% A10 B20 C30 D25 E15 Toplam100

 Aynı grafik türü (Column-Sütun) iki farklı veri grubu için de kullanılabilir. 1. Sınıflar2. Sınıflar A1015 B20 C3015 D25 E1525 Toplam100

 İki farklı grubun gözlem değerlerinin toplamları birbirinin üstüne eklenerek grafik haline getirilebilir: Sınav 1Sınav 2Toplam A B20 40 C D25 50 E Toplam

DERS 5: Özet Göstergelerle Toplu Verileri Anlamlandırma (Basic Descriptives) Akın Şahin

 Bu ölçüler sayesinde, gruplama, grafik çizme, tablo yapma gibi işlemler yerine tek bir rakam ile elimizdeki bütün hakkında fikir sahibi olabiriz.  En yaygın kullanılan üç merkezi eğilim ölçüsü: ◦ 1. Aritmetik ortalama (Mean, Average) ◦ 2. Medyan (Median) ◦ 3. Mod (Mode)  Eğer özellikle farklı bir şekilde belirtilmemişse, tek başına “ortalama” kelimesi “aritmetik ortalama” anlamında kullanılır. : Mean

 En çok kullanılan merkezi eğilim ölçüsüdür.  Bir seriyi oluşturan gözlem değerleri toplamının gözlem sayısına oranıdır. ◦ Gözlem değerleri (data): 2, 3, 5 ◦ Gözlem sayısı: 3 ◦ Aritmetik Ortalama (mean): (2+3+5)/3 = 3.3  Bir serideki her gözlemi (gözlenen ölçümü) “X” harfi ile gösterecek olursak ve aritmetik ortalama için (X-Bar) sembolünü kullanacak olursak; aritmetik ortalamayı aşağıdaki formülle gösterebiliriz: Bu gösterimde “n” serideki gözlem sayısını ifade etmektedir.

 Bu formulü biraz daha sadeleştirmek için sembollerin yardımına başvurursak, aynı eşitliği aşağıdaki gibi ifade edebiliriz:  Toplama işaretinin altındaki ifade [bu formulde (i=1)] X’in hangi gözleminden itibaren toplamanın başlayacağı, üstündeki sembol ise (n) nerede biteceğini gösterir. Aritmetik ortalama tanımına tekrar göz atacak olursak, zaten tüm gözlem değerlerinin hesaba katılması gerektiği için formul pratikte kutu içinde görülen sade hali ile kullanılır.

 Örnek: Xf X1X1 22 X2X2 33 X3X3 42 X4X4 51

Xf X1X1 22 X2X2 33 X3X3 42 X4X4 51 ∑ (f) = 8

 Örnekteki gözlemlerin toplamını açık yazarsak:  Xf X1X1 22 X2X2 33 X3X3 42 X4X4 51 ∑ (f) = 8

 Tek tek toplamak yerine, basit çarpma işlemiyle gözlem değerlerinin toplamını bulabiliriz: XfX.f X1X1 224 X2X2 339 X3X3 428 X4X4 515 ∑ (f) = 8∑ (X.f) = 26

 Bu durumda formülümüz:

 Örneğimiz üzerinden formülü uyguladığımızda:  26/8 = 3,25 XfX.f X1X1 224 X2X2 339 X3X3 428 X4X4 515 ∑ (f) = 8∑ (X.f) = 26

Gruplandırılmış frekans serilerinde de, bir önceki verilen formül uygulanarak aritmetik ortalama hesaplanır. Dikkat edilmesi gereken tek şey, gruplanmış verilerde grup içerisinde yer alan tüm gözlemlerin grubun orta noktasında yer aldığı varsayımıdır. Aşağıdaki serinin aritmetik ortalamasını hesaplayınız:

İlk işlem olarak “Xf” değerlerini hesaplamamız için gereken, önce X değerlerini bulmak, diğer bir ifade ile her grubun (sınıfın) orta noktasının olduğu bir sütun daha işlem tablomuza eklemek: Devamında “X çarpı f” değerlerini hesaplanıp, toplama işlemleri yapılarak formülün gerektirdiği sayılar yerlerine yerleştirilir ve bölme işlemi yapılarak sonuç bulunur.

 Gözlemlerin aritmetik ortalaması, eğer gözlem değerleri birbirine çok uzak ise bazen elimizdeki veriler hakkında yeterli bilgiyi vermeyebilir. Tek başına kullanıldığı zaman birçok yanılgıya yol açabilir.  Bir gözlem serisinde tam ortaya düşen, dolayısıyla seriyi iki eşit kısma bölen gözlem değeridir.  Medyan hesaplaması için gözlem değerleri büyüklük sırasına konmalıdır (istatistik serisi oluşturulmalıdır) Bir istatistik serisinde, n serideki gözlem sayısı olmak üzere aşağıdaki formül ile medyan noktası saptanır: Verilen seriyi tam ortadan ikiye bölen değer 3. gözlem değeridir. Dolayısıyla bu seride medyan 15’tir.

 Eğer medyan noktası bir tam sayı değil ve iki gözlemin ortasındaki bir noktayı işaret ediyorsa, bu tür durumlarda medyan tam ortaya düşen iki gözlem değerinin aritmatik ortalaması alınarak hesaplanır.

 Frekans serilerinde de medyan noktası aynı formül ile (n+1/2) bulunur, serideki hangi gözlem değerinin olduğu ise birikimli (cumulative) frekans yardımı ile bulunur.  Örn: Yandaki serinin medyanı kaçtır? ÇÖZÜM: -Önce medyan noktasını bulalım ( ): (16+1)/2 = 8.5  Medyanı 8. ve 9. gözlemlerin ortası, diğer bir ifade ile 8. ve 9. gözlemlerin aritmetik ortalaması olarak bulacağımızı saptadık. Sırada 8. ve 9. gözlem değerlerini bulmak var. Bunun için de birikimli (cumulative) frekanslar tabloya eklenir. 8. ve 9. gözlemlerin her ikisinin de gözlem değeri 15 olduğu için, medyan değeri de 15’tir.

 Bir seride en çok tekrarlanan değerdir. Tepe değer olarak da isimlendirilir. ◦ Basit serilerde ve frekans serilerinde mod, en çok tekrarlanan gözlem değerinin belirlenmesi ile kolayca anlaşılır. ◦ Her dağılımda mod olmak zorunda değil. Modsuz bir dağılım olabilir. Aynı zamanda birden fazla modlu dağılım da olabilir.