YATIRIM ve FİNANS TEORİSİ V. BÖLÜM : Portföy Risk ve Getirisi VI. BÖLÜM: Etkin Sınır ve Portföy Seçimi Prof. Dr. Sudi APAK

V. BÖLÜM : Portföy Risk ve Getirisi Menkul Kıymetlerde Risk ve Getirinin Ölçülmesi Beklenen Getiri Standart Sapma Portföylerde Risk ve Getiri Çeşitleme ve Toplam Risk Pazar ve Firma Riskleri Uluslararası Çeşitleme

1. Menkul Kıymetlerde Risk ve Getirinin Ölçülmesi 1.1. Beklenen Getiri ve Risk Yatırım kararlarının verilmesinde beklenen getiri ve risk iki temel boyutu oluşturmaktadır. Getiri ; bir yatırımdan belirli bir dönem içinde yapılan yatırıma karşılık elde edilen geliridir. Getiri çoğunlukla başlangıçtaki menkul değerin pazar fiyatının yüzde oranı olarak tanımlanmaktadır. Risk; bir olayın olma şansıdır. Risk, getirilerin beklenen getirisinden sapma olasılığı olarak tanımlanmakta ve genellikle varyans ve standart sapma ile açıklanmaktadır. Bir Dönemlik Getiri Oranı Bir dönemlik getiri hesaplamaları yatırımcının bir dönem içinde servetini ne kadar arttırdığını bize vermektedir. Eğer getiri oranını r harfi ile gösterirsek;

r = (Dönem sonu serveti – Dönem başı serveti) / Dönem başı serveti şeklinde hesaplanmaktadır. Bu formülü bir hisse senedi yatırımı için şu şekilde gösterebiliriz; r = [(Pt –Pt-1) + Dt ] / Pt-1 Pt = Hisse senedinin dönem sonu fiyatı Pt-1 = Hisse senedinin dönem başı fiyatı Dt = Temettü ödemesi 1.2. Olasılık Dağılımı Bir olayın gerçekleşme şansı, bir olayın meydana gelme olasılığı olarak kabul edilmektedir. Olması mümkün olan bütün olaylar belirlenir ve onların her biri için bir olma olasılığı tahmin edilirse buna olasılık dağılımı denilmektedir. Olasılıklar objektif ya da subjektif olarak belirlenmektedir. Objektif belirleme benzer sonuçların geçmişteki olma olasılıklarına dayanırken, subjektif belirleme bir kişinin beklentilerine dayanmaktadır.

Hisse senetleri ile ilgili yatırım kararları büyük ölçüde subjektif değerlendirmelerle verilmektedir. Herhangi bir olasılık dağılımının iki temel unsuru vardır. Bunlar; Beklenen Getiri : Muhtemel getirilerinin olasılık dağılımının beklenen değeridir. = Beklenen getiri rj = Her bir durumun beklenen getirisi pj = olasılık

Standart Sapma: Varyansın kareköküdür. Normal dağılımlarda riski ölçmek için yararlanılan başka bir parametre de Z’dir. Ancak Z parametresini kullanmak için dağılımın kesintisiz olması gerekir. Z parametresi belli bir gelirin beklenen gelirden kaç standart sapma uzaklıkta olduğunu bize göstermektedir.

Tarihi Verilerden Yararlanarak Risk ve Getirinin Hesaplanması Ortalama Getiri = rort = n = zaman

2. Portföylerde Risk ve Getiri Varyasyon Katsayısı Varyasyon Katsayısı: Her bir birim getirinin riskini vermektedir. Getirilerin standart sapmalarının beklenen getirilerine bölünmesi suretiyle elde edilmektedir. 2. Portföylerde Risk ve Getiri 2.1. Portföyün Beklenen Getirisi Bir portföyün getirisi kısaca portföydeki bireysel menkul kıymetlerin getirilerinin ağırlıklı ortalamasıdır:

rp = portföy getirisi ri = her bir menkul değerin getirisi wi = her bir menkul değerin portföydeki ağırlığı Bir portföyün beklenen getirisi ise, bireysel menkul kıymetlerin beklenen getirilerinin ağırlıklı ortalamasıdır: = portföy beklenen getirisi = her bir menkul değerin beklenen getirisi wi = her bir menkul değerin portföydeki ağırlığı

