Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

20.02.2016 B E T O N A R M E SAYFA1 ADİL ALTUNDAL Prof. Yük. Müh. Adil ALTUNDAL Sakarya Üniversitesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "20.02.2016 B E T O N A R M E SAYFA1 ADİL ALTUNDAL Prof. Yük. Müh. Adil ALTUNDAL Sakarya Üniversitesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü."— Sunum transkripti:

1 B E T O N A R M E SAYFA1 ADİL ALTUNDAL Prof. Yük. Müh. Adil ALTUNDAL Sakarya Üniversitesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü Sakarya Ekim 2015 Basit Eğilme Tesirindeki Dikdörtgen Kesitler 2. Dengeli Donatılı Kirişler

2 Dengeli Donatılı Kirişlerde Taşıma Gücü Hesabı: Kırılma çeşitleri incelenirken, dengeli donatılı kirişlerdeki kırılmanın gevrek kırılma olduğu (istenmeyen bir kırılma şekli olduğundan), şartnamelerin bu tür donatılı kirişlere izin vermediği belirtilmişti. Ancak, dengeli donatılı kirişler, sınır durumda olması dolayısıyla burada dengeli donatılı kirişlerde taşıma gücü hesabı anlatılacaktır. SAYFA2 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER

3 Dengeli donatılı kirişlerde deformasyon ve kuvvet diyagramları yapılan eşdeğer dikdörtgen basınç bloğu kabulü sonunda aşağıdaki gibi olur. SAYFA3 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER

4 Betonun ezilmesi ve donatının akmasının aynı anda olması durumunda; Yatay Denge denklemleri, Kesite tesir eden Momentin iç kuvvetlerin momentine eşit olacağı ifadesini kullanarak Kesitin taşıyabileceği M b momenti Ve bunun için çekme bölgesine konulması gereken A sb çekme donatısı araştırılacaktır. Dengeli haldeki donatıya A sb denilecektir. SAYFA4 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER

5 SAYFA5 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER a)  x=0 Yatay denge denklemi: F c =F s F c =0,85*f cd *k 1 *x b *b w F s =A sb * f yd Beton ve çeliğin hesap mukavemet değerleri kullanılarak kesitin taşıma gücü momenti hesaplanacaktır. A sb *f yd = 0,85*f cd *k 1 *x b *b w A sb = 0,85*(f cd / f yd )*k 1 *x b *b w

6  b =A sb / b w *d ifadesinden A sb =  b *b w *d  b *b w *d=A sb =0,85*(f cd / f yd )*k 1 *x b *b w  b = 0,85*(f cd / f yd )*k 1 *(x b /d) k x = (x b / d) Olarak tarif edilir, tarafsız ekseni veren yardımcı değerdir. Tarafsız eksen x b =k x *d Dengeli donatı oranı  b = 0,85*(f cd / f yd )*k 1 *k x Dengeli donatı miktarı ise A sb =  b *b w *d SAYFA6 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER  b =0.85*(f cd / f yd )*k 1 *k x A sb =  b *b w *d k x bağlı

7 b)  M=0 İç kuvvetlerin momenti = dış kuvvet momenti M b = F s *z = F c *z z= d - (k 1 * x b ) / 2 (Şekilden yazılabilir) x b =k x *d z= d - (k 1 *k x *d ) / 2 z= d [1- (k 1 *k x ) / 2 ] k z ; manivela kolunu veren yardımcı değerdir. manivela kolu z= k z *d olarak bulunur. Görüldüğü gibi manivela kolu k z değerine dolayısıyla beton sınıfına (k 1 ) ve k x değerine bağlıdır. SAYFA7 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER k z = 1- (k 1 *k x ) / 2 kzkz z = k z *d k x bağlı

8 M b = F s *z = F c *z ifadesinde F c, F s, z için değerleri yerine yazılırsa Dengeli moment aşağıdaki ifade ile bulunabilir. M b = 0.85*f cd *k 1 *x b *b w *z M b = A sb *f yd *z Görüldüğü gibi dengeli donatı ile taşınabilen moment; malzeme, kesit ve tarafsız eksenin yerine bağlıdır. SAYFA8 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER M b = A sb *f yd *z M b = F s *z M b = F c *zM b == 0.85*f cd *k 1 *x b *b w *z x b bağlı

9 Tarafsız eksen mesafesinin bulunması: x b = k x *d Birim deformasyon diyagramı üzerinde tales bağıntısı yazılırsa;  cu /x b =  sy /d-x b bulunur. Deformasyon diyagramındaki orantı özelliğinden  cu / x b =  sy / (d-x b )= (  sy +  cu ) / d  cu / x b = (  sy +  cu ) / d x b / d=  cu /(  cu +  sy ) yazılabilir. SAYFA9 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER

10 Betonun ezilme durumunda deformasyon oranı  cu =0.003 Ve Çelikteki Hooke kanunu akma durumunda;  s =  s *E s f yd =  sy *E s  sy =f yd / E s uygulanırsa x b / d =  cu /(  cu +  sy ) x b / d = / ( f yd / E s ) x b / d= 0.003*E s / (0.003*E s +f yd ) k x = x b / d k x =0.003*E s / (0.003*E s +f yd ) Tarafsız eksenin bulunmasını sağlayan yardımcı değer k x ve bunun ile de tarafsız eksen mesafesi x b bulunur. SAYFA10 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER k x =0.003*E s / (0.003*E s +f yd ) x b =k x *d

11 Dengeli donatı durumunda, tarafsız eksenin bulunmasını sağlayan k x değeri ile manivela kolunun bulunmasını sağlayan k z değerleri sadece malzemeye bağlıdır. SAYFA11 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER x b =k x *dk x =0.003*E s / (0.003*E s +f yd ) z = k z *dk z = 1- (k 1 *k x ) / 2

12 SAYFA12 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER E s = 2*10 5 N/mm² olduğu kabul edilirse k x = 600 / (600+f yd ) olarak da bulunabilir. Donatı cinsine göre k x ve k z değerleri aşağıda verilmiştir. k x = 600 / (600 + f yd )

13 Dengeli donatı oranı  b sadece malzemeye bağlı olarak bulunabilir. Normal betonlar (C16-C25) için k 1 =0.85 ve beton ile çeliğin f cd, f yd değerleri yerine konursa dengeli donatı oranları aşağıdaki gibi bulunabilir. SAYFA13 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER

14 Kesit ve malzeme verildiği takdirde dengeli kırılmayı sağlayan donatı miktarı: A sb =  b *b w *d Bu donatı miktarıyla kesitin taşıyabileceği dengeli moment M b = A sb *f yd *z Burada z= k z *d ile bulunacaktır. k z ve  b değerleri tablolardan Dengeli kırılma halinde beton ve çeliğe tesir eden kuvvetler: F c = 0.85*f cd *k 1 *x b *b w F s = A sb *f yd F s =F c Burada x b =k x *d olduğu, k x değerinin de dengeli donatı durumuna ait olduğu unutulmamalıdır. SAYFA14 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER

15 Momentin katsayı yardımıyla hesabı: M b = F s *z ifadesine F s =A sb *f yd, z= k z *d uygulanırsa M b = A sb *f yd *k z *d Eşitliğin her iki tarafı b w *d² ile bölündüğünde; M b /(b w *d²)= A sb *f yd *k z *d / (b w *d 2 ) M b /(b w *d²)= A sb /(b w *d)*f yd *k z A sb /(b w *d)= ρ b olduğundan M b / (b w *d²)= ρ b *f yd *k z ρ b *f yd *k z = 1 / K b olarak tarif edilirse SAYFA15 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER K b = 1 / (  b *f yd *k z )

16 M b / (b w *d²)=1 / K b temel formülü bulunur. K b mm²/N boyutunda, beton ve çelik malzemesine bağlı olan bir katsayıdır. Daha önce bulunan  b, k z değerleri, son bulunan K b ifadesine uygulanırsa normal betonlar için K b katsayıları aşağıdaki gibi bulunur. SAYFA16 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER M b = b w *d²/ K b

17 Problem: Kesit ve malzemesi verilen bir kirişin dengeli donatılı halde taşıyabileceği moment ve gereken donatının hesabı: Çözüm: Malzemenin cinsine göre Tablo 5.5 den K b katsayısı okunur. M b = b w *d²/K b kesitin taşıyabileceği moment bulunur. Malzeme cinsine bağlı dengeli donatı oranı  b Tablo 5.4 den alınır. A sb =  b *b w *d dengeli kırılma için gerekli donatı alanı bulunur.. SAYFA17 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER

18 Tarafsız eksen mesafesi için Tablo 5.3 ten k x alınır: x= k x *d bulunur. Manivela kolu için Tablo 5.3 ten k z değerleri alınır: z= k z *d bulunur. Not: Verilen beton, yüksek mukavemetli beton ise (C30 gibi) k 1 < 0.85 olacaktır. Beton cinsine göre tablo 5.2 den k 1 sayıları alındıktan sonra k z,  b ve K b değerleri verilen ifadelerden tekrar hesaplanmalıdır. Daha sonra bu değerlere bağlı olarak moment ve donatı hesabına geçilmelidir. SAYFA18 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER

19 Beton ve Çeliğin, tablolarda olmayan malzeme olarak verilmesi halinde, verilen malzemeye ait beton ve çelik hesap dayanımları bulunur. Daha sonra bu değerler yardımıyla k x, k z,  b ve K b değerleri hesaplanır. Bunlar yardımıyla moment ve donatı hesaplanmalıdır. Uygulama: Malzemesi ve boyutları verilen bir kirişin dengeli donatı halinde taşıyabileceği momentin ve gereken donatının çeşitli yollarla bulunması: SAYFA19 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER

20 SAYFA20 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER Malzeme C20-S220, Kesit boyutları b w =25 cm, d=60 cm olsun. Dengeli donatı durumunda taşıyabileceği moment ve gereken donatı miktarının hesabı: (Açık Hesap) Dengeli donatı halinde tarafsız eksen ve manivela kolu açık hesapla aşağıdaki gibi bulunacaktır:

21 x b = k x *d ; En genel halde k x ifadesi: k x = 0.003*E s /(0.003*E s +f yd ) k x =600/( )= x b = *600 x b = 455 mm z= k z *d k z = 1-(k 1 *k x )/2 k z = * /2 k z = z = *600 z = 406,6 mm Malzemenin aykırı olması veya beton ezilme deformasyonunun farklı olması halinde k x değeri yeniden hesaplanarak işleme başlanılmalıdır. SAYFA21 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER

22 Beton basınç bloğu bileşkesi ve dengeli moment aşağıdaki gibi hesaplanır. C20-S220 için f cd =13 N/mm 2 f yd =191 N/mm 2 F c = 0.85*f cd *k 1 *x*b w F c = 0.85*0.013*0.85*455*250 F c = 1068,3969 kN M b = F c *z= 1068,3969* M b = 434,41kNm Bu moment için gereken donatı ise: F s = F c F c = 1068,4 kN F s =1068,4kN F s = A s *f yd A s =F s / f yd A s =1068,4/0,191 A s = 5594 mm² Donatı seçimi ve yerleştirilmesi istenmedikçe yapılmayacaktır. SAYFA22 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER

23 Katsayılar yardımıyla çözüm: Tabloların kullanılmasında kullanılacak olan birimler: SAYFA23 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER

24 Katsayılar yardımıyla çözüm: Tablo 5.5'den K b =0,20714 (mm 2 /N) Tablo 5.4'den ρ b = 0,0373 alınacaktır. M b = b w *d²/ K b M b = 250*600²/0,20714 M b = Nmm (M b =434,49 kNm.) A sb =  b *b w *d = *250*600 A sb = 5595 mm² olarak bulunur. SAYFA24 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER

25 Uygulama: Boyutları 25x60 cm paspayı 4cm malzemesi C25-S420 olan dikdörtgen kesitin dengeli kırılmayı sağlayacak şekilde donatısını ve Momentini, a)Hiçbir tablo ve daha önceden çıkarılmış formül kullanmadan açık yol ile yapınız. b)Aynı soruyu tablodaki katsayıları kullanarak yapınız. SAYFA25 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER

26 Denge Altı Kirişlerde Taşıma Gücü Hesabı: Dengeli donatılı kirişlerde, kırılmanın, ani kırılma cinsi olan gevrek kırılma olduğu daha önce belirtilmişti. Bir kirişteki A s donatı miktarına göre bulunan donatı oranına göre kirişleri kırılma şekilleri bakımından şu şekilde sınıflara ayırmak mümkündür. a)  >  b denge üstü kirişlerdir. Gevrek kırılma meydana gelen bu kirişlere yönetmelikler izin vermezler. b)  =  b dengeli donatılı kirişlerdir. Bu şekilde donatılan kirişlerde de kırılma ani olur. Gevrek kırılma meydana geleceği için yönetmeliklerce yasaklanmıştır. SAYFA26 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER

27 c)  <  b denge altı kirişlerdir. Donatı oranından da görüldüğü gibi bu şekilde donatılan kirişlere zayıf donatılı kirişler de denilmektedir. Bu kirişlerde kırılma Sünek kırılma olarak meydana gelir. Kırılma ani olarak meydana gelmez. Beton ezilme deformasyonuna erişmeden önce donatı akma deformasyonuna geleceğinden, donatının uzamasıyla meydana gelen çatlaklar kirişin göçmesinden önce haber verici unsurlar olarak değerlendirilmiştir. Dolayısıyla yönetmelikler kirişlerin denge altı olacak şekilde donatılmasını öngörmektedir. SAYFA27 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER

28 SAYFA28 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER Şekil A birim deformasyon diyagramı; donatının akma durumuna eriştiği anda, basınç bölgesindeki betonun  co birim deformasyonuna ulaşmadığı andaki durumdur. Bu durumda donatının karşılayabileceği çekme kuvveti en üst seviyede olup; F s = A s * f yd ifadesiyle hesaplanacaktır.

29 Bu safhadan sonra F s kuvvetinde bir artma meydana gelmeyecektir, fakat henüz kiriş taşıma gücüne erişmemiştir, biraz daha moment taşıyabilecektir. Şekil B den de görüldüğü gibi donatının akmasıyla beton basınç bölgesi küçülecektir. Bileşke kuvvet değişmeyeceğine göre gerilmenin değeri artacaktır. Beton basınç bölgesine tesir eden gerilmenin değeri artması ve beton basınç bölgesinde tarafsız eksene en uzak lifteki birim deformasyonun, betonun ezilmedeki birim deformasyonuna (  cu = 0.003) erişmesiyle kesit taşıma gücüne erişecektir. SAYFA29 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER

30 Şekil C iç kuvvetler üzerinde yatay denge denklemi yazılır. Sonra dış kuvvetlerin momenti iç kuvvetlerin momentine eşitlenir. Bu şekilde kesitin taşıma gücü momenti olan Mr bulunur. a)  x= 0; yatay denge denklemi yazıldığında: F c =F s ; F c =0,85*f cd *k 1 *x*b w ; F s =A * f yd A s * f yd = 0,85*f cd *k 1 *x*b w x=k x *d uygulanırsa; A s * f yd = 0,85*f cd *k 1 * k x *d *b w SAYFA30 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER

31 A s * f yd = 0,85*f cd *k 1 * k x *d *b w A s / (b w *d)= 0.85*(f cd / f yd )*k 1 *k x A s / (b w *d)=   =0.85*(f cd /f yd )*k 1 *k x ; buradan x = k x * d Denge altı kirişlerde tarafsız eksen mesafesidir. Dengeli donatıdaki k x değeri ile denge altı donatıdaki k x değeri birbirine karıştırılmamalıdır. !!!! SAYFA31 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER k x =  *(f yd / f cd )* 1/ (0.85*k 1 )

32 Dengeli donatılı kirişlerde, tarafsız ekseni veren k x malzemeye (Çelik Elastisite modülüne ve hesap değerine) bağlı olduğu halde; [k x = (0.003*E s ) / (0.003*E s +f yd )], Denge altı kirişlerde tarafsız ekseni veren k x malzemeye bağlı olduğu gibi donatıya da bağlıdır. Dolayısıyla değişen her A s donatısı için farklı k x değeri ve buna bağlı olarak farklı tarafsız eksen mesafesi bulunacaktır. SAYFA32 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER k x =  *(f yd / f cd )* 1/ (0.85*k 1 ) kx=kx= 0.003*E s 0.003*E s + f yd

33 Beton kalitesinin normal betonlar olması halinde (C16- C25) k 1 = 0.85 alınabileceğinden; k x =  *(f yd / f cd )* 1/ (0.85*0,85) k x, tarafsız ekseni veren ifade son şekliyle yukarıdaki gibi yazılabilir. SAYFA33 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER k x = 1.384*  *(f yd / f cd )

34 )  M= 0 Moment şartı yazıldığında; Şekil C dış kuvvet momenti = iç kuvvetlerin momenti M r = F s *z F s = A s *f yd z= d - (k 1 *x/2) z= d*[1-(k 1 /2)*(x/d)] z= d*[1-(k 1 /2)*k x ] z=d*k z z/d= k z k z = 1-(k 1 *k x )/2 M r = A s *f yd *k z *d eşitliğin her iki tarafı ( b w *d² ) ile bölünürse; M r / (b w *d²)= A s *f yd *k z *d / (b w *d²) M r / (b w *d²)= (A s /b w *d)*f yd *k z SAYFA34 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER k z k z = 1- (k 1 *k x ) / 2

35 M r / (b w *d²)= (A s /b w *d)*f yd *k z A s /b w *d =  olduğundan M r / (b w *d²)=  *f yd *k z (  * f yd * k z ) = 1 / K olarak tarif edilir ve yerine yazılırsa; M r / (b w *d²) = 1/ K ve buradan; M r = b w * d² / K SAYFA35 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER Basit Eğilme Temel Formül

36 denge altı kirişlerde taşıma gücünü veren temel formül bulunmuş olur.  : Mevcut donatıya bağlı donatı oranıdır. f yd : Kullanılan donatının hesap dayanımı k z : Manivela kolu katsayısı k z = 1- (k 1 *k x ) / 2 k 1 : Malzemeye bağlı katsayı k x : Donatıya ve malzemeye bağlı Tarafsız eksen katsayısı SAYFA36 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER K = 1 /  * f yd * k z k z = 1- (k 1 *k x ) / 2 k x = 1.384*  *(f yd / f cd )

37 Denge Altı Kirişlerde Taşıma Gücü Momentinin Katsayılarla Hesabı: Denge altı kirişlerde bulunan k x ve k z ifadeleri normal kalitede betonlar için (C16-C25) k x = 1.384*  *(f yd / f cd ) w; Donatı Göstergesi olarak tarif edilirse; (tablo oluşumu için)  *(f yd / f cd )= w (w Donatıya ve malzemeye bağlıdır.) Tarafsız ekseninin yerini veren k x katsayısı sadece (w) donatı göstergesine bağlı olarak aşağıdaki gibi ifade edilebilir. (k x ; sadece w ya bağlıdır.) SAYFA37 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER k x = 1.384*w

38 Manivela kolu mesafesini veren k z aşağıdaki gibi hesaplanır. k z = 1- (k 1 *k x ) / 2 k z = 1- (0.85*1.384w) / 2 (k z ; sadece w ya bağlıdır.) Dengeli donatı için bulunan K ifadesi de normal kalitedeki betonlar için w donatı göstergesine bağlı olarak K= 1/(  *f yd *k z ) w=  *(f yd /f cd )  *f yd = w*f cd k z = ( *w) (K; sadece w ya bağlıdır.) SAYFA38 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER k z = 1–0.588*w K= 1/ [w*f cd *(1–0.588*w)]

