝑎𝑛 𝑎𝑟𝑎𝑙𝚤ğ𝚤 45− 53 ′ 𝑡ü𝑟. L= 44,5 tfa= 41 fb= 13 a=9 Y45= 44,5 + ( 45−41 13 ) 9 = 47,27

MERKEZİ YAYILMA ÖLÇÜLERİ * Genişlik (Ranj) * Çeyrek Sapma * Standart Sapma * Varyans

Genişlik (Ranj) * G = X - X G = 57 - 17 = 40 Puanların hangi aralıkta değiştiğini gösteren en basit merkezi dağılım ölçüsüdür. * Genişlik (Ranj) = En Yüksek Puan - En Düşük Puan * G = X - X EY ED G = 57 - 17 = 40 * Genişlikle ilgili hesaplamalar tam sağlıklı değildir. * Uçlardan biri veya ikisi değişirse, sonucu fazlasıyla etkiler. * Fazla hassas bir ölçümü yoktur.

Gruplandırılmış Verilerde Ranjın Hesaplanması Puan aralığı f 30-34 5 25-29 7 20-24 9 15-19 3 10-14 2 Yukarıdaki puan dağılımının ranjı kaçtır? A) 12 B) 17 C) 20 D) 24 E) 32

Puan aralığı f X (ORTA NOKTA) 30-34 5 32 25-29 7 27 20-24 9 22 15-19 3 17 10-14 2 12 Dağılımın Ranjı = 32-12=20

Ranj, kolay hesaplanmasıyla bir avantaj sağlar, tamamen uçta yer alan puanlara dayalı hesaplandığı için hatalı yorum yapmaya açık bir dağılım ölçüsüdür. Örnek 1: 5, 20, 35, 45, 50, 55, 55, 70, 95, 100 ranj= 100-5=95 Örnek 2: 5, 60, 65, 65, 65, 70, 70, 70, 75, 100 ranj= 100-5=95 Örnek 1= puanlar Heterojen Örnek 2= puanlar Homojen

Çeyrek Sapma Puanların değişkenliğinin bir ölçüsü olan ranjın uç değerlerden etkilenmesi kısıtlılığını gideren bir ölçüdür. Çeyrek sapma, %75. puan ile %25. puan arasındaki farkın yarısı hesaplanarak elde edilir. Öncelikle puanlar küçükten büyüğe sıralanır. Sıralanan puanlar dört parçaya ayrılır. İlk çeyrek ve son çeyrek atıldıktan sonra geriye kalan puanların en yükseğinden en düşüğü çıkarılarak ikiye bölünür. Elde edilen değer çeyrek sapmayı verir. Q= (Q3-Q2)/2

Gruplar Grup aralığı Gerçek grup aralığı Grup orta noktası f tf 1. Grup 15-22 14,5-22,5 18,5 2 2. Grup 23-30 22,5-30,5 26,5 3 5 3. Grup 31-38 30,5-38,5 34,5 10 4. Grup 39-46 38,5-46,5 42,5 9 19 5. Grup 47-54 46,5-54,5 50,5 11 30 6. Grup 55-62 54,5-62,5 58,5 7 37 7. Grup 63-70 62,5-70,5 66,5 8 45 8. Grup 71-78 70,5-79,5 74,5 4 49 9. Grup 79-87 79,5-87,5 82,5 1 50

Çeyrek Sapma  

Gruplar Grup aralığı Gerçek grup aralığı Grup orta noktası f tf 15-22 14,5-22,5 18,5 2 2. Grup 23-30 22,5-30,5 26,5 3 5 3. Grup 31-38 30,5-38,5 34,5 10 4. Grup 39-46 38,5-46,5 42,5 9 19 5. Grup 47-54 46,5-54,5 50,5 11 30 6. Grup 55-62 54,5-62,5 58,5 7 37 7. Grup 63-70 62,5-70,5 66,5 8 45 8. Grup 71-78 70,5-78,5 74,5 4 49 9. Grup 79-86 78,5-86,5 82,5 1 50  

Çeyrek Sapma Çeyrek sapma hesaplanırken, ilk çeyrek ve son çeyrek hesaplamaya katılmadığı için çeyrek sapmanın ranjda olduğu gibi puanların uç değerlerinden etkilenmesi durumu ortadan kalkar. Ancak bu kez de puanların yarısı göz önüne alınmamaktadır. Çeyrek sapma da ranj gibi standart bir değer olmayıp yorumlanması güçtür. Bu nedenle her ikisine göre daha yaygın kullanılan standart sapma ve varyans değeridir.

