ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR PARÇALI FONKSİYONLAR PARÇALI FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ MUTLAK DEĞER FONKSİYONU MUTLAK DEĞER FONKSİYONU GRAFİKLERİ İŞARET FONKSİYONU İŞARET FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ TAM KISIM FONKSİYONU TAM KISIM FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ

PARÇALI FONKSİYONLAR TANIM: Tanım aralığının alt aralıklarında farklı kurallarla tanımlanmış fonksiyonlara, parçalı fonksiyonlar denir. ÖRNEK: f:R R, f(x) = f1(x) , x1  x  x2 f2(x) , x  x1 v x  x2 ise fonksiyonu parçalı bir fonksiyon olup x = x1, ve x = x2 noktaları tanım aralıklarının uç noktalarıdır ve bu noktalara fonksiyonun kritik noktaları denir.

PARÇALI FONKSİYONLARIN GRAFİĞİ Parçalı fonksiyonların grafikleri çizilirken, tanım aralığının her alt aralığındaki farklı kurallarla tanımlanmış fonksiyonların grafikleri ayrı ayrı çizilerek grafik belirlenir. ÖRNEK : f: R R , f (x) = x2 + 2x , x < 1 ise 0 , x = 1 ise -x + 2 , x > 1 ise fonksiyonunun grafiğini çiziniz.

1. y = x2 + 2x parabolünün (-, 1) aralığına karşılık gelen kısmı ÇÖZÜM : 1. y = x2 + 2x parabolünün (-, 1) aralığına karşılık gelen kısmı çizilir. 2. ( 1,0 ) noktası işaretlenir. 3. y = - x + 2 doğrusunun (1, + ) aralığına karşılık gelen kısmı alınır. Böylece f parçalı fonksiyonunun grafiği çizilmiş olur. 3 2 1 -1 -2 1 2

MUTLAK DEĞER FONKSİYONU TANIM : A  R , B  R olmak üzere f : A  B ye = f (x) = f(x) = -f (x) , f(x)  0 ise f (x) , f(x)  0 ise Şeklinde tanımlı fonksiyona, mutlak değer fonksiyonu denir.

ÖZELLİKLER : f(x)   0 olduğundan, f(x)  fonksiyonunun görüntü kümesi R+  {0} dır. f(x)  de f(x) = 0 denkleminin reel köklerine kritik noktalar denir. f(x)  fonksiyonunun grafiği bu noktalarda kırılma ya da kıvrılma yapar. f(x)  in tanımlanabilmesi için, f (x) in işareti bilinmelidir.

MUTLAK DEĞERLİ FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ f : A B, | f | (x) = | f (x) | = f (x), f (x) < 0 ise f (x), f (x)  0 ise dir. Bu tanıma göre mutlak değerli fonksiyonların grafikleri çizilirken aşağıdaki adımlar izlenir. 1. y = f (x) in grafiği çizilir. (x, f (x) ) noktalarının x eksenine göre simetriği (x , -f (x) ) olduğundan 2. f (x) < 0 olduğu kısımların (x ekseninin altında kalan parçaların ) x eksenine göre simetriği alınır. 3. f (x) 0 olduğu kısımlarda |f (x) | = f(x) olduğundan , fonksiyonun grafiği aynen kalır.Böylece, | f(x) | grafiği çizilmiş olur.

f : R R , f (x) = | 4-2x | fonksiyonunun grafiğini çiziniz. ÖRNEK : f : R R , f (x) = | 4-2x | fonksiyonunun grafiğini çiziniz. ÇÖZÜM : Önce mutlak değer içinin işareti incelenir: 4 – 2x = 0  x = 2 4 0 2 x y x - 2 +  4-2x + - 4-2x , x  2 ise 2x- 4 , 2 < x ise f (x) = | 4- 2x | =

İŞARET (SİGNUM) FONKSİYONU : TANIM : R R , y = f (x) fonksiyonu verilsin ; y = sgn f (x) = -1 , f (x)  0 ise, 0 , f (x) = 0 ise, 1 , f (x) >0 ise, biçiminde tanımlanan fonksiyona, f ‘in işaret (signum) fonksiyonu denir.

ÖZELLİKLER : sgn f (x) fonksiyonu sadece –1 , 0 , 1 değerlerini alabilir. O halde sgn f (x) fonksiyonunun görüntü kümesi; {-1,0,1} dir. sgn f (x) in tanımlanabilmesi için f (x) in işareti bilinmelidir. sgn f (x) fonksiyonunda, f (x) = 0 denkleminin köklerine, kritik noktalar denir. İşaret fonksiyonu bu kritik noktalarda sıçrama yapar.

ÖRNEK : sgn (x2-3x) = - 1 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ÇÖZÜM : x2 – 3x fonksiyonunu negatif yapan değerler kümesi bulunmalıdır. x2- 3x < 0  x (x-3) < 0 x (x-3) = 0  x = 0 v x = 3 x - 0 3 + x2-3x + _ o halde çözüm kümesi Ç = ( 0 , 3 ) bulunur.

İŞARET FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ y = sgn f (x) in grafiği çizilirken aşağıdaki aşamalar izlenir. 1. f (x) fonksiyonunun grafiği çizilir. 2. f (x) fonksiyonunun grafiğinin; x ekseni üstünde kalan kısımlar için, y =1 doğ. çizlr. x ekseni altında kalan kısımlar için, y = -1 doğ. çizlr. x eksenini kestiği noktalar için, y = 0 işaretlenir

f : [ - ,  ] R , f (x) = sgn ( sin x) ile tanımlı fonksiyonun ÖRNEK: f : [ - ,  ] R , f (x) = sgn ( sin x) ile tanımlı fonksiyonun grafiğini çiziniz. ÇÖZÜM : Fonksiyonla ilgili grafik ve tablo aşağıdaki gibi çizilir. - 0  1 -1 x y x - 0  sin x - + f (x) -1 1

TAM KISIM FONKSİYONU TANIM : [x] x R olmak üzere, x ten büyük olmayan en büyük tam sayıya, x in tam kısmı denir. Ve bu sembolü ile gösterilir. Yani; [x] a  Z olmak üzere a  x < a+1  = a dır.

[ ] [ ] [ ] ÖRNEK : f: R R , f(x) = fonksiyonu veriliyor. f(-1) görüntüsünü bulunuz. 2x-1 5 [ ] ÇÖZÜM : f(x) =  f (-1) = = = -1 dir. 2x-1 5 [ ] 2(-1) -1 [ ] -3

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ÖZELLİKLER : x, y  R , x+y  x + y dir. [ ] [ ] x, y  R+ , x .y  x . y dir. [ ] [ ] x, y  R , x = y ise | x-y | < 1 dir. [ ] [ ] -x = -x , x  Z ise - x -1 , x  R – Z ise

TAM KISIM FONKSİYONU GRAFİĞİ [ ] [ ] f: A  R Z , f (x) = g (x) in grafiğini çizerken şu aşamalar izlenir. [ ] 1. Aralık uzunluğu belirlenir. 2. Tanım aralığı aralık uzunluğuna göre ve uç noktalar aralık uzunluğunun tam katı olacak biçimde bölünür. 3. Her aralıktaki f (x) = g (x) ‘ler belirlenip, grafik çizilir. [ ]

[ ] ÖRNEK : f : [-6 , 5] R , f (x) = grafiğini çiziniz. ÇÖZÜM : [ ] X 3 ÇÖZÜM : 1. Aralık uzunluğu 1 3 tür. Buna göre, uç noktalar 3 ün tam sayı katı olacak biçim de tanım aralığı bölünür. 2. [-6 , 5] aralığını bölerek f (x) i parçalı fonksiyon biçimde tanımlayalım.

[ ] -6  x  -3  = -2 -3  x  0  = -1 -6 -3 0 0  x  3  = 0 -6 -3 0 3 5 -1 -2 1 -6  x  -3  = -2 -3  x  0  = -1 0  x  3  = 0 3  x  5  = 1 [ ] X 3