Kaos’a varmanın yolları DüzenKaos Nasıl? Umulmadık yapısal değişiklikler ile Bu nasıl oluşabilir? Ardışıl bir dizi dallanma ile, peryod katlanmasına yol açan dallanmalar ile durum uzayındaki davranış değişmeye başlayıp durum uzayında kalıcı çözüm tuhaf çekiciye dönüşebilir. Bir örnek: Lorenz Sistemi Denge noktaları Hangi dallanma?
Lineerleştirelim: Özdeğerler Ne zaman kararlı, ne zaman kararsız ? Lineerleştirelim: Özdeğerler
Denge noktalarının var olması için olmalı
Gerçekten Kaos mu? Anlamanın bir yolu Lyapunov üstelini hesaplamak Lyapunov üsteli ilk koşula duyarlılığın bir ölçütü Biraz farklı bir ilk koşuldan başlamanın getirdiği hata Biraz farklı bir ilk koşuldan başlamanın getirdiği bağıl hata
Biraz farklı bir ilk koşuldan başlamanın getirdiği hatanın değişimi Biraz farklı bir ilk koşuldan başlamanın getirdiği hatanın değişimini biraz farklı yazarsak için benzer şekilde hatanın değişimini hesaplayalım E. Ott, “Chaos in Dynamical Systems”, Cambridge University Press, 1993.
İlk değerler arasındaki fark Hata E. Ott, “Chaos in Dynamical Systems”, Cambridge University Press, 1993.
n adım sonundaki hatanın değişimi hatanın tanımından Lyapunov üsteli Bu ifade sadece ayrık zaman için mi?
Dinamik sistem: (T, X, φ t ) T=R sürekli zaman T=Z ayrık zaman X durum uzayı T zaman X=R n X=C n φ t : X X a1) φ 0 =I a2) φ t+s =φ t ◦ φ s ▪ Dinamik sistemi en genel olarak bu yapıda tanımlamıştık. Sürekli ve ayrık zaman için de aşağıdaki gibi ifade etmiştik. * ¤ Sürekli zamanAyrık zaman Ayrık zaman için sağ tarafa eşit ancak sürekli zaman için belirlenmesi o kadar kolay değil, Lyapunov üstelinin ifadesinde gözüken f (*) sistemi için hesaplanması gereken bir dönüşüm, ancak ( ) sistemi için verilen denklemin sağ tarafı, dolayısıyla sürekli zamanda ifade biraz değişiyor: φtφt ¤
ile verilen lineer sistem için hesaplarsak a<0 kararlı a>0 kararsız Lyapunov üsteli ayrık zaman sürekli zaman
‘e geri dönersek için Asimptotik kararlı denge noktası veya limit çevrim kararlı denge noktası kararsız denge noktası veya kaos
Doğrusal olmayan sistemleri incelemenin bir başka yolu Tanımlayıcı Fonksiyonlar Metodu (Describing Functions Method) f(x)G(jw) -x(t)r(t)=0u(t)x(t) - + tek fonksiyon ve Bu sistemin yanıtı periyodik bir işaret olması için f(x), G(jw) nasıl seçilmeli? Doğrusal olan kısımı ifade ettiğimiz gibi doğrusal olmayan kısımı da frekans tanım bölgesinde nasıl ifade edebiliriz?
Amaç: olmasını sağlamak f(x)G(jw) -x(t)r(t)=0u(t)x(t) periyodik bir fonksiyon tek fonksiyon Fourier serisi sadece ilk terimler alınacak
u(t) için yapılan yaklaşıklığı gözönüne alarak yeniden sisteme dönersek: tanımlayıcı fonksiyon
Bir örnek: Van der Pol Osilatörü G(jw) -x(t)r(t)=0u(t)x(t) X jw (.) 2 Frekans tanım bölgesinde