2.2. Portföy Riski Kovaryans: İki değişken arasındaki ilişkiyi ölçen istatistiksel bir ölçüttür. Pi = Olasılık Korelasyon Katsayısı: İki değişken arasındaki ilişkiyi ölçen standart istatistiksel ölçüttür. +1 mükemmel pozitif korelasyonu gösterirken, -1 mükemmel negatif korelasyonu göstermektedir.

= A ve B değişkeninin riski , = Korelasyon katsayısı Markowitz yaklaşımına göre bir portföyün varyansı şu şekilde hesaplanmaktadır:

3. Çeşitleme ve Toplam Risk Bu formülün standart sapması bize portföy riskini verecektir: = Portföy riski w = her bir menkul değerin portföydeki ağırlığı Cov(ij) = menkul kıymetler arasındaki kovaryans 3. Çeşitleme ve Toplam Risk Bir portföyün varyansının formülü, diğer bir ifadeyle toplam riski şu şekilde ifade edilmektedir:

Bu ifade şu şekilde de yazılabilir, ancak bu eşitliğin ikinci terimi (II) için geçerlidir. Çünkü ilk terimde i=j olduğu durum ifade edilmiştir. Portföydeki tüm varlıkların bağımsız ve bundan dolayı aralarındaki korelasyon katsayısının sıfır olduğunu varsayalım. Bu durumda bu eşitliğin ikinci terimi sıfır olacaktır.

Menkul değerlerin eşit oranlarda portföyde bulundurulduğunu varsayalım Menkul değerlerin eşit oranlarda portföyde bulundurulduğunu varsayalım. Bu durumda n sayıda menkul kıymetin yer aldığı portföyde, “wi” terimi yerine “1/n” yazılabilir. Eşitlik şu hale gelecektir: olacaktır. veya Bu durum bize menkul kıymetlerin arasında belirli oranlarda korelasyon olabileceğini kanıtlamaktadır. Bu durumda da çeşitlemenin etkisini görebilmek için, n sayıda menkul kıymete yatırım yapıldığını varsayarak, portföy riski yeniden değerlendirildiğinde: +

3.1. Pazar ve Firma Riskleri Menkul kıymetlerin toplam riski aşağıdakilerden oluşmaktadır: Firma Riski: Makro ekonomik değişkenlerden kaynaklanmayan risktir. Firmadan kaynaklanan çeşitlendirilebilir risktir. Firma riski şu nedenlerle ortaya çıkmış olabilir: - Firma ile ilgili yasal problemler - Yönetim değişiklikleri - Başarılı ya da başarısız pazarlama kampanyaları - Önemli ihaleleri almak veya kaybetmek - Firmanın geliştirdiği teknolojilerin başarısı - Firmaya özel diğer konular Pazar Riski: Makro ekonomik değişkenlerden kaynaklanan risktir. Çeşitlendirilemeyen risktir. Pazar riskinin başlıca nedenleri şunlardır: - Faiz oranlarındaki değişimler - Enflasyon oranındaki değişimler - Devalüasyon - Savaş hali - Ekonomik durgunluk - Politik olaylar - Genel ekonomiyi ilgilendiren diğer konular

4. Uluslararası Çeşitleme İMKB’deki hisse senetlerinin yaklaşık olarak yarısı yabancı yatırımcıların portföyünde bulunmaktadır. Uluslararası çeşitleme ile yatırımcılar sistematik (pazar) risklerini biraz daha azaltabilirler. Yapılan araştırmalarda görülmüştür ki, pazarlar arasında çok yüksek bir korelasyon yoktur. Özellikle gelişmekte olan pazarlarla ilişkileri daha düşüktür. Ülkelerde uygulanan ekonomik ve sosyal politikalar, vergi oranları gibi değişkenler ilişkinin düşmesine yol açmaktadır. Coğrafi farklılıklar ve pazarların gelişmişlik düzeyleri de diğer önemli faktörlerdir.

VI. BÖLÜM: Etkin Sınır ve Portföy Seçimi Yatırımcıların Risk-Getiri Kayıtsızlık Eğrileri Etkin Portföy Fırsat Kümesi Optimal Portföy Seçimi Risksiz Faiz Oranı ve Etkin Sınır Borçlanma ve Ödünç Verme Portföyü ile Ayırım Problemi

1. Yatırımcıların Risk-Getiri Kayıtsızlık Eğrileri Yatırımcıların risk ve getiri tercihleri arasındaki ilişkiyi gösteren eğrilere Kayıtsızlık Eğrileri adı verilmektedir. Bu eğrilerin temel özellikleri şöyledir: Aynı kayıtsızlık eğrisi üzerinde yer alan tüm portföyler yatırımcılarına eşit şekilde fayda sağlar. Kayıtsızlık eğrileri birbirlerini kesemezler. Yatırımcılar daha kuzeybatıdaki kayıtsızlık eğrisinde yer alan bir portföyü yeterince kuzeybatıda yer almayan portföye göre daha fazla tercih ederler.

2. Etkin Portföy Risk getiri diyagramında kuzeybatıda yer alan, minimum risk ve maksimum getiriye sahip portföyler Etkin Portföylerdir. Finans literatüründe risk getiri diyagramında kuzeybatıda yer alan ve etkin portföyleri birleştiren eğriye ise Etkin Sınır adı verilmektedir. Bir yatırımcı, optimal portföyünü, Kendisine değişen risk düzeylerinde maksimum beklenen getiri sunan portföy kümelerinden, ve Kendisine değişen beklenen getiri düzeylerinde, minimum risk sunan portföy kümeleri arasından seçecektir.

2.1. Fırsat Kümesi Yatırımcının yatırım yapabileceği tüm portföy kombinasyonlarını içeren küme Fırsat Kümesidir. 2.2. Optimal Portföy Seçimi Optimal Portföy, kayıtsızlık eğrilerinin etkin kümeye teğet geçtiği yerdeki portföydür. Optimal portföyün seçiminde yatırımcıların kayıtsızlık eğrileri ile etkin sınırda yer alan portföyleri bir araya getirmek gerekmektedir. Yatırımcı kendisine en fazla faydayı sağlayacak kayıtsızlık eğrisi üzerinde olan portföyü seçecektir.

2.3. Etkin Kümenin Konkavlığı Etkin Kümenin neden konkav olduğunu görmek için örneklerden yararlanabiliriz. İki hisse senedinden oluşan bir portföyü ele alacak olursak; 1. Hisse senedi, Maret A.Ş. , %15’lik bir beklenen getiri ve %30’luk bir standart sapmaya sahip. 2. Hisse senedinin ise, Pınar Su A.Ş. %25 getirisi ve %50 standart sapması olduğunu varsayalım. Yatırımcını alabileceği tüm portföy kombinasyonları düşünülürse ve w1 yatırımcının Maret A.Ş.’ne yaptığı yatırımın oranını gösterirse w2 (=1-w1) de Pınar Su A.Ş.’e yapılan yatırım oranını gösterir. Örneğin, yatırımcı sadece Maret A.Ş.’ne yatırım yaptıysa; w1=1 ve w2=0’dır. Ya da bunun tam tersi olarak, yatırımcı sadece Pınar Su A.Ş.’e yatırım yapmış olabilir. Bu durumda da w1=0 ve w2=1 olacaktır.

2.3. Etkin Kümenin Konkavlığı 7 portföy ile durum değerlendirildiğinde; Bir yatırım için bu 7 portföy ele alındığında, öncelikle bunların beklenen getiri ve standart sapmaları hesaplanmalıdır. Maret’in %15, Pınar Su’nun %25 beklenen getirisi olduğunu hatırlayarak bu portföylerin beklenen getirilerini şu şekilde hesaplarız. = Portföyün beklenen getirisi = Herbir menkul değerin beklenen getirisi = Her bir menkul değerin portföydeki ağırlığı

2.3. Etkin Kümenin Konkavlığı Standart sapma ise şu formülden yararlanılarak hesaplanacaktır; σp = Portföy riski w = Her bir menkul değerin portföydeki ağırlığı Cov(ij) = Menkul kıymetler arasındaki kovaryans

2.3. Etkin Kümenin Konkavlığı İki menkul değerden oluşan portföy sözkonusu olduğunda formülün açılımı ise şöyle olacaktır; Portföylerin standart sapması iki hisse senedi arasındaki kovaryansın büyüklüğüne bağlıdır. Kovaryans, iki hisse senedinin standart sapmaları ile aralarındaki korelasyon katsayısının çarpımının eşit olmasıdır. burada i=1 ve j=2 ,

2.3. Etkin Kümenin Konkavlığı Portföylerin standart sapmaları onların aralarındaki korelasyon katsayılarına bağlıdır. Korelasyon katsayıları en fazla +1 ve en az -1 olmaktadır. Her bir portföy için minimum ve maksimum korelasyon katsayıları kullanılarak en düşük ve en yüksek standart sapmalar hesaplanabilir. Eğer korelasyon katsayısı, 0’dan küçük olursa çizgi sola doğru biraz daha kavisleşmektedir. Korelasyon katsayısı 0’dan büyük ise eğrinin sola doğru kavisi azalacaktır. Katsayı +1’den küçük ve -1’den büyük oldukça bu iki hisse senedinin farklı kombinasyonlarından oluşan portföy kümesini gösteren çizgi sola doğru kavisli olacaktır. Ayrıca “kuzeybatı” parçası konkav olacaktır. Bu analiz ikiden fazla hissenin olduğu durumlar için de yapılabilir. Bu durumda, korelasyonlar +1’den küçük ve -1’den büyük oldukça “kuzeybatı” parçası konkav olacaktır. Sonuç itibari ile, etkin küme konkav olacaktır.

3. Risksiz Faiz Oranı ve Etkin Sınır Risksiz yatırımlarda beklenen getiriden bir sapmanın olması söz konusu değildir. Risksiz bir yatırımda getirinin ne olacağı belli olduğu için, bu yatırım şekli hata olasılığı olmayan, belirli getirisi olan bir yatırım olarak düşünülebilir. Yatırımcı dönem başında beklediği getiriyi dönem sonunda tam olarak alabilecektir. Şirketlerin çıkardıkları kağıtlara yapılan yatırımlarda her zaman bir hata olasılığı vardır, bu nedenle risksiz yatırım araçları şirketler tarafından oluşturulamaz. Bu araçlar ancak devlet tarafından oluşturulabilir. Risksiz yatırımın getiri oranı ile bir riskli yatırımın getirisi arasındaki kovaryans sıfır olacaktır. Eğer i risksiz yatırım ise, ve böylece Covij = 0 olacaktır.

3.1. Risksiz Menkul Değerlere Yatırım Yatırımcılar, paralarının bir kısmını riskli menkul değerlere yatırım yaptıkları gibi, paralarının bir kısmı ile risksiz menkul değerlere yatırım yapabilirler. Bu yeni yaklaşımla Markowitz’in etkin kümesinin konumu değişmekte ve yeni bir küme oluşmaktadır. Yatırımcının isteği etkin bir portföy oluşturmaktır. Bu nedenle gerçekleşen değişikliklerin dikkatlice analiz edilmesi gerekmektedir. 3.2. Birlikte Yapılan Riskli ve Risksiz Yatırım Hem riskli hem de risksiz yatırımdan oluşan portföyler, bu yatırımların risk-getiri grafiğindeki noktalarını birleştiren doğru üzerinde yer alırlar.