Standart Sapma En çok tercih edilen merkezi dağılım ölçüsüdür. Puanların aritmetik ortalamadan farklılıklarının (uzaklıklarının) standart değerini verir. Puanların farklılığı arttıkça standart sapma değeri artar, puanların farklılığı azaldıkça (benzerlik arttıkça) standart sapma değeri azalır.

Standart Sapma

Öğrenciler Ham Puan 1 4 4-6= -2 2 8 8-6= 2 3 6 6-6= 0 3-6= -3 9 5 7 3-6= -3 9 5 7 5-6= -1 10 10-6= 4 16 Toplam 60 50 Ortalama 60/10=6  

= 13,77 X (puanlar) f X-ort (x-ort)2 f(x-ort)2 40 3 -25 625 1825 45 4 -20 400 1600 55 6 -10 100 600 60 10 -5 25 250 70 5 150 75 8 800 80 15 225 675 85 20 1200 90 2 1250 Toplam 8350 = 13,77

Gruplandırılmış verilerde standart sapma Puan aralığı f X (ORTA NOKTA) (X- ) (x- )2 f(x- )2 30-34 5 32 10 100 500 25-29 7 27 25 175 20-24 9 22 15-19 3 17 -5 75 10-14 2 12 -10 200 ftop=26 =22 950 = 38

Standart sapma büyük ise; Testin uygulandığı grup heterojendir. Öğrenciler arasındaki farklılaşma fazladır. Standart sapma büyük olduğu için grubun puanları birbirinden uzaklaşır. Dağılım geniş bir alana yayıldığı için basık bir görünüm alır. Uygulanmış olan testin ayırt ediciliği yüksektir.

Standart sapma küçük ise; Testin uygulandığı grup homojendir. Öğrenciler arasındaki farklılaşma azdır. Standart sapma küçük olduğu için grubun puanları birbirine yaklaşır. Dağılım küçük bir alana sıkıştığı için sivri bir görünüm alır. Uygulanmış olan testin ayırt ediciliği düşüktür.

Varyans  

Varyans ve Standart Sapma Varyans ve standart sapma büyüdükçe, ölçme işleminin duyarlı olduğu, bireyler arasındaki farkların görülebildiği dolayısıyla ölçmelerin güvenilir olduğu kabul edilir. Örneğin aynı değişkeni ölçen, soru sayısı ve puan birim aynı olan iki test aynı gruba uygulandığında iki test için elde edilen puanlardan varyansı ve standart sapması büyük olan puanların daha güvenilir olacağı düşünülebilir.

DAĞILIM EĞRİLERİ Normal Dağılım Sola Çarpık Dağılım Sağa Çarpık Dağılım

DAĞILIM EĞRİLERİ Ortn Mod Normal Dağılım = Medyan= Mod

Normal (Simetrik) Dağılım Ortalamaya eşit uzaklıktaki puanların frekansları birbirine eşittir. Puanların yarısı aritmetik ortalamanın altında, yarısı üstündedir. Dağılım eğrisi üzerindeki noktalar düşey eksene göre simetriktir.

DAĞILIM EĞRİLERİ Ortn Mod Sola Çarpık Dağılım < Medyan< Mod

Sola Çarpık Dağılım Sola çarpık dağılımlara, ortalamanın çok altında kalan puanlar ortalamayı sayı doğrusu üzerinde negatif yöne doğru (sola) çektiği için negatif kayışlı da denir. Puanların yarıdan fazlası aritmetik ortalamanın üzerinde toplanır. Bu nedenle dağılım yüksek puanlarda, yani sağa doğru yığılma gösterir.

Sola Çarpık Dağılım Negatif kayışlıdır. Öğrenme yeterlidir. Test öğrencilere kolay gelmiştir. Öğrencilerin başarıları yüksektir. Öğrencilerin öğrenme düzeyi yüksektir. Öğrencilerin çoğu hedef davranışı kazanmıştır

DAĞILIM EĞRİLERİ Mod Ortn Sağa Çarpık Dağılım > Medyan> Mod

Test öğrencilere zor gelmiştir. Sağa Çarpık Dağılım Puanların yarısından fazlası aritmetik ortalamanın altında kalır. Bu nedenle dağılım düşük puanlarda, yani sola doğru yığılma gösterir. Pozitif kayışlıdır. Öğrenme yetersizdir. Test öğrencilere zor gelmiştir.

Bağıl Değişkenlik Katsayısı  

Bağıl Değişkenlik Katsayısı 20< V< 25 ise puanlar normal dağılım göstermektedir. V<20 ise puanların homojen, birbirine benzer olduğunu, puanlar arasındaki farklılığının az olduğunu gösterir ki bu durumda normale göre daha sivri bir dağılıma sahip olacaktır. V>25 ise puanların heterojen, birbirinden farklı olduğunu, puanlar arasındaki farklılığın fazla olduğunu gösterir ki bu durumda puanlar normale göre daha basık bir dağılıma sahip olacaktır.

Çarpıklık Katsayısı 3 ( Ortalama - Ortanca) Çarpıklık Değeri = Standart Sapma Çarpıklık Değeri = Çarpıklık katsayısının +1 ve -1 arasında olması puanların normalden aşırı bir sapma göstermediği, normale yakın bir dağılım gösterdiği şeklinde yorumlanır. Çarpıklık katsayısı (-) ise dağılım sola, (+) ise dağılım sağa çarpıktır.

Basıklık Katsayısı   3 - Basıklık Katsayısı =

Basıklık Katsayısı Dağılım sivri ise grup homojen (puanlar benzer), basık ise heterojen (puanlar farkı) dir.

DAĞILIM EĞRİLERİ Sivri Basık Normal

Olasılık ve Standart Puanlar Standart normal dağılım Standart puanlar

Olasılık Olasılık, bir deneme sonrasında ilgilenilen olayın tüm olaylar içinde ortaya çıkma ya da gözlenme oranı olarak tanımlanabilir. Başka bir ifadeyle herhangi bir şeyin gerçekleşme şansı, yani bir olaya hangi sıklıkla rastlanabileceğinin ya da bir olayın olabilirlik derecesinin ölçüsüdür. Girolama Cardono (1501-1576) ve Galilei (1564-1642) Blasie Pascal (1623-1662) ve Pierre Fermat (1601-1665) Herhangi bir olayın gerçekleşme olasılığının hesaplanması, buna ilişkin olarak geliştirilen bir kurama dayanır. Olasılık, denemelerin olası sonuçları ile ilgilenen bu kuramı anlatır.

Havaya bir madeni para atacak olursanız yazı ya da tura gelebilir Havaya bir madeni para atacak olursanız yazı ya da tura gelebilir. Her ikisi için de şans eşittir; burada iki eşit olasılık vardır; bunlardan biri tura gelme olasılığıdır ve bu olasılık 1/2'dir. Tek bir zar atıldığında, gelebilecek altı sayı vardır. Altı, bu sayılardan yalnızca biridir ve ilk atışta gelme olasılığı 1/6'dır.

İstatistikte sonuçları olan hemen her şey bir deney konusu olabilir İstatistikte sonuçları olan hemen her şey bir deney konusu olabilir. Mümkün olan tüm sonuçları açıklayabileceğimiz bir deney random (yansız) bir deney olarak isimlendirilir. Sonuçlar: Bir deney yapıldığında elde edilen çıktıların her birine denir. Herhangi bir deneyin mümkün olan tüm sonuçlarının dağılımına ya da oluşturduğu gruba örneklem uzayı denir. Örneklem uzayı “S” ile gösterilir ve genellikle random deney sonucunda ortaya çıkan sonuçlar { } şekli içinde gösterilir. Örnek: Bir zarın atılmasıyla ortaya çıkabilecek sonuçları gösteren örneklem uzayı; S= {1,2,3,4,5,6} Olay : Örneklem uzayının her bir alt kümesidir ve bir harf ile gösterilir. Örnek 1 : A ={Y} ise A olayı paranın yazı gelmesidir.

