OLASILIK ve İSTATİSTİK BÖLÜM 4 OLASILIK TEORİSİ Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU

4-OLASILIK TEORİSİ GİRİŞ Bu bölüm sonunda öğreneceğiniz konular: Rastgele Olay Örnek Uzayı Olasılık Aksiyomları Bağımsız ve Ayrık Olaylar Olasılık Kuralları Koşullu Olasılık Permütasyon ve Kombinasyon

4-OLASILIK TEORİSİ GİRİŞ Olasılık Teorisi: Matematiğin belirsizlik taşıyan olaylarla ilgilenen bir dalıdır ve rastgele değişkenleri inceler. Rastgele Değişken: Gelecekteki bir gözlemde alacağı değer önceden kesinlikle bilinemeyen bir değişkendir. Örneğin: Bir zar atışında gelecek sayının önceden bilinememesi Herhangi bir gün gözlenecek yağış yüksekliği Makine elemanının hasara uğrama zamanı vb. Belirsizliğin Kaynağı: Daha önceden tahmin edilemeyen çok sayıda etkene bağlı olunması Doğal olaylardaki mevcut değişkenliklerin olması Bu tür olaylarda değişkenler deterministik bir yaklaşımla incelenemez Değişkenin alacağı değeri önceden kesinlikle belirleyen yasalar elde edilemez. Bunun yerine probabilistik (olasılığa dayalı) yaklaşım gerekir.

4-OLASILIK TEORİSİ GİRİŞ Belirsizliklerden hareketle elde edilen verilerden bazı sonuçlar çıkarmak ve tahmin yapabilmek istatistiğin konusudur. “Bugün hava muhtemelen yağışlı ve biraz soğuk olacak”, “bu dersten büyük bir ihtimalle geçerim”, “bu ameliyatın başarı düzeyi %95 dir”, ...... vb gibi olmak üzere günlük hayatta olasılık kavramı sık sık gündeme gelir. Aslında bu ifadeleri kullanan kişi, daha önceki bilgi ve deneyimleri vasıtasıyla bu sonuçlara varmaktadır. Elde edilen sonuçlar kesin olmamakla birlikte belirli bir güven (doğruluk payı) taşımaktadır.

4-OLASILIK TEORİSİ Rastgele Olay Rastgele değişkenin alacağı değer kesin olarak belirlenemeyeceğinden ancak değişkenin belirli bir değeri alma ihtimali belirlenebilir. Bir rastgele değişkenin bir gözlem sırasında belli bir değeri almasına rastgele olay denir. Hangi rastgele olayın görüleceği önceden kesinlikle bilinememekle birlikte herhangi bir rastgele olayın görülme ihtimalini belirlemek mümkündür. Örneğin: Bir zar atışında seçilen bir sayının (tabii 1 ile 6 arasında) görülmesi bir rastgele olay olup bunun ihtimali hesaplanabilir.

4-OLASILIK TEORİSİ Örnek uzayı ve Küme kavramı İlgilenen rastgele olayın alabileceği tüm değerleri içeren uzaydır. Örneğin: Bir zar atışında gelebilecek sayıların tümü Bir deneyde gözlemlenecek değerlerin tümü Olasılık teorisinde küme teorisi, rastgele olayların tanımlanması kolaylaştıran bir yaklaşımdır. Küme kesin olarak tanımlanmış elemanlardan oluşur. Kümenin adı büyük harfle, elemanları bu harfe karşılık gelen küçük harf ile gösterilir. Örneğin: Türkçedeki sesli harfler kümesi Zar atışında görülecek sayıların kümesi

4-OLASILIK TEORİSİ Küme kavramı Bir elemanın bir kümeye ait olduğu şeklinde gösterilir. Bir elemanın bir kümeye ait olmadığı şeklinde gösterilir. Hiçbir elemanı bulunmayan bir küme boş küme olarak adlandırılır. Bir kümenin bütün elemanları diğer bir kümenin de elemanları ise ilk küme ikinci kümenin alt kümesidir. Örnek: Herhangi iki küme A ve B için, A’nın tüm elemanları B kümesinde ise: A B’nin alt kümesi veya B A’yı kapsar denir.

4-OLASILIK TEORİSİ Venn Diyagramı Bir küme ile alt kümeleri arasındaki ilişkileri grafiksel gösterim kullanarak kolayca tanımlamak için kullanılır.

4-OLASILIK TEORİSİ Venn Diyagramı Bir A kümesi ile B kümesinin ortak elemanları yok ise yani: birbirinden tamamen farklı birbirini engelleyen olaylar (mutually exclusive) olarak adlandırılır.

4-OLASILIK TEORİSİ Olasılık Kavramı Bir deneme farklı N sonucu ortaya koyuyor ve bunlardan n tanesinde A olayı meydan geliyorsa, A olayının ortaya çıkma olasılığı, Rastgele değişkeni büyük harfle (X), rastgele değişkenin bir gözlem sırasında aldığı değeri bu harfe karşılık gelen küçük harfle (x) ile gösterirsek X=xi rastgele olayın olasılığı:

4-OLASILIK TEORİSİ Olasılık Aksiyomları Herhangi bir E rastgele olayının ihtimali 0  P(E)  1 P(E): E rastgele olayının ihtimalini gösterir. Aksiyom 2: Eğer örnek uzayı S ise P(S)=1 yani örnek uzayındaki olayların olasılıklarının toplamı 1’e eşittir. Aksiyom 3: Eğer birbirlerini engelleyen E1, E2, E3,……….En (mutually exclusive) olaylar ise Bu aksiyomdan hareketle aşağıdaki özellikler belirlenebilir

4-OLASILIK TEORİSİ Olasılık Aksiyomları Örnek 1: Tüm Amerikan erkeklerinin %28’i sigara, %7’si puro ve %5’i hem puro hem de sigara içmektedir. Bu erkeklerin yüzde kaçı ne sigara ne de puro içmektedir?

4-OLASILIK TEORİSİ Farklı-Bağımsız Olaylar İstatistikte olayların bağımsızlığı, bir olay hakkındaki bilgi başka bir olaya bağlı değilse bu olay istatistiksel olarak bağımsızdır (independent events). Karşılıklı olarak birbirini engelleyen olaylar (mutually exculsive events) ise bir olayın olması durumunda diğer başka bir olayın gerçekleşme ihtimalinin sıfır olmasıdır. Bağımsız olaylar asla birbirlerini engelleyen olaylar (mutually exculsive events) olmazlar. Örneğin: 52’lik bir desteden çekilen bir kağıdın “kalp olması” ve “sinek olması” farklı olaylardır, zira sinek çekilmiş ise bunun kalp olma ihtimali yoktur. Fakat çekilen kartın “kalp olması” ve kırmız olması” birbirlerini engelleyen olaylar değildir zira bu iki durumun aynı anda olma ihtimali vardır.

4-OLASILIK TEORİSİ Olasılık Hesaplamaları Örnek 2: Bir torbada 5 kırmızı, 7 siyah ve 3 beyaz bilye bulunmaktadır. Bu torbadan rastgele çekilecek bir bilyenin kırmızı gelme olasılığı nedir? Örnek çözüm 2:

4-OLASILIK TEORİSİ Olasılık Hesaplamaları Örnek 3: Bir önceki örnekteki bilgileri kullanarak; Herhangi bir renkte bilye gelme olasılığını hesaplayınız. Mavi renkte bilye gelme olasılığını hesaplayınız. Siyah renkte bilye gelme olasılığını hesaplayınız

4-OLASILIK TEORİSİ Olasılık Hesaplamaları Örnek Çözüm 3:

4-OLASILIK TEORİSİ Olasılık Kuralları Olasılık olayları: birbirini tamamıyla engelleyen birlikte meydana gelebilen olaylar olmak üzere iki gruba ayrılmaktadır. Ayrımın özelliğine göre kullanılacak olasılık kuralları da farklı olmaktadır. TOPLAMA KURALI Karşılıklı olarak birbirini engelleyen olaylardan (mutually exclusive) birinin veya diğerinin ortaya çıkma olasılığı, bu olayların ayrı ayrı ortaya çıkma olasılıkları toplamına eşittir. A ve B gibi birbirini engelleyen (ayrık) iki olaydan herhangi birisinin meydana gelme olasılığı: zira

4-OLASILIK TEORİSİ Olasılık Kuralları Örnek 3: Kusursuz bir tavla zarı atıldığında 2 veya 3 gelmesi olasılığı nedir? Örnek 3 Çözüm: Bu olay birbirini engelleyen özellikte olup, herhangi bir anda sadece tek yüz ile karşılaşılacağından toplama kuralı kullanılmalıdır.

4-OLASILIK TEORİSİ Olasılık Kuralları ÇARPMA KURALI Birbirinden bağımsız ve aynı zamanda meydana gelebilen olayların olasılığı, bu olayların ayrı ayrı ortaya çıkma olasılıkları çarpımına eşittir. Örnek 4: Kusursuz bir tavla zarı ve madeni para birlikte atıldığında, paranın yazı ve zarın 5 gelmesi olasılığı nedir? Örnek 4 Çözüm: Bu olaylar birlikte meydana gelebilen özellikte olup, birbirini engellemez. Bu nedenle çarpma kuralı kullanılmalıdır.

4-OLASILIK TEORİSİ Olasılık Kuralları Bazı olaylarda ise hem birlikte ortaya çıkma ve hem de birbirlerini engelleme söz konusu olabilir. Bu gibi olaylarda çarpma ve toplama kuralı birlikte kullanılır. Çarpma ve toplama kuralının birlikte kullanıldığı olay sayısı 2 ise (A ve B) formül Olay sayısı 3 (A,B ve C) olduğunda

4-OLASILIK TEORİSİ Olasılık Kuralları Örnek 5: Bir torbada 1’den 5’e kadar numaralanmış 5 beyaz, 6’dan 12’ye kadar numaralanmış 7 tane siyah bilye vardır. Bu torbadan yapılacak bir çekilişte çıkacak bilyenin beyaz veya tek numaralı olması olasılığını hesaplayınız.

4-OLASILIK TEORİSİ Olasılık Kuralları Örnek 5 Çözüm B : beyaz bilye T : tek sayılı bilye olmak üzere olayı Venn diyagramında gösterelim. iki olayın elemanlarından bazıları birbirlerini engelleyen özellikte iken bazıları da birlikte ortaya çıkma özelliğindedir. Sözgelimi, çift sayılı beyaz bir bilyenin gelmesi halinde tek sayılı beyaz bir bilye gelemez, oysa hem beyaz, hem de tek sayılı gelince iki olay birlikte ortaya çıkmış olmaktadır. Buna göre beyaz veya tek sayılı bilye gelme olasılığı

4-OLASILIK TEORİSİ Koşullu Olasılık Bir olayın ortaya çıkma olasılığı, daha önce ortaya çıkan başka bir olaya göre değişiyorsa sözü edilen olaylar arasında bağımlılık vardır ve koşullu olasılık kuralı uygulanır. A olayının meydana gelmesi koşulu ile B olayının ortaya çıkma olasılığı P(B/A) şeklinde gösterilir ve aşağıdaki formül yardımıyla hesaplanır.

4-OLASILIK TEORİSİ Koşullu Olasılık Örnek 6: 100 kişilik bir öğrenci grubunun 30’u kız ve 70’i erkek ve yine bu 100 kişinin yarısı 20 yaşında diğer yarısı da 21 yaşındadır. Seçtiğimiz öğrenci kız ise 20 yaşında olması ihtimali nedir? 20 yaşında ise erkek olması ihtimali nedir? 20 yaş 21 yaş Toplam Kız 18 12 30 Erkek 32 38 70 50 100

4-OLASILIK TEORİSİ Koşullu Olasılık Örnek çözüm 6:

4-OLASILIK TEORİSİ Koşullu Olasılık Örnek 7: Bir şehre su 1 ve 2 gibi iki kaynaktan iletilmektedir. A, B ve C borularında arıza görülme olasılıkları P(A)=0.15, P(B)=0.10 ve P(C)=0.02’dir. Şehrin tamamen susuz kalma olasılığı nedir?

4-OLASILIK TEORİSİ Koşullu Olasılık Örnek çözüm 7:

4-OLASILIK TEORİSİ Koşullu Olasılık Bayes Teoremi Bayes teoremi şartlı ihtimallerin hesaplanmasında kullanılan bir tekniktir. Kuralın amacı bir olayın ortaya çıkmasında birden fazla bağımsız nedenin etkili olması halinde bu nedenlerden herhangi birinin, o olayı yaratmış olması ihtimalini hesaplayabilmektir. ve Denklemlerinden yola çıkarak P(A).P(B|A)=P(B).P(A|B) şeklinde eşitlik elde edebiliriz. şekline çevirebiliriz

4-OLASILIK TEORİSİ Koşullu Olasılık Eğer B’yi etkileyen n sayıda birbirini engelleyen olayın veya nedenin (A1, A2, A3,…….An) bulunduğunu varsayarsak, Bayes kuralına göre B olayının Ai nedeninden kaynaklanmış olması ihtimali ile belirlenir. Formülde P(Ai) ile Ai olayının ihtimali, P(B|Ai) ile Ai olayının ortaya çıkmış olması halinde B’nin ihtimali gösterilmektedir.

4-OLASILIK TEORİSİ Koşullu Olasılık Örnek 8: Bir sınıftaki öğrencilerin %80’inin erkek olduğu biliniyor. Başarı oranı erkeklerde %60 ve kızlarda ise %70’dir. Şansa bağlı çekilen bir öğrencinin başarılı olduğu bilindiğine göre kız olma ihtimali nedir?

4-OLASILIK TEORİSİ Koşullu Olasılık Örnek çözüm 8:

4-OLASILIK TEORİSİ Koşullu Olasılık Örnek 9: Bir ev aletleri üreticisi firmanın A1, A2, A3 ve A4 olmak üzere 4 fabrikası bulunmakta ve toplam üretimin %15’i A1, %25’i A2, %20’si A3 ve %40’ı A4 fabrikasında gerçekleştirilmektedir. B ile kusurlu bir aletin bayi tarafından iade edilmesi olayı belirtilirse, P(B|A1)=0.03 ile A1 fabrikasının, P(B|A2)=0.02 ile A2 fabrikasının, P(B|A3)=0.01 ile A3 fabrikasının ve P(B|A4)=0.05 ile A4 fabrikasının kusurlu oranları ifade edilebilir. Bu duruma göre iade edilen bir aletin A3 fabrikasında üretilmiş olma ihtimali nedir?

4-OLASILIK TEORİSİ Koşullu Olasılık Örnek çözüm 9:

4-OLASILIK TEORİSİ Koşullu Olasılık Örnek 10: Bir bölgede seçmenlerin %40’ı A partisine %60 ise B partisine oy vermişlerdir. Bir kamuoyu yoklamasında A partisine oy verenlerin %30 ile B partisine oy verenlerin %70’i Avrupa Birliğine girmeyi desteklemektedirler. Bu bölgeden rastgele seçilen birinin Avrupa Birliğini desteklediği bilindiğine göre B partisinde olma ihtimali nedir?

4-OLASILIK TEORİSİ Koşullu Olasılık Örnek çözüm 10:

4-OLASILIK TEORİSİ Koşullu Olasılık Örnek 11: Elektrik ampulü üreten bir fabrikanın üretiminin %20’si A tipi, %80’ide B tipi ampullerden oluşmaktadır. Hatalı üretim oranı A tipi ampullerde %36, B tipi ampullerde ise %18’dir. Rasgele seçilen bir ampulün hatalı olduğu bilindiğine göre bu ampulün A tipi olma olasılığı nedir?

4-OLASILIK TEORİSİ Koşullu Olasılık Örnek çözüm 11:

4-OLASILIK TEORİSİ Permütasyon ve Kombinasyon Olasılık hesaplarının yapılmasında en önemli husus, olayın meydana gelebileceği yolların sayısı (N) ile istenen olayın meydana gelebileceği yolların sayısını (n) belirlemektir. Bu iki sayı belirlendikten sonra olasılık formülleri vasıtasıyla hesaplama kolayca yapılabilir. Olayların meydana gelebileceği sayısı belirlenirken permütasyon ve kombinasyon işlemleri uygulanabilir

4-OLASILIK TEORİSİ Permütasyon (Dizilem) İncelenen n bireyden her defasında r adedi alınarak, sıra gözetilmek kaydıyla, kaç farklı dizi oluşturulabileceği şeklindeki permütasyon formülü ile hesaplanır.

4-OLASILIK TEORİSİ Permütasyon (Dizilem) Örnek 12: 20 kişilik genel kurul toplantısında başkan, başkan yardımcısı ve sekreter olmak üzere 3 kişilik idare heyeti seçilecektir. Buna göre, A) İdare heyeti için kaç farklı heyet oluşturulabilir? B) Bilinen 3 kişiden A’nın başkan, B’nin başkan yardımcısı ve C’nin de sekreter seçilmesi olasılığı nedir?

4-OLASILIK TEORİSİ Permütasyon (Dizilem) Örnek çözüm 12: 3 pozisyon için yapılacak seçimde sıra gözetileceğinden (yani oluşturulan bir ABC heyetinde A başkan, B yardımcı, C sekreter iken, BAC heyetinde B başkan, A yardımcı ve C sekreterdir) permutasyon formülü kullanılır.

4-OLASILIK TEORİSİ Kombinasyon (Bileşim) İncelenen n bireyden her defasında r adedi alınmak ve sıra gözetilmemek kaydıyla oluşturulabilecek kombinasyon sayısı Permutasyonlarda değişik sıra değişik hal olarak sayılmakta idi ve örneğin abc harflerinden ikisini kullanarak meydana getirebileceğimiz permutasyonlar 3! (3−2)! tane idi. Değişik sıra değişik hal sayılmadığı, yani ba ve ab arasında fark gözetilmediği hallerde abc arasından seçeceğimiz iki harfi sadece ab, bc ve ca olarak sadece 3 şekilde yerleştirebiliriz.

4-OLASILIK TEORİSİ Kombinasyon Örnek 13: 10 profesörün bulunduğu bir gruptan seçilecek 3 kişilik jürinin istenen şahıslardan meydana gelme olasılığı nedir?

4-OLASILIK TEORİSİ Kombinasyon Örnek çözüm 13:

4-OLASILIK TEORİSİ Kombinasyon Örnek 14: 7 kadın ve 5 erkek arasından 3 kadın ve 2 erkek seçilerek kaç grup meydana getirebilir?

4-OLASILIK TEORİSİ Kombinasyon Aynı özellikte r1,r2, r3 bireyden oluşan n objenin meydana getireceği kombinasyon sayısı olarak ifade edilen multinom katsayısı ile hesaplanır. Örnek 15: 4 tarih, 3 felsefe ve 3 matematik kitabı olmak üzere toplam 10 kitap rafta kaç değişik şekilde sıralanabilir?

4-OLASILIK TEORİSİ Kombinasyon Örnek çözüm 15:

Biraz Kafa Yoralım 4-OLASILIK TEORİSİ Soru: 30 kişilik bir sınıfta en az iki kişinin doğum gününün aynı olma olasılığı nedir???