3.3. Risksiz Yatırım ve Riskli Portföy Risksiz yatırım ile riskli bir portföyün bileşimini içeren yeni bir portföy, benzer şekilde risksiz yatırım ile mevcut bir riskli yatırımdan oluşan portföyle analiz edilebilir. Her iki durumda da oluşan portföyün beklenen getirisi ve standart sapması, iki noktayı birleştiren doğru üzerinde yer alır. 3.4. Risksiz Yatırımın Etkin Kümeye Etkisi Bu kez, yatırımcı portföyünün bir kısmı ile risksiz varlığa, diğer kısmı ile Maret, Pınarsu ve Vestel yatırımlarının oluşturduğu etkin kümeye yatırım yapmaktadır.

3.5. Risksiz Borçlanma Faiz oranı bilinen ve geri ödemenin de kesin olarak yapılacağı düşünülen bir borçlanma risksiz borçlanma olarak nitelendirilebilir. Bu durumda borca ilişkin faiz oranı ile risksiz yatırımın faiz oranı birbirine eşit kabul edilir. Örneğin, yatırımcı %5 getirisi olan risksiz yatırım yapabilir ya da %5 faiz ödemek üzere borçlanabilir. Borçlanma ve Riskli Portföye Yatırım: Burada yatırımcının mevcut varlığı ve borçlanarak elde ettiği varlığıyla birden fazla riskli yatırım yaptığı bir portföy incelenmektedir. Risksiz Borçlanma ve Risksiz Yatırımın Etkin Kümeye Etkisi: Risksiz oranla yapılan borçlanma ve yatırım durumunda, yatırımcı kendi kayıtsızlık eğrilerinin etkin kümeye teğet olduğu optimum portföyü seçmelidir.

4. Borçlanma ve Ödünç Verme Portföyü ile Ayırım Problemi Varsayalım ki, bir yatırımcı rf oranından sınırsız tutarda hazine bonosu satın veya ödünç alabilmektedir. Bu yatırımın beklenen getirisi belirli ve standart sapması sıfırdır. Yatırımcı risksiz faiz oranından elde edebileceği fonları H portföyüne ilave yatırım yapabilmektedir. H portföyü riskli menkul kıymetlerden oluşmaktadır. H portföyünün riskli menkul değerlerden oluşan kısmının ağırlığını “w” olarak adlandıralım. Bu portföye ayrıca hazine bonosu yatırımı yapacağımızdan, toplam yatırımın boyutu w’den daha fazla olacaktır. Toplam yatırımı 1 olarak kabul edersek, hazine bonosuna yatırım yapılacak kısmın ağırlığı “1-w” olacaktır. Böylece bu yatırımın beklenen getirisi şu şekilde hesaplanacaktır.

Yatırımın standart sapması ile şöyledir: Tüm portföyün beklenen getirisi Riskli portföyün beklenen getirisi Risksiz faiz oranı Yatırımın standart sapması ile şöyledir: terimi sıfır olacağından, standart sapma şu hale gelecektir; Bu eşitlikten w’yi çekersek, olacaktır.

Beklenen getiri eşitliğinde w’nin yerine bu ifadeyi yazarsak; Bu eşitlik aslında bir doğruyu ifade etmektedir. Bu doğru risksiz faiz yatırımı ile ilgili tüm kombinasyonları bize vermektedir. Yatırımcı belirli oranda bir getiriye hiçbir risk almadan ulaşabilmektedir. Bu oran risksiz orandır.

Ödünç Alan Portföy, yatırımcının risksiz varlığın faiz oranı ile borçlanarak riskli varlıklara yatırım yaptığı portföydür. Ödünç Veren Portföy ise, yatırımcının riskli varlık ile risksiz varlığa yatırım yaparak oluşturduğu portföydür. Finans literatüründe yatırımcının kayıtsızlık eğrisini dikkate almadan riskli varlıkların optimal portföyünü belirlemeye Ayırım Problemi adı verilmektedir. Ödünç Verme Portföyü Ödünç Alma Portföyü Risk Beklenen Getiri r rf σH