F ={T} ise A U F (A birleşim F) paranın yazı ya da tura gelmesi olayıdır. A∩F ise A ile F’ nin kesişimi, hem A’da hem de F’de olan olayları kapsar. Örnek 2 : A = {1,3,5} ve F = {1,2,3} ise A∩F = {1,3} yani A∩F olayı 1 ya da 3 gelirse gerçekleşir.

S= {(1,3), (2,2), (3,1)}, bileşik olay. Örnek: S’nin alt seti, atılan iki zarın toplamının 2 olduğu olay S’nin alt seti, atılan iki zarın toplamının 4 olduğu olay A ile tanımlandığına göre her durum için A’yı listeleyiniz ve olayın türünü yazınız. Çözüm: S={1,1}, basit olay S= {(1,3), (2,2), (3,1)}, bileşik olay.

Deney Sonuçlar Örneklem uzayı - S Madeni para atışı Yazı, tura S={ yazı, tura } Zar atışı 1,2,3,4,5,6 S={ 1,2,3,4,5,6 } İki para atışı YY, YT, TY, TT S={ YY, YT, TY, TT } Test Doğru, Yanlış S={ Doğru, Yanlış } Bir kitap seçimi Roman, inceleme S={ Roman, inceleme } Bir gün seçimi Hafta içi, hafta sonu S={ Hafta içi, hafta sonu }

Bu tanıma göre, Gerçekleşmesi kesin olan olaylarda P(A)=1’dir Bu tanıma göre, Gerçekleşmesi kesin olan olaylarda P(A)=1’dir. Bu olaylara kesin olay denir. Gerçekleşmesi mümkün olmayan olaylara da P(A)=0’dır. Bu olaya imkansız olaylardır. Örneğin, balığın ağaca çıkması gibi.

Herhangi bir olayın olmama olasılığı: P'(A) = 1 - P(A) Örnek: S=(M,A,R,M,A,R,A) ise çekilen bir harfin A olma olasılığı P(A)=3/7 çekilen bir harfin A olmama olasılığı P(A')=1-3/7=4/7 dir.

Örnek: Bir deste kağıttan a) bir kupa seçme olasılığı P (A) b) bir as çekme olasılığı P(B) nedir? Çözüm: a) P (A)= 13/52=0.25 b) P (B) = 4/52= 0.08

Örnekler Tek zar atma deneyinde sonucun 2’den büyük çıkması olasılığı nedir? İki parayı birlikte atma deneyinde bir yazı gelmesi olasılığı nedir?

Bileşik Olaylar ve Olasılık Teorileri

İki Olayın Birleşimi Zar atma deneyinde örnek uzay; S={1,2,3,4,5,6} olduğunda A ve B olayları A: Bir tek sayı gelmesi, A= {1,3,5} B: 2’den büyük bir sayı gelmesi, B= {3,4,5,6} A ve B olaylarının birleşimi AUB = {1,3,4,5,6} İki zar atma deneyinde toplam 10’dan büyük veya 3’ten küçük bir sayı gelmesi olayını küme ile yazınız.

İki Olayın Kesişimi 1. Zar atma deneyinde 2’den büyük tek sayı gelmesi olayı A: Bir tek sayı gelmesi olayı, A= {1,3,5} B: 2’den büyük bir sayı gelmesi olayı B ={3,4,5,6} AΠB ={3,5} 2. İki zar atma deneyinde toplam 10’dan büyük bir sayı ve zarlardan birinde 5 gelmesi olayı A= {56, 65, 66} B ={15, 25, 35, 45, 55, 65, 51, 52, 53, 54, 56} AΠB ={56, 65}

Birleşik Olayların Olasılığı Örnek 1: Tek zar atma deneyinde, bir tek sayı veya 2’den büyük bir sayı gelme olasılığı nedir? A={1,3,5} B={3,4,5,6} P(AUB)=? P(AUB)= P(A)+P(B)-P(AΠB) P(A)=3/6 P(B)=4/6 P(AΠB)=3/6.4/6=2/6 P(AUB)= 3/6+4/6-2/6=5/6

Ayrık İki Olayın Birleşiminin Olasılığı A ve B ayrık olaylar ise AΠB=Ø P(AΠB)=0 P(AUB)=P(A)+P(B) Örnek 1: Tek zar atma deneyinde bir tek sayı veya 5’ten büyük bir sayı gelmesi olasılığı nedir? A={1,3,5} P(A)=1/2 B={6} P(B)=1/6 P(AΠB)=0 P(AUB)=P(A)+P(B)= 1/2+ 1/6-0=2/3

Örnek 2: İki parayı birlikte atma deneyinde en az bir yazı veya en çok 2 tura gelmesi olasılığı kaçtır? A={YY, YT, TY} P(A)= 3/4 B= {TT} B(P)=1/4 P(AΠB)=0 P(AUB)=P(A)+P(B)= 3/4+ 1/4-0=1

Örnek 3 İçinde üç kırmızı, dört yeşil ve beş mavi top bulunan bir torbadan çekilen bir topun kırmızı veya yeşil olma olasılığı nedir?

Örnek: A olayının 52’lik oyun kağıdından bir kupa çekilmesi olayı olduğunu, B olayının ise aynı deste içinden bir papaz çekilmesi olayı olduğunu düşünelim. Çekilen bir kağıdın kupa veya papaz olması olasılığı nedir?

Şartlı Olaylar ve Şartlı Olasılık Tek zar atma deneyinde sonucun, bir çift sayı olduğu bilindiğine göre 2 olması olasılığı nedir? A: Sonucun 2 olması B= Sonucun bir çift sayı olması A ={2} , B= {2, 4, 6}, S={1,2,3,4,5,6} AΠB={2} B şartı altında A olayının olasılığı; P(A|B)=P(AΠB)/P(B) A şartı altında B olayının olasılığı; P(B|A)=P(AΠB)/P(A)

Örnek Tek zar atma deneyinde sonucun, bir çift sayı olduğu bilindiğine göre 2 olması olasılığı nedir? A: Sonucun 2 olması B= Sonucun bir çift sayı olması A ={2} , B= {2, 4, 6}, S={1,2,3,4,5,6} AΠB={2} P(B)=3/6 P(AΠB)=1/6 P(A|B)= (1/6)/(3/6)=1/3

Sigara içtiği bilinen bir kimsenin kanser hastası olması olasılığı? SİGARA İÇER (A) SİGARA İÇMEZ (Ā) TOPLAM KANSER VAR (B) 7 2 9 KANSER YOK (B^) 11 80 91 18 82 100 Sigara içtiği bilinen bir kimsenin kanser hastası olması olasılığı? B: Sigara içer olma A: Kanser hastası olma P(A|B)=? P(B)=18/100 P(A)=9/100 P(AΠB)=7/100 P(A|B)=(7/100)/(18/100)=7/18

Bağımsız Olaylar: Bağımsız olaylar birbirleri üzerinde etkili olmayan olaylardır. Bir olayın gerçekleşmesi, diğer bir olayın gerçekleşmesini etkilemiyorsa veya değiştirmiyorsa bunlara bağımsız olaylar denir. Örnek: Para ile zar aynı anda atılıyor. Paranın yazı, zarın da 3 gelmesi olasılığı kaçtır? P(A ∩ B)= 1/2 . 1/6 = 1/12 A ve B olayları bağımsız olduğunda, A ve B olaylarının ortaya çıkma olasılığı:

Örnek: Hilesiz bir madeni para ile hilesiz bir zarın birlikte atıldığını düşünelim. Paranın tura ve zarın da 6 yazılı yüzünün gelmesi olasılığı nedir? Bu olaylar bağımsız olduğundan bileşik olasılık:

Standart puanlar * Z Puanı * T Puanı

Standart Z Puanı Z = Z = X – s.s. Puan – Aritmetik Ort. Standart Sapma Ham puanların aritmetik ortalaması 0 ve standart sapması 1 olan puanlara dönüştürülmesiyle elde edilen standart puanlara «z puan» adı verilir. X – s.s. Z = Puan – Aritmetik Ort. Standart Sapma Z =

Ders Ham Puan Ortalama Standart Sapma Türkçe 90 75 15 Fen 55 65 5 Sosyal 45 40 10 Matematik 80 60

Ders Ham Puan Ortalama Standart Sapma z Türkçe 90 75 15 (90-75)/15=1 Fen 55 65 5 (55-65)/5=-2 Sosyal 45 40 10 (45-40)/10=0.5 Matematik 80 60 (80-60)/10=2

T Puanı ). 10 ( T = X - . 50 + s.s. T = 50 + 10 * Z T = 50 + 10 * 1,33 Anlaşılmasının ve yorumlanmasının daha kolay olması nedeniyle genellikle Z puanları diğer bir standart puan çeşidi olan ve yaygın kullanılan T puanlarına dönüştürülür. ( X - . s.s. ). 10 T = 50 + T = 50 + 10 * 1,33 T = 50 + 10 * 1,33 T = 50 + 10 * Z T = 63,3

Ders Ham Puan Ortalama Standart Sapma z T Türkçe 90 75 15 (90-75)/15=1 50+(1*10)= 60 Fen 55 65 5 (55-65)/5=-2 50+(-2*10)=30 Sosyal 45 40 10 (45-40)/10=0.5 50+(0.5*10)=55 Matematik 80 60 (80-60)/10=2 50+(2*10)=70

s.s. Z T DAĞILIM EĞRİLERİ -3 -2 -1 0 1 2 3 20 30 40 50 60 70 80 % 34,13 % 34,13 % 13,59 % 13,59 % 2,15 % 2,15 s.s. -3 -2 -1 +1 +2 +3 Z -3 -2 -1 0 1 2 3 T 20 30 40 50 60 70 80

Normal Dağılımda Alan İlişkileri Örnek: Z=1.42 ile ortalama arasında kalan alan ya da olasılık kaçtır? P (0<z<1.42)= 0.4222 Örnek: Verilen bu z değerinin sağında ya da solunda kalan alan? P (z>1.42)=(.5000)-(.4222)=.0778 P (z<1.42)=(.4222)+(.5000)=.9222

Örnek: z=-1. 53 ile z=2. 5 arasında kalan alan. P(-1. 53<z<2 Örnek: z=-1.53 ile z=2.5 arasında kalan alan? P(-1.53<z<2.5)= P(-1.53<z<0)+ P(0<z<2.5) = (.4370)+(.4938) = .9308

Örnek: Matematik başarı testi puanları ortalaması 65 ve standart sapması 15 ile normal dağılım gösterdiğine göre, bu testten 75 alan bir öğrencinin başarısı hakkında ne söylenebilir? z= (75-65)/15=0.666῀0.67 P (0<z<0.67)= .2486 P (z<0.67)= (.2486)+(5000)=.7486 **öğrenci grubun %74.86’sından daha başarılıdır ya da %25.14’ünden daha başarısızdır.

Örnek: Matematik başarı testi puanları ortalaması 65 ve standart sapması 15 ile normal dağılım gösterdiğine göre, gruptan yansız çekilen bir öğrencinin 45 ve daha küçük bir puan alma olasılığı nedir? z= (45-65)/15=-1.33 P (0<z<1.33)= .4082 P(X<45)=(.5000)-(.4082)= .0918 **Grubun yaklaşık %9’unun matematik puanının 45 ve altında olduğunu gösterir.

Örnek: İnsanların IQ puanlarının ortalaması 100 ve standart sapması 10 olan bir normal dağılım gösterdiği bilinmektedir. Yansız çekilen birinin IQ puanının 95’ten büyük olma olasılığı nedir? z= (95-100)/10= -0.50 P(z>-0.50)=P(-0.50<z<0)+P(z>0) P(z>-0.50)=(.1915)+(.5000)=.6915 *Yansız çekilen birinin IQ puanının 95’ten büyük olma olasılığı %69.15’tir.

Korelasyon Saçılma diyagramı Korelasyon katsayısı Pearson momentler çarpım korelasyon katsayısı Sperman Brown sıra farkları korelasyon katsayısı Nokta çift serili korelasyon katsayısı Çift serili korelasyon katsayısı Dörtlü (Phi) korelasyon katsayısı Kısmi korelasyon Çoklu korelasyon

Saçılma Diyagramı (Scatterplot) Örnek: 15 öğrencinin istatistik ve Matematik testlerinden aldıkları puanlara ilişkin grafiği çiziniz.

Pearson Momentler Çarpım Korelasyon Katsayısı 1. Değişken Parametrik, sürekli, normal dağılım, n>30, eşit aralıklı ölçek, geçerli güvenilir ölçme aracı 2. Değişken Korelasyon Katsayısı  Pearson Çarpım Moment Korelasyon Analizi (r) Formül

Matematik ve istatistik testlerinden alınan puanlar ve bunlarla ilgili bazı işlem sonuçları X Y X2 Y2 XY 24 26 576 676 624 25 27 625 729 675 28 784 728 30 900 840 29 31 841 961 899 32 1024 960 33 1089 1023 34 1156 1088 35 1225 1155 36 1296 1224 37 1369 1295 38 40 1444 1600 1520 39 41 1521 1681 1599 42 1764 1680 44 1936 1848 X=486 Y=516 X2=16186 Y2=18190 XY=17158

Sperman Sıra Farkları Korelasyonu 1. Değişken Non-parametrik, sürekli, çarpık dağılım, n<30, sıralama ölçeği 2. Değişken Korelasyon Katsayısı  Spearman Sıra Farkları Korelasyon Katsayısı Formül rs

Örnek :Bir grup öğrencinin fizik testi sınav puanları ile öğrencilerin sınavı bitirme sıraları Tablo 2a’da verildiği gibidir. Bu iki değişken arasındaki ilişkiyi hesaplayınız Tablo 2a. Öğrencilerin fizik testi sınav puanları ile sınavı bitirme sıraları Bitirme sırası 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Sınav puanı 90 74 60 68 86 92 78 64

Tablo 2b. Puanların sıralanması Sınav puanı 92 90 86 78 74 68 64 60 Sıra değeri 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.5 11.5

Tablo 2c. Sınav puanları, sınav bitirme sıraları ve sıra farkları Fizik puanı sırası Sınavı bitirme sırası Fark (d) d2 1 7 -6 36 2 3 6 -3 9 4.5 -4.5 20.25 11 -6.5 42.25 5 25 4 16 10 12 -2 11.5 7.5 56.25 8 3.5 12.25 n=12 d=0 d2=247

Nokta Çift Serili Korelasyon Bir sürekli değişkenle iki kategorili bir gerçek süreksiz değişken arasındaki ilişkinin belirlenmesinde kullanılır.

El becerisi puanları (X) Cinsiyet (Y) 75 82 69 1 57 67 88 92 84 91 80 72 70 52 68 79 62 59

Çift serili korelasyon 1. Değişken Sürekli 2. Değişken Yapay süreksiz (iki kategorili) Yarı non-parametrik Korelasyon Katsayısı  Çift Serili Korelasyon Katsayısı Formül

Öğrencilerin çalışma sürelerine göre akademik başarı ortalamaları Başarı ortalaması Çalışma süresi 1 2,3 2 1,4 3 1,5 4 3,3 5 2,1 6 1,7 7 2,5 8 2,6 9 10 11 2,2 12 1,9 13 3,0 14 15

Dörtlü (Phi) korelasyon katsayısı 1. Değişken İki kategorili gerçek süreksiz 2. Değişken Korelasyon Katsayısı  Phi (Dörtlü) Korelasyon katsayısı Formül

Kısmi Korelasyon 1. Değişken Bir sürekli değişkenle kontrol altındaki iki sürekli değişken arasındaki ilişki 2. Değişken Korelasyon Katsayısı  Kısmi Korelasyon katsayısı Formül

Örnek :Gelir, başarı ve IQ arasındaki korelasyon katsayıları

Çoklu Korelasyon 1. Değişken İki sürekli Bağımsız Değişkenin bir bağımlı değişken ile ilişkisi 2. Değişken Korelasyon Katsayısı  Çoklu Korelasyon katsayısı Formül