LİMİT ve SÜREKLİLİK

Matris Limit Türev - İntegral Matematik II Mesleki Matematik Yandık!

X 1.8 1.9 1.99 1.99999 2 2.00001 2.001 2.1 2.2 y 5.832 6.859 7.8805 7.9998 8.0001 8.012 9.261 10.648

Eğer x değişkeni a sayısına a dan büyük değerlerle yaklaşıyorsa bu tür yaklaşmaya sağdan yaklaşma denir ve ile gösterilir. Eğer x değişkeni a sayısına a dan küçük değerlerle yaklaşıyorsa bu tür yaklaşmaya soldan yaklaşma denir ve ile gösterilir.

Arkadaşlar bu konuyu tekrar etmez isek çabucak unutabiliriz

* * a>1 olmak üzere: * * olmak üzere:

ile ilgili işlemler aşağıdaki gibi tanımlanır.

Limit Theoremleri

Limit Kuralları Ex. Ex.

Örnekler

More Examples

Süreklilik Eğer fonksiyon x = a noktasında sürekli ise f(a) a

Limits at Infinity Sonsuz For all n > 0, provided that is defined. Divide by Ex.

More Examples

Örnek limit

limit = - 5

limit

limit 5 calculate one sided limits 7 x =2 de limit yoktur

Arkadaşlar bu konuyu tekrar etmez isek çabucak unutabiliriz

ifadesinin değeri kaçtır? Örnek: 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 𝑥 2 +4𝑥−3 ifadesinin değeri kaçtır?

Uyarı: 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞ 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑥 =0 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞ 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑥 =0 dır. Kurallar 1) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞ 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑥 =0 Kurallar 1) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑥 =1 2) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑥 =1 3) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 =1 4) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑡𝑎𝑛𝑥 =1 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞ 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑥 =0 dır.

ifadesinin değeri kaçtır? Örnek: 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 𝑥+2.𝑠𝑖𝑛𝑥 2.𝑡𝑎𝑛𝑥−3𝑥 ifadesinin değeri kaçtır?

Pay ve paydayı x e bölelim Çözüm: Pay ve paydayı x e bölelim 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 𝑥 𝑥 +2. 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑥 2. 𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑥 −3 𝑥 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 1+2. 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑥 2. 𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑥 −3 = 1+2.1 2.1−3 = 3 −1 =−3

1) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞ 1 𝑥 =0 2) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−∞ 5 𝑥 3 +2005 =0 3) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 −3 𝑥 2 +𝑥 =∞ 4) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 2 1+𝑥 .𝑥 =∞ Not: 𝑠𝑎𝑦𝚤 𝑠𝚤𝑓𝚤𝑟 =𝑠𝑜𝑛𝑠𝑢𝑧 𝑠𝑎𝑦𝚤 𝑠𝑜𝑛𝑠𝑢𝑧 =𝑠𝚤𝑓𝚤𝑟

Limitte Belirsizlik Durumları 0 0 , ∞ ∞ , 0 0 , ∞ ∞ , ∞−∞, 0.∞ biçimindeki belirsiz ifadeleri aşağıdaki Örneklerle ele alacağız.

ifadesinin değeri kaçtır? ifadesinin değeri kaçtır? Örnek: 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 𝑥 2 −4 𝑥−2 ifadesinin değeri kaçtır? Örnek: 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 (𝑥+1) 2 −1 𝑥 ifadesinin değeri kaçtır? Örnek: 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 𝑥 2 −3𝑥+2 𝑥 2 +2𝑥−3 ifadesinin değeri kaçtır? Örnek: 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−2 𝑥 2 −2𝑥−8 𝑥+2 ifadesinin değeri kaçtır?

ifadesinin değeri kaçtır? Örnek: 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 𝑥+1 −1 𝑥 ifadesinin değeri kaçtır? Örnek: 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 𝑥 3 −1 𝑥 2 −1 ifadesinin değeri kaçtır?

Payın derecesi büyük ise sonuç; +∞ veya −∞ dur. Pay ile paydanın derecesi aynı ise, büyük dereceli ifadelerin katsayıları birbirine oranlanır. b) Payın derecesi büyük ise sonuç; +∞ veya −∞ dur. c) Paydanın derecesi büyük ise, sonuç 0 dır. Uyarı: 𝑃(𝑥) ve 𝑄 𝑥 birer polinom olmak üzere, 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∓∞ 𝑃(𝑥) 𝑄(𝑥) limiti hesaplanırken, 𝑃(𝑥) ve 𝑄 𝑥 in en büyük dereceli terimlerinin dışındaki bütün terimleri ihmal edilir. Yani sadece en büyük dereceli terimleri hesaba katılarak limit bulunur.

1) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞ 4𝑥 3 −8 2 𝑥 3 +𝑥 2 = 4 2 =2 2) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞ 𝑥 5 +4𝑥−1 𝑥 3 −2𝑥 =∞ 3) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−∞ 𝑥 2 −𝑥 𝑥 3 +𝑥 =0 4) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−∞ 𝑥 5 +2𝑥 𝑥 4 +3 =−∞ 5) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞ 𝑥 2 +30 𝑥 6 =0 6) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−∞ 𝑥 2 −3 𝑥 2 =1

7) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞ 𝑥 3 −2𝑥+5 1−𝑥 4 =0 8) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞ 2𝑥 3 +𝑥−6 𝑥 2 −3 =∞ 9) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞ 2𝑥 5 +4𝑥 1−4𝑥 5 −2𝑥 = 2 −4 =− 1 2

ifadesinin değeri kaçtır? Örnek: 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 𝑥 3 −8𝑥+16 𝑥 4 −4𝑥 ifadesinin değeri kaçtır? 𝑎𝑥+3=2𝑥−1 𝑎.(−2)+3=2.(−2)−1 −2𝑎+3=−4−1 −2𝑎+3=−5 −2𝑎=−5−3 −2𝑎=−8 𝑎=4 Örnek: 𝑓 𝑥 = 2𝑥−1, 𝑥<−2 &𝑎𝑥+3, 𝑥≥−2 𝑥=−2 de limiti var ise a kaçtır?

Örnek: 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞ 𝑎 𝑥 2 −𝑥+1 4−𝑥 2 +𝑏 =6 olduğuna göre, 𝑎−𝑏 kaçtır?

Not: Bütün sayıların (Sıfır hariç) −∞ kuvveti 0 dır. Örnek: 5 −∞ =0 10 −∞ =0

limitinin değeri kaçtır? Örnek: 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 (𝑥+𝑦) 2 − 𝑦 2 𝑥 limitinin değeri kaçtır? = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 𝑥 2 +2𝑥𝑦+𝑦 2 − 𝑦 2 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 𝑥 2 +2𝑥𝑦 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 𝑥.(𝑥+2𝑦) 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 𝑥+2𝑦 =2𝑦

AÇIK ÖĞRETİM SINAVLARINDA ÇIKMIŞ LİMİT SORULARI

SORU 1: olduğuna göre, 𝑎 kaçtır? 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−2 2𝑥+𝑎 4𝑥+1 =3 A) −25 B) −17 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−2 2𝑥+𝑎 4𝑥+1 =3 olduğuna göre, 𝑎 kaçtır? A) −25 B) −17 C) −3 D) 0 E) 13

SORU 2: değeri kaçtır? 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞ 4 𝑥 2 −2𝑥+200 2 𝑥 2 +40000 A) −2 B) −1 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞ 4 𝑥 2 −2𝑥+200 2 𝑥 2 +40000 değeri kaçtır? A) −2 B) −1 C) 0 D) 1 E) 2

SORU 3: değeri aşağıdakilerden hangisidir? 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞ 𝑥 3 −10 𝑥 2 +1 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞ 𝑥 3 −10 𝑥 2 +1 değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) −∞ B) 0 C) 1 D) 3 E) ∞

SORU 4: 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞ 2 𝑥 2 değeri kaça eşittir? A) 0 B) 1 2 C) 1 D) 2 E) ∞

Soru 5: 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−6 12.(𝑥+6) 𝑥 2 −36 değeri kaçtır? A) 12 B) 1 C) 0 D) −1 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−6 12.(𝑥+6) 𝑥 2 −36 değeri kaçtır? A) 12 B) 1 C) 0 D) −1 E) −12

𝐴) 0 𝐵) 1 2 𝐶) 1 𝐷) 2 𝐸) ∞ 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞ 𝑥+14 2 𝑥 2 −𝑥+1 değeri kaçtır? SORU 7: 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞ 𝑥+14 2 𝑥 2 −𝑥+1 değeri kaçtır? 𝐴) 0 𝐵) 1 2 𝐶) 1 𝐷) 2 𝐸) ∞

fonksiyonu aşağıdaki noktalardan hangisinde süreksizdir? Soru 8: 𝑓 𝑥 = 2𝑥−4 𝑥−3 fonksiyonu aşağıdaki noktalardan hangisinde süreksizdir? 𝐴) 0 𝐵) 1 𝐶) 2 𝐷) 3 𝐸) 4