dim(R(A))+dim(N(A))=n Ortogonal Tümleyen V, Rn ‘in bir alt uzayı olsun. V’ye dik tüm vektörlerin oluşturduğu uzay V’nin ortoganal tümleyenidir ve V┴ ile gösterilir. 5. ders Dört temel uzaya bir daha bakalım…… sütun uzayının boyutu+sıfır uzayının boyutu=sütun sayısı dim(R(A))+dim(N(A))=n satır uzayının boyutu+ sol sıfır uzayının boyutu=satır sayısı dim(R(AT))+dim(N(AT))=m

N(A) ve R(AT), Rn ‘in alt uzayları Hatırlatma Dört temel alt uzay N(A) ve R(AT), Rn ‘in alt uzayları N(AT) ve R(A), Rm ‘in alt uzayları N(A) R(AT) (Rn de); N(AT) R(A) (Rn de);

Hatırlatma olduğunu gösteriniz ve ise

Hatırlatma olduğunu gösteriniz ve ise

Boyutlara bir daha dikkat edelim….. dim(R(AT))+dim(N(A))=n r+(n-r)=n N(A) R(AT) (Rn de) yeni öğrendiklerimize göre ….. N(A) = (R(AT))┴

dim(R(A))+dim(N(AT))=m Benzer şekilde….. dim(R(A))+dim(N(AT))=m r+(m-r)=m N(AT) R(A) (Rm de) yeni öğrendiklerimize göre ….. N(AT) = (R(A))┴

Lineer cebrin temel teoremi-kısım 1 Hatırlatma Lineer cebrin temel teoremi-kısım 1 Amxn A’nın sütun uzayı= R(A); boyutu r A’nın sıfır uzayı=N(A); boyutu n-r A’nın satır uzayı=R(AT) ; boyutu r A’nın sol sıfır uzayı=N(AT); boyutu m-r

Sonuç Lineer cebrin temel teoremi-kısım 2 Amxn Sıfır uzayı Rn’de satır uzayının ortogonal tümleyenidir. Sol sıfır uzayı Rm’de sütun uzayının ortogonal tümleyenidir.

Ax=b’nin çözümünün varlığı için yeni bir koşul…. Ax=b denklem takımının çözümü vardır ATy=0 iken bTy=0 sağlanır Bunu bilmenin faydası ne?

Her ortogonal altuzay ortogonal tümleyen midir? V ve W hangi uzayın alt uzayları? R3 W V V ve W ortogonal tümleyen mi? Hayır V ve ortogonal tümleyen mi? W Evet V

Ax ’e biraz daha dikkatli bakalım… xr xr Axr=Ax Sütun uzayı R(A) Satır uzayı R(AT) Ax x x Ax xn O O Sıfır uzayı N(A) xn Axn=0 Sol sıfır uzayı N(AT) Rn Rm

bu durumda ne olacak? Boyuta dikkat!! S, Rn’in bir alt uzayı olsun; b’de Rn’de bir nokta olsun. S’in b’ye en yakın noktası p ise bu noktayı nasıl belirleriz? xn x1 x2 b S p

İki boyuta geri dönelim… x1 x2 b=[b1 b2] a=[a1 a2] θ β α Biraz trigonometri …..

Son yazılan bağıntıya biraz daha dikkatli bakalım… Amacımız neydi? xn x1 x2 b S p a p’yi bulmak

a vektörünün belirlediği doğru üstünde p nerede? a vektörünün belirlediği doğru üstünde b’den a’ya olan en kısa mesafe b’den a’ya dik olan doğru ile belirlenir Duzeltme var

Önemli bir sonuç Schwartz eşitsizliği