39 k x = 1.384*w k z = 1–0.588*w k x, ve k z değerlerinin sadece (w) ya bağlı olduğu görülmektedir. (w) ya verilecek herhangi bir değer için k x, ve k z belirlidir. K= 1/ [w*f cd *(1–0.588*w)] K değeri (w) ve beton cinsine ya bağlıdır. Her beton sınıfı için bir tablo düzenlenirse (f cd ) bilinen olur ve K değeri de (w) değerine bağlı olarak bulunabilir.  = w*(f cd / f yd )  Değeri malzemeye ve (w) değerine bağlıdır. Beton sınıfı için düzenlenen sayfada Çelik sınıfı için bir sütun açılırsa, donatı oranı da sadece (w) değerine bağlı olarak bulunur. SAYFA39 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER

40 Her beton cinsi için ayrı bir sayfa düzenlenirse (f cd biliniyor); k x k z K değerleri (w) ya verilen her değer için hesaplanabilir. Yukarıdaki sayfada her çelik cinsi için bir sütun açılırsa; (w) Ya verilen her değer için (  ) donatı oranı da bulunabilir. TABLO HAZIRLANMASI C20 için bir sayfa açılır: f cd =13 N/mm 2 (f cd bilinen demektir) w=0,020 için k x =0,02768 k z =0,98824 K=3,89 bulunabilir. S220, S420, S500 için birer sütun açılırsa her çelik için (  )  = w*(f cd / f yd )  = 0,020(13/f yd )  =0,26 / f yd Donatı oranı da (w) ya bağlı olarak bulunabilir. SAYFA40 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER

41  =0,26 / f yd S220 için f yd =191 N/mm 2  =0, S420 için f yd =365 N/mm 2  =0, S500 için f yd =435 N/mm 2  =0, Betonarme hesap tablolarının hazırlanması: Her beton sınıfı için (f cd ) ayrı bir tablo hazırlanmıştır. Her Çelik cinsi için bir sütun açılmıştır.( f yd ) Donatı Göstergesi olan ( w ) nin ile sınırları arasında her değeri için, k x, k z,K ve (  ) değerleri hesaplanarak yazılmıştır. SAYFA41 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER

42 Tablonun Kullanışı: Boyutları ve malzemesi verilen Dikdörtgen kesitlerin basit eğilme hesabı; Moment verildiğinde Donatı hesabı: Temel formül; M= b w d 2 / K ifadesinden K bulunur, Malzemenin tablosundan (  ) okunur. A s =  b w d donatı alanı bulunur. Gerekiyorsa tarafsız eksen (k x ) ile x=k x d manivela kolu (k z ) ile z=k z d bulunur. SAYFA42 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER

43 Tablonun Kullanışı: Donatı verildiğinde Moment hesabı: Önce donatı oranı  = A s / b w d bulunur. Malzemenin tablosuna gidilir. Verilen malzemeye ait sütundaki (  ) karşılığı K değeri okunur. M= b w d 2 / K ifadesinden Moment bulunabilir. Gerekiyorsa tarafsız eksen (k x ) ile x= k x d manivela kolu (k z ) ile z= k z d bulunur. SAYFA43 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER

44 SAYFA44 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER BETONARME TABLOLARI C 20 (N/mm 2 ) Yukarıdaki tablo N/mm 2 birimine göre düzenlenmiştir.

45 SAYFA45 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER BETONARME TABLOLARI C 20 (kg/cm 2 ) DİKKAT DİKKAT Kitaptaki ve Tablolar kitapçığındaki tablolar düzenlenirken kg/cm 2 kullanıldığından yukarıdaki değerler bulunmuştur. Dikkat edilirse birim değişikliğinden sadece K değişmektedir. kg/cm 2 kullanılarak bulunan K değerleri, N/mm 2 kullanılarak bulunan K değerlerinin 100 katıdır. Mevcut tablolar kullanılırken bu hususa DİKKAT EDİLMELİDİR. ! ! ! !

46 Uygulama: Denge altı kirişlerde (zayıf donatılı kirişler) kesit, malzeme ve donatının verilmesi halinde kesit taşıma gücünün hesabı. Boyutları b w =25 cm, d=60 cm; malzemesi C20-S220 olan bu kirişte çekme donatısı olarak 4  28 (24.63 cm²) demir bulunması halinde bu kesit ne kadar moment taşıyabilir ve kırılmanın cinsi (deformasyon durumu) nedir. Çözüm: Önce deformasyon durumuna karar vermek gerekir. Bunun için kesitteki donatı oranı (  ) hesabedilerek, dengeli donatı oranı  b ile karşılaştırılmalıdır. SAYFA46 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER

47  = A s /(b w *d)  = 24.63/(25*60)  = Dengeli donatı oranı Tablo 5.4 den  b = alınır.  <  b olduğundan kirişte sünek kırılma meydana gelecektir. Deformasyon diyagramı üzerinde tales yazılarak tarafsız eksenin yeri bulunamaz. SAYFA47 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER

48 Tarafsız eksenin yeri ve manivela kolu, donatı miktarına, dolayısıyla donatı oranına bağlıdır ve aşağıdaki gibi üç ayrı şekilde bulunabilir. a) k x =  *(f yd / f cd )*[ 1/ (0.85*k 1 )] (Denge altı k x yazılmalıdır.) k x = *(191/13)* [ 1/ (0.85*0.85)] k x = x= k x *d x= *60 x= 200,3 mm k z = 1- k 1 *k x /2 k z = * /2 k z = z = k z *d z = *600 z = 514,9 mm SAYFA48 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER

49 Bunlar yardımıyla Beton basınç bölgesinin bileşkesini ve kesitin taşıma gücü momentini bulabiliriz. F c = 0.85*f cd *k 1 *x*b w F c = 0.85*0.013*0.85*200,3*250 F c = 470,33 kN M r = F c *z M r = 470,33*0,5149 M r =242,2 kNm SAYFA49 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER

50 b) Tarafsız eksenin yeri aşağıdaki gibi de bulunarak da çözüm yapılabilir: F c =F s F s = A s *f yd F s = 2463*191 F s = N F c = 0.85*f cd *k 1 *x*b w = 0.85*13*0.85*x*250 x= 200,3 mm z= d- k 1 *x / 2 z = *200,3 / 2 z= 514,85 mm M r = F c *z M r = 470,433*0,51485 M r = 242,2 kNm bulunur. SAYFA50 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER

51 c) Aynı problemin tablolar ve katsayılar yardımıyla çözümü:  = A s /(b w *d)  = 2463/(250*600)  = C20-S220 tablosu  = için K değeri tam olarak yok. Ortalama değere bakılır. ( )/2=1651  = değeri alt K değerine daha yakın olduğundan Yaklaşık değer olarak K=0,37318 alınabilir M r = b w *d²/K M r = 250*600²/0,37318 M r = 241,1 kNm Ortalamaya yakın olursa ortalama, üst değere yakın olursa üst değer alınması daha uygun olacaktır. SAYFA51 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER

52 c) Aynı problemin tablolar ve katsayılar yardımıyla çözümü: Sonucun tablo kullanarak kesin hesabı gerekirse; K= 1/(  *f yd *k z ) k z =1-(k 1 *k x )/2 k z =0,8589 (en yakın k z ) K= 1/(0,01642*191*0,8589) K=0,37124 M r = b w *d²/K M r = 250*600²/0,37124 M=242,4 kNm bulunur. SAYFA52 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER

53 Görüldüğü gibi her üç yolda bulunan momentler birbirlerinin aynısıdır. Elde tablolar mevcutsa ve beton kalitesi normal betonlar sınıfında ve çelikte standartlara uygun malzeme ise, betonun kısalma deformasyonu ve çeliğin elastisite modülü Taşıma gücünde kabul edilen değerler olması halinde K katsayısı ile çözüm en kısa ve pratik çözümdür. Beton kalitesinin yüksek mukavemetli betonlar olması halinde veya malzemelerin bilinen malzemelerden farklı bir şekilde (aykırı malzeme) verilmesi halinde, ilk iki yoldan açık hesaplar yapılarak sonuca gidilmelidir. SAYFA53 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER

54 Denge Altı Kirişlerde Donatı Yüzdesi Üzerine Konulan Sınırlamalar: 1) Sünek Kırılma Şartı: Betonarme bir yapının düktilitesinin korunması ve kırılmanın sünek kırılma olması istenir. Daha önceki bölümlerde bahsedildiği gibi kuvvetli donatılı kirişlerde ve dengeli donatılı kirişlerde meydana gelen, ani kırılma olarak da adlandırılan kırılma, Gevrek Kırılmadır. Yönetmelikler kirişlerdeki donatı oranının, dengeli donatı oranına eşit ve dengeli donatı oranından fazla olmasına (  ≥  b ) izin vermezler. SAYFA54 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER

55 Ancak zayıf donatılı kirişlerde, (  <  b ) sünek kırılma meydana geleceğinden yönetmelikler kirişlerde zayıf donatılı olacak şekilde demir konmasını öngörmüşlerdir. TS 500 de süneklik şartı için;  max = 0.85*  b istemektedir.    max olması halinde TS 500 ün kabul edeceği sünek kırılmanın meydana geleceği kabul edilmiştir. Donatı oranının  b >  > 0.85*  b olması halinde, kirişlerin zayıf donatılı kirişler olduğu, kırılmanın sünek kırılma türünde gerçekleşeceği fakat bu sünek kırılmayı TS 500 ün kabul etmediği söylenebilir. SAYFA55 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER

56 Normal kalitedeki betonlar için Tablo 5.4 de verilen dengeli donatı oranlarının 0.85 katı alınarak TS500 için sünek kırılma  max değerleri bulunabilir. SAYFA56 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER

57 ) Deprem Etkileri İçin Sınırlamalar: Çerçevelerden meydana gelen Betonarme Karkas yapının bir çerçevesini ele alalım. Çerçevenin düşey yükler ve yatay yüklere göre çözümünden dolayı düğüm noktaları olan kolon ve kiriş uç kesitlerinde, büyük Moment ve Kesme Kuvvetleri meydana gelecektir. SAYFA57 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER Depremden dolayı kolon ve Kirişlerde meydana gelen momentler. Deprem etkileri için bu sınırlamalar kiriş ve çerçevelerin mesnetlerinde uygulanmalıdır.

58 Yatay yük olarak tesir eden deprem kuvvetinden dolayı meydana gelen Mesnetlerdeki Momentler, genellikle düşey yükten dolayı oluşan Momentlerden daha fazladır. Şekilde sembolize edilen çerçeveye ait bir düğüm noktası A, B gibi iki kolon uç noktası ve C gibi kiriş uç noktasının birleşmesinden meydana gelmiştir. Düğüm noktalarının ankastre mesnet olarak çalıştığı kabul edilmektedir. SAYFA58 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER

59 Düğüm noktasına gelen momenti düğüm noktasında birleşen çubuk elemanları (kolonlar ve kirişler) rijitlikleri oranında paylaşırlar. Bu momentin, düğüm noktasında birleşen kolon ve kiriş uçlarının taşıyabileceği toplam moment kapasitesinden daha büyük olması halinde bu düğüm noktası plastik mafsal haline dönüşecektir. Düğüm noktası plastik mafsal haline dönüşünce yatay ve düşey kesit tesirlerini karşılayacak fakat momenti karşılayamayacaktır. Taşınamayan bu moment düğüm noktasına komşu diğer düğüm noktalarına dağıtılacaktır. Bu şekilde çerçevedeki son düğüm noktası da plastik mafsal haline dönüştükten sonra çerçeve yıkılacaktır SAYFA59 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER

60 Düğüm noktasında plastik mafsal oluşması,düğüm noktasını oluşturan kolonların veya kirişlerin uçlarında plastik mafsal oluşmasıyla meydana gelecektir. Burada şu soruya cevap aranmalıdır; Plastik mafsalın önce kolon uçlarında mı yoksa kiriş uçlarında mı gelmesi yapı için daha uygundur? SAYFA60 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER

61 SAYFA61 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER Düğüm noktasında M momenti var

62 SAYFA62 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER Düğüm noktasında M1 momenti var

63 Önce Kiriş uçlarında plastik mafsalın oluşması, daha az tehlikelidir. Çünkü önce kiriş uçlarında plastik mafsal oluşması halinde, o düğüm noktasının kiriş elemanı moment taşıyamayacak (dönme engellenmediğinden, dönebilecek), kiriş uç kısmındaki bu moment komşu düğüm noktalarına dağıtılacaktır. Bu an da sistem ayaktadır. Dış yüklerden dolayı herhangi bir kiriş taşıma gücünü kaybederse sadece o kirişin işlevini kaybedecek, fakat yapı ayakta kalacaktır. Kendisine ilave moment gelen, komşu düğüm noktalarının kiriş uçlarında da da benzer şekilde plastik mafsallar oluşacaktır. Son düğüm noktası da plastik mafsal haline geldikten sonra yapı göçecektir. SAYFA63 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER

64 Önce kolon uçlarında plastik mafsal oluşması durumunda ; Herhangi bir düğüm noktasında, kolon ucunda plastik mafsal meydana geldiğinde, o düğüm noktası moment taşıyamayacak, kendisindeki taşınamayan moment komşu düğüm noktalarına dağıtılacaktır. Son düğüm noktası da plastik mafsal haline geldikten sonra göçme, önce kolonlarda meydana gelecek ve ilk kolonun göçmesiyle yapı işlevini kaybedecektir SAYFA64 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER

65 SAYFA65 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER Bu durumda kolon kiriş birleşim yerlerinde meydana gelecek olan sünek kırılmanın, önce kiriş uçlarında oluşacak şekilde donatının planlanması gereklidir. Kiriş uçlarında gereğinden fazla donatının olması halinde önce kolon uçlarında plastik mafsal oluşacaktır.

66 TS 500 şartnamesinde, deprem bölgelerinde yapılacak yapıların çerçeve kirişlerinin mesnetlerinde kullanılacak olan donatı oranının, dengeli donatı oranının % 60' ını geçmemesi istenmektedir.  dep ≤ 0,60*ρ b Bu şartın sağlanması halinde düğüm noktalarında kiriş uçlarında plastik mafsal meydana geleceğini kabul edilmiştir. SAYFA66 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER

67 ) Sehim Kontrolü Gerektirmeyen Sınırlama: Yukarda anlatılan ilk iki deformasyon durumu dikkate alındığında kesitlerin moment taşıma kapasiteleri çok fazla olacaktır. Bu kesitlere kapasitelerinin hayli altında momentlerin tesir etmesi halinde kesit boyutları çok küçük çıkar. Bu durumda TS 500 de verilen “kirişlerde sehim kontrolünü gerektirmeyen yükseklik” şartı sağlanmayabilir. Bu şartların sağlanmadığı durumda o kirişlere ait sehim kontrolü yapmak gerekmektedir. Bunun için bu kirişe gelen yük etkisi altında yaptığı sehim hesaplanarak, yönetmeliklerin izin verdiği sınır değerleri geçmediği gösterilmelidir. SAYFA67 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER

68 Kiriş açıklıklarında istenmeyen büyük sehimlerin meydana gelmemesi için aşağıdaki iki şart sağlanmalıdır. a)TS 500 ün verdiği yükseklik şartını yerine getirilmelidir. b) Bir yapıda çok sayıda kiriş vardır. Kirişlere taşıdıkları yükle orantılı olarak donatı konulmaktadır. Yük arttıkça donatıda artmaktadır, fakat aynı anda kirişin yapacağı sehim de artmaktadır. Bu sehimin yönetmeliklerde verilen sınır değeri geçmediği gösterilmelidir. Çok sayıda kiriş için sehim kontrol hesabı yapmak zor ve külfetli bir iştir. Sehim kontrolü yapmamak içini kirişe konulacak donatıya, dolayısıyla donatı oranına bir üst sınır getirilmiştir. Kiriş açıklıklarında bu donatı oranına da uyulması halinde sehim kontrolü gerekmeyecektir. Bu durumda kiriş açıklıklarında sehim kontrol hesabı gerektirmeyen bir donatı yüzdesi sınırlamasına uyulmalıdır. SAYFA68 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER

69 TS 500 de verilen minimum boyutları sağlayan kirişlerdeki donatı oranı,  def veya  L ile göstereceğimiz sınır değerden küçük kaldığı takdirde sehim kontrol hesabı gerekmeyecektir.  def =  L = 0.235*(f cd / f yd ) Malzemeye bağlı olarak  L değerleri aşağıda tablo halinde verilmiştir. SAYFA69 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER

70 SAYFA70 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER

71 ) Donatının Minimum Yüzdesi: Buraya kadar olan donatı yüzdesi üzerindeki sınırlamalar, üst sınırlamalardır. Sünek kırılmanın sağlanması açısından düşünüldüğünden, donatı yüzdesinin daima verilen değerlerin altında olması istenmiştir. Ancak kırılmanın ani olmaması için çekme donatısına bir de alt sınır getirmek gerekmektedir. Bu değer beton ve donatı cinsine bağlı olarak TS 500 de şu şekilde verilmiştir;  min = 0,8* f ctd / f yd SAYFA71 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER

72 Taşıma gücü basit eğilme sınır değerleri, çeşitli deformasyon durumlarına ait, beton ve çelik sınıfına bağlı olarak hesaplarda kullanılan, , K, k x, k z değerlerinin toplu olarak verildiği iki tablo hazırlanmış tablolar bölümünde verilmiştir. (Tablo 7 ve Tablo 8)(Küçük Tablo)  b : Dengeli donatı oranı.  max : TS 500 Süneklik şartı. 0.6*  : Deprem Süneklik şartı.  L : Sehim Şartı.  min : Minimum donatı oranı şartı. SAYFA72 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER

73 Emniyet Gerilmelerine Göre Basit Eğilme Hesabı:  1975 yılına kadar Emniyet Gerilmeleri Metodu mecburi yürürlükte idi.  1985 TS500 de taşıma gücü metodu ile birlikte yürürlükte kalmıştır.  2000 de TS 500 de Taşıma Gücü metodu geçerlidir.  Dolayısıyla son TS 500 emniyet gerilmesi metodu ile hesap yapılmasına izin vermemektedir. Ancak Taşıma Gücü metoduna geçişin sebeplerini daha iyi anlamak ve Taşıma Gücü Metodunu daha iyi anlayabilmek için bu kısımda emniyet Gerilmelerine göre hesap esasları özet olarak anlatılmıştır. SAYFA73 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER

74 Emniyet gerilmeleri metodunda güvenlik, sadece malzeme mukavemetleri üzerinde sağlanır. Yapı elemanının statik hesaplarında yük olarak, TS 498 in verdiği karakteristik yükler aynen kullanılır. Dolayısıyla kesitlere tesir eden momentler karakteristik momentlerdir. Basit eğilme halinde kullanılacak olan malzeme emniyet gerilmeleri, yapı elemanının zorlanma biçimine ve kullanıldığı yere göre 1985 TS 500 Sh. 47–48 de verilmiştir.. SAYFA74 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER

75 SAYFA75 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER Bu çizelgenin kullanılmasında 1985 TS 500 Sh.44 de eski beton sınıflarının, yeni sınıflandırılan beton cinsleriyle aşağıdaki şekilde eşdeğer olduğu kabul edilmiştir. B günlük 20cm standart küp dayanımı 16N/mm 2 olan betondur. E.G. Metodunun geçerli olduğu 2000 yılına kadar Normal binaların B160 betonu ile, hastane postane gibi önemli yapıların B225 betonu ile Baraj gibi yapıların ise B300 betonu ile yapıldığının bilinmesinde fayda vardır.

76 SAYFA76 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER Yukarda anlatılan şekilde bulunan bir momentin dikdörtgen bir kesite etkimesi durumunda deformasyon ve iç kuvvetlerin diyagramları aşağıdaki gibidir. Bu metotta gerilme diyagramı, deformasyon diyagramı gibi lineer kabul edilmiştir.

