Lineer olmayan dinamik bir sistemin davranışını

... konulu sunumlar: "Lineer olmayan dinamik bir sistemin davranışını"— Sunum transkripti:

1 Lineer olmayan dinamik bir sistemin davranışını
incelemek için ne yapabiliriz? Hatırlatma Durum portresi dinamik sistemin davranışı hakkında fikir veriyor, nasıl elde ederiz?

2 Lineer olmayan sistemin davranışını denge noktası
civarında incelemek için ne yapmalıyız? Denge noktalarını bulun, ... Denge noktaları civarındaki davranışını yaklaşık olarak nasıl ifade ederiz? Hatırlatma: Taylor Serisi bir vektör ise ne yaparız?

3 Jakobiyen Matrisi Böylece lineer olmayan sistem denge noktası civarında lineer bir sisteme dönüştü. Denge noktalarını bulup, denge noktaları civarında lineerleştirmek, bir yol, her zaman mümkün mü? Hayır Ancak lineerleştirerek elde ettiğimiz matrisin özdeğerleri sol veya sağ kompleks yarıdüzlemde ise bu mümkün. Aksi taktirde yüksek mertebeden terimlerin etkisine bakmamız gerek.

4 Van der Pol Osilatörü Bu eğriler nasıl çizildi? Eksenlere dikkat

5 Bu şekilin öncekinden farkı ne?
Bu şekil neyi gösteriyor?

6 Nasıl elde edildiler?

7 Bir örnek Kararlı odak Eyer

8 Bakteri üretmek için bir ortam: statik kimyasal ortam (Chemostat)
Bir örnek daha Bakteri üretmek için bir ortam: statik kimyasal ortam (Chemostat) Bakteri yoğunluğu Sf. 193 Besin konsantrasyonu

9 Bir örnek: iki av bir avcı sistemi
İki av ve bir avcıdan oluşan bir sistemi ele alacağız. Bu sistemde avının nüfusu avcı olmadığında lojistik düzende artmakta. Avcı, av olmadığında ölmekte ve avının nüfusuda avcı olmadığında üstel olarak artmaktadır. Bu üç canlı grubunun bir arada denge durumunda varlığını sürdürmesinin mümkün olup olmadığını Routh-Hurwitz’den yararlanarak belirleyiniz. y’yi yemekten dolayı nüfusun artışı z’yi yemekten dolayı nüfusun artışı Ölümlülük avcı av Avcının ölümlülüğü Avcı yok iken nüfusun artışı Avcının ölümlülüğü Lojistik artış Leah Edellstein-Keshet, «Mathematical Models in Biology», Birkhauser Mathematics Series, 1988

10 Denge noktalarının belirlenmesi:
Biyolojik olarak anlamlı olduğu değerler

11 Jakobiyen matrisi:

12 Özdeğerlerin hesaplanması:

13 Bu koşullar sağlanıyor mu?:
Biyolojik olarak anlamlı olduğu değerler Üçüncü koşula bakalım: