Bazı kelimeler Pivot: that upon or around which something turns or depends; the central, cardinal or crucial factor, member, part, etc. Orthogonal: right-angled, rectangular ortho-: a combining form meaning:a) straight, b) upright, c) right; correct; proper

Dik vektörler ve ortogonal altuzaylar İki boyutlu uzayı örten bir baz vektörleri kümesi: Bir başka baz vektörleri kümesi: Bu bazların oluşturduğu uzayları canlandıralım B1B1 B2B2 Cebirsel bakış açısı Geometrik bakış açısı

Dik baz vektörleri ortagonal baz Ortogonal bazı nasıl oluşturabiliriz? önce bir vektörün boyu ……. vektörlerin dikliğinin testi….. lineer bağımsız vektörlerden dik vektörler oluşturmak….

Vektörün boyu Boyut iki ise: Boyut üç ise: Boyut n ise:

x ve y acaba birbirlerine dik mi? Aradığımız diklik için bir test: Pisagor eşitliğine dikkatle bakalım x ve y birbirine dik ise:

?

Son olarak: olmak üzere, x ve y ’nin iç çarpımı olarak tanımlanır. Lineer bağımsız vektörler ve dik vektörler : aralarındaki ilgi nedir? lineer bağımsız vektörlerden oluşmaktadır Bununun doğru olduğunu gösterelim

Tanıt: x i ‘ler dik ama lineer bağımlı olsun. bunlar nasıl büyüklükler ‘ler dik ■

En bilindik ortogonal vektörler kümesi…. birim vektörler (unit vectors) her birinin boyu veOrtonormal baz

Ortoganal altuzaylar V ve W aynı U uzayının alt uzayları olsun. V alt uzayı ile W alt uzayı ortoganal altuzaylardır. Üç boyutlu uzayda, bir düzlem bir düzleme dik olabilir mi?

Bir, iki örnek….. ve Ortogonal alt uzaylar mı? Peki, P 1,l 1 ve l 2 ortogonal mi?

Önemli dört alt uzayı hatırlıyor musunuz? Ax=b ile ilgili dört alt uzay Temel alt uzaylar (Fundamental Subspaces) *Sütun uzayı R (A) *Satır uzayı R (A T ) *Sıfır uzayı N (A) *Sol sıfır uzayı N (A T ) Acaba bunlar ortogonal mi?

N (A) ve R (A T ), R n ‘in alt uzayları nasıl bunu söylüyoruz? N (A T ) ve R (A), R m ‘in alt uzayları N (A) R (A T ) ( R n de); N (A T ) R (A) ( R n de); Bu satırın ispatını daha önce yapmıştık, hatırlıyor musunuz?

olduğunu gösterinizveise

olduğunu gösterinizveise

Bu hafta biraz soru çözelim…. Genel çözümü belirleyiniz? a)Tüm çözümleri bulunuz b)Sağ taraf için çözümleri bulunuz Bu vektörler lineer bağımlı mı?

A 64X17 boyutunda rankı 11 olan bir matris olsun. Ax=0 ’ı ve A T y=0 ’ı sağlayan lineer bağımsız vektörlerin oluşturduğu kümelerde kaç tane vektör vardır? Matrisinin satırlarından R 3 için bir baz ve sütunlarından R 2 için bir baz oluşturmak mümkün müdür? Değilse ne önerirsiniz? Dört temel uzay için baz vektörlerini belirleyiniz