77 Betonarme kesitlerin hesabında beton ve çeliğin doğrusal elastik davrandıkları kabul edilmiştir. Homojen kesit elde edebilmek için çeliğin alanı n= E e /E b elastisite modülleri oranı(n) ile artırılmalı veya çeliğin gerilmesi (n)oranı ile bölünmelidir. Bu şekilde bulunan iç kuvvetler diyagramı sürekli olacaktır. Emniyet gerilmeleri ile betonarme hesapta yapılan kabullerin çoğu taşıma gücü hesabında yapılan kabuller ile aynıdır. SAYFA77 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER

78 Emniyet gerilmeleri metodunda ; (x) tarafsız eksenden en uzaktaki betonda meydana gelen basınç gerilmeleri,  b betonun emniyet gerilmelerine eriştiği an, donatıda meydana gelen gerilmeler de,  e çeliğin emniyet gerilmesini geçmiyorsa, mevcut kesit verilen donatıyla tesir eden momenti emniyetle taşıyor denilir. Hesap Şekli: Yatay kuvvetlerin denge şartı ile kesite tesir eden momentin, iç kuvvetlerin momentine eşitliği düşünülerek Moment ifadesi tarafsız eksen (x) e bağlı olarak bulunur. Deformasyon diyagramındaki benzerlik şartından (x) tarafsız eksen mesafesi bulunur. SAYFA78 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER

79 Yatay denge şartı:  x= 0 ; F c =F s ; F c =  b *x* b w / 2 ; F s = A s *  e  M= 0 ; M= F c *z ; M=  b * x * b w * z / 2 ; z= d - x / 3 Deformasyon diyagramında uygunluk şartı: x /  b = (d-x) /(  e /n) = d / (  b +  e / n) x / d =  b / (  b +  e / n ) ; x = n *  b *d / (n *  b +  e ) k x = n *  b / ( n*  b +  e ) ; x= k x *d x= k x *d bulunduktan sonra yukarıdaki ifadelerden donatı ve moment bulunabilir. SAYFA79 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER

80 Hesap katsayılarının çıkarılması: M= F c * z ; F c =  b *x * b w / 2 z= d - x / 3 x, yerine x= k x * d Son iki ifadede; F c =  b * k x * d * b w / 2 ; z= d – k x * d / 3 ; z= d*(1- k x / 3) M=  b k x *d* b w * [d*(1-k x / 3)] / 2 M=  b *k x * d² *b w * (1-k x / 3) /2 M= b w * d² / (2/[  b *k x *(1-k x / 3)]) k 6 = 2 / [  b *k x *(1-k x / 3)] kabul edilirse; M = b w *d² / k 6 SAYFA80 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER

81 ) F c =F s ; F c =  b *x*b w /2 ; F s =A s *  e ; x=k x *d A s *  e =  b *k x *d*b w / 2 A s = (  b /  e )*k x *b w *d / 2 ; k x *(  b /  e ) / 2= 1/ k 4 denirse; A s = b w *d / k 4 Emniyet gerilmeleri ile ilgili kitaplarda, Çelik cinsi için düzenlenen tablolarda, her beton gerilmesi için; Momenti veren k 6 katsayısı, Donatıyı veren k 4 katsayısı, Tarafsız ekseni veren k x, katsayısı, Manivela kolunu veren k z katsayısı ayrı ayrı verilmiştir. SAYFA81 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER

82 SAYFA82 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER

83 Uygulama : Malzemesi C20-S220 bw=25cm, d=60cm olan kesit tek donatılı olarak emniyet gerilmelerine göre emniyetle ne kadar moment taşır ve bu moment için gereken donatı alanı ne kadardır? (Birimler, cm, kg/cm 2 ) Çözüm: SAYFA83 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER

84 SAYFA84 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER Aynı problemin açık yol ile çözümü aşağıdaki gibi olacaktır Kuvvet diyagramı üzerinde uygunluk ifadesi yazılarak (x) tarafsız eksen mesafesi ve (z) manivela kolu bulunabilir. x/80=(60-x)/93,33 x=27,69cm z=d-x/3 z=60-27,69/3 z=50,77cm

85 Beton basınç bölgesi bileşkesi, Moment ve Donatı aşağıdaki ifadelerden bulunabilir. F c =(σ b *x)/2*b w F c =(80*27,69)/2*25 F c =27,69 t. M= F c *z M=27,69*0,5077 M=14,06 tm F s =F c F s =A s * σ s F s =A s *1,4=27,69 A s =19,78 cm 2 SAYFA85 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER

86 SAYFA86 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER Uygulama 2: Malzeme, kesit ve tesir eden moment verildiğinde beton gerilmesinin ve gereken donatı alanının hesabı: Malzeme: C20-S.220 M k =7.15 tm. k 6 = b w *d²/M k = 25*60²/ 715= ise tablodan;  b =51 kg/cm <  b,em k 4 =155.4 okunur. A s = b w *d/ k 4 = 25*60/155.4 = 9.65 cm²

87 Emniyet Gerilmeleri Metodu İle Taşıma Gücü Metodunun Karşılaştırılması: Moment Karşılaştırması: Önce malzemesi ve boyutları aynı olan bir kesitin, a) Emniyet Gerilmelerine göre tek donatılı olarak, malzemenin emniyet gerilmelerine çalışması halinde taşıyabileceği en fazla moment ve bunun için gereken donatı alanı bulunur. b) Taşıma gücü metoduna göre aynı kesitin tek donatılı olarak çeşitli deformasyon durumlarında taşıyabileceği moment ve bunun için gereken donatı hesap edilecektir SAYFA87 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER

88 Taşıma gücü metoduna göre bulunan dizayn momentleri (  f ) malzeme güvenlik katsayılarına (  f =1.5 alınacaktır) bölünerek bulunan karakteristik momentlerle, emniyet gerilmeleri metodunda bulunan karakteristik momentler birbiriyle karşılaştırılacaktır. Malzemesi C20-S220, boyutları b w =25; d=60 cm olan bir kesiti inceleyelim. 1) Emniyet gerilmeleri metodu ile hesap yapıldığında:  b = 80 kg/cm² ;  e = 1400 kg/cm² için M 0 = 1406 tcm; A s0 = 19,78 cm² olarak bulunmuştu. SAYFA88 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER

89 ) Taşıma gücü metoduna göre çeşitli deformasyon durumları için moment ve donatı hesabı yapılırsa: Dengeli donatılı kırılma hali: (  =  b ) K b =20,713 ; M b =25*60²/20,713 M b = 4345 tcm ; M k =M b /1.5 M k =2897 tcm ρ b = ; A s = *25*60 A s = 55,95 cm² TS 500 ün izin verdiği sünek kırılma hali: (  =0.85  b ) K= 22,745 ; M= 25*60²/22,745 M=3957 tcm ; M k = M/1.5 M k = 2638 tcm  = ; A s = *25*60 A s = 47,55 cm² SAYFA89 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER

90 SAYFA90 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER Deprem bölgelerinde kullanılabilme şartı: (  =0.6  b ) K= 29,003; M= 25*60²/29,003 M=3103tcm ; M k = M/1.5 M k = 2069 tcm  = 0,02238 ; A s = *25*60 A s = 33,57 cm² Sehim kontrolü gerektirmeyen donatı sınırlaması:(  =  L ) K= 37,983 ; M= 25*60²/37,983 M=2369tcm ; M k = M/1.5 M k = 1580 tcm  L = 0,01599 ; A s = *25*60 A s = 23,99 cm²

91 Emniyet gerilmeleri metodunda emniyet gerilmeleri altında bulunan moment ve donatının, taşıma gücü ile çeşitli deformasyon durumlarında bulunan sonuçlarla karşılaştırılması aşağıda verilmiştir. SAYFA91 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER

92 Tablodan da görüldüğü gibi en alt deformasyon durumu olan sehim kontrolü gerektirmeyen donatı sınırlamasında dahi taşıma gücüne göre taşınabilen moment, emniyet gerilmeleri ile taşınabilen momentten %12 daha fazladır. Buna karşılık olarak taşıma gücü metodunda donatı, emniyet gerilmeleri metodunda bulunan değerden biraz daha fazla çıkmaktadır. Sehim kontrolü gerektirmeyen donatı sınırlamasındaki donatı, emniyet gerilmesi metodundaki donatıdan %21 daha fazla çıkmıştır. Burada bulunan yüzdeler ancak tek donatı halinde belirli bir kesit ve malzeme için geçerlidir. Veriler değiştikçe bu oranların da değişeceği aşikârdır. SAYFA92 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER

93 Ancak kesin olarak şu husus söylenebilir: Taşıma gücü metodunda kesitin moment taşıma kapasitesi emniyet gerilmeleri metoduna göre artmaktadır. Buna karşılık olarak donatı miktarı da taşıma gücü metodunda biraz daha fazla çıkmaktadır Boyut Karşılaştırması: Malzemesi C20-S220 olan bir kirişe karakteristik moment olarak M k = 10 tm tesir ettiğini düşünelim. Kiriş genişliği b w = 25 cm olarak verilsin. Çözüm tek donatılı olarak planlandığına göre, acaba her iki metoda göre ayrı ayrı hesap yapıldığında kesit için gereken (d) faydalı yüksekliği ne kadar olacaktır? SAYFA93 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER

94 Emniyet gerilmeleri metodu sınır durumda faydalı yükseklik ve donatı hesabı:  b = 80 kg/cm² ;  e = 1400 kg/cm² ; tablodan k 6 =64,01; k 4 =75,83 M=b w *d²/k = 25*d²/64,01; d= 51 cm. bulunur. A s = 25*55/64,01 A s = 21,48 cm² SAYFA94 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER

95 ) Taşıma gücü metoduna göre çeşitli deformasyon durumlarında yükseklik ve donatı hesabı: (M d =1.5*M k =1.5*10 M d =15 tm olduğu unutulmamalıdır) Dengeli donatılı kırılma hali: (  =  b ) K b = 20,713; M= 25*d²/K b M=1500 tcm buradan d= 35,3 cm  b = ; A s = *25*35,3 A s = 32,92 cm² TS 500 ün izin verdiği sünek kırılma hali (  =0.85  b ) K= 22,745; M= 25*d²/K M= 1500 tcm ise buradan d= 36,9 cm  = ; A s = *25*36,9 A s = 29,24 cm² SAYFA95 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER

96 Deprem bölgelerinde kullanılabilme şartı (  = 0.6  b ) K= 29,003 ; M= 25*d²/K M= 1500 tcm buradan d= 41,7 cm  = ; A s = *25*41,7 A s = 23,33 cm² Sehim kontrolü gerektirmeyen donatı sınırlaması:(  =  L ) K= 37,983 ; M= 25*d²/K M= 1500 tcm buradan d= 47,7 cm  L = ; A s = *25*47,7 A s = 19,07 cm² SAYFA96 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER

97 Sonuçların karşılaştırılması: Hesaplardan da görüleceği gibi malzemesi ve b w gövde genişliği aynı olan kesitin d faydalı yükseklikleri taşıma gücü hesabında daima emniyet gerilmesi metodundakinden az çıkmaktadır. SAYFA97 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER

98 Aynı malzeme cinsi ve belirli bir moment değeri için bulunan bu sonuçlar genel olmamakla beraber bir fikir vermek açısından önemlidir. Yapılan bu hesaplar sonucunda deformasyon durumunun en alt sınırı olan sehim kontrolü gerektirmeyen deformasyon durumu dahi ele alındığında gereken faydalı yükseklik, emniyet gerilmelerine göre gereken faydalı yükseklikten %7 daha küçüktür. Diğer deformasyon durumlarında bu oranın daha yüksek olduğu görülmektedir. SAYFA98 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER

99 Sonuç: Her iki metoda göre yapılan hesaplar karşılaştırıldığında, taşıma gücüne göre hesap yapıldığında sehim kontrolü gerektirmeyen deformasyon durumuna göre hesap yapmanın, diğer bütün deformasyon şartlarını sağladığı gibi, kapasite olarak da emniyet gerilmeleri metodundan daha üstün olduğu görülmüştür. Yönetmelikler taşıma gücü hesabında kirişlerin açıklık kesitlerinde sehim kontrolü gerektirmeyen Mesnet kesitlerinde deprem şartını sağlayan deformasyon durumundan çıkılmaması istenmektedir. SAYFA99 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER

100 Çift Donatılı Dikdörtgen Kesitler: Dikdörtgen kesitli bir kirişte malzeme ve kesit boyutları değişmediği sürece, kesitin sadece çekme bölgesine konulacak olan donatı ile taşıyabileceği moment, çeşitli deformasyon durumları ile sınırlandırılmıştır. Sadece çekme bölgesine hesap demiri konulması durumundaki kesitlere tek donatılı kesitler denilmektedir. Bu kesitlerin basınç bölgelerine etriyelerin bağlanması için konulan demirler, hesap demirleri olmadığından kesitin tek donatılı kesit olarak isimlendirilmesi doğrudur. SAYFA100 ADİL ALTUNDAL BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER


"20.02.2016 B E T O N A R M E SAYFA1 ADİL ALTUNDAL Prof. Yük. Müh. Adil ALTUNDAL Sakarya Üniversitesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları