Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sayısal Analiz Lineer Olmayan Denklem Sistemlerinin Denklem Sistemlerinin Çözüm Yöntemleri Çözüm Yöntemleri 1SAÜ YYurtaY İletişim :

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "Sayısal Analiz Lineer Olmayan Denklem Sistemlerinin Denklem Sistemlerinin Çözüm Yöntemleri Çözüm Yöntemleri 1SAÜ YYurtaY İletişim :"— Sunum transkripti:

1 Sayısal Analiz Lineer Olmayan Denklem Sistemlerinin Denklem Sistemlerinin Çözüm Yöntemleri Çözüm Yöntemleri 1SAÜ YYurtaY İletişim : (264) İletişim : (264) Hafta

2 Ders İçeriği  Basit İterasyon Yöntemi  Yarılama (Bisection) Yöntemi  Kiriş (secant) Yöntemi  Örnekler 2. Sayfa SAÜ YYurtaY2 6. Hafta BSM Sayısal Analiz

3 2. Sayfa 3 6. Hafta BSM Sayısal Analiz Eğer f(x), x=a ve x= b aralığında sürekli ve f(a) ile f(b) ters işaretli ise a, b aralığında en az bir kök vardır. x y a b 0 y=f(x) a b 0 y x f(a) ve f(b) ters işaretli olmasına karşın fonksiyon süreksiz olduğundan bu aralıkta kök yoktur. DENKLEMLERİN KÖKLERİ TEOREM

4 2. Sayfa 4 6. Hafta BSM Sayısal Analiz a b 0 y x y=f(x) a b 0 y x a, b arasında üç kök vardır f(x) f.nu hiç x eksenini kesmediğinden kök yoktur

5 2. Sayfa 5 6. Hafta BSM Sayısal Analiz Eğer f(x), x=a ve x=b aralığında sürekli ve aynı zamanda x değeri arttığında f.da artıyorsa veya x değeri azaldığında f.da azalıyorsa f(x)=0 değerini sağlayan bir kök vardır. y x y=f(x) aıaı a b a b 8 y x soldan yaklaşınca 8 sağdan yaklaşınca x arttığında fonksiyonda artıyor, fakat sürekli değil. Buna rağmen iki adet kök vardır. TEOREM

6 2. Sayfa 6 6. Hafta BSM Sayısal Analiz e -x –x=0, x= e -x => y 1 = x ve y 2 = e -x Bu f.nun kökleri grafik yöntemle iki şekilde bulunabilir. a)x ekseni kestiği yerdeki kök b)Bileşen f.larının kesiştiği yerdeki kök. x y a) y=e -x -x x y b) f 1 (x) =y 1 =x f 2 (x)=y 2 = e -x ÖRNEK

7 2. Sayfa 7 6. Hafta BSM Sayısal Analiz Basit iterasyonun yakınsamasının ve ıraksamasının gösterimi x y Yakınsak y 1 =x y 2 = g(x) Kök xoxo x1x1 x2x2 x y y 1 =x y 2 = g(x) Kök xoxo Iraksak Yakınsama ve ıraksama şartı y 1 = x  y | 1 = 1 (Eğim) y 2 = g(x)  | g | (x o ) | < 1 ise yakınsak | g | (x o ) | > 1 ise ıraksak Burada y 2 = g(x) f.nun eğiminin mutlak değeri y 1 = x f.nun eğiminden küçük olması halinde yakınsama olmaktadır.

8 2. Sayfa 8 6. Hafta BSM Sayısal Analiz y = x 2 - x - 3 denkleminin x o = 1 noktasında yakınsak mıdır ? Çözüm : x = x 2 – 3 ’ den y 1 = x y 2 = x 2 – 3 = g(x)  | g | (x o ) = 2x = 2 | > 1 olduğundan ıraksaktır ÖRNEK

9 Lineer Olmayan Denklem Sistemlerinin Çözüm Yöntemleri SAÜ YYurtaY 9. Sayfa 6. Hafta BSM Sayısal Analiz Basit İterasyon Yöntemi : f(x) fonksiyonunun köklerini bulmak için f(x)=0 denkliği x=g(x) durumuna getirilir. Bu eşitliğin anlamı y=x doğrusu ile y=g(x) fonksiyonunun kesişim noktasını bulmaktır. x=x 0 başlangıç değeri için g(x 0 ) değerini bularak işlem yapılırsa ; X’ in yeni değeri olarak X 1 =g(x 0 ) alınır. İşlemler tekrarlanırsa X 1 =g(x 0 ) X 2 =g(x 1 ) … X n =g(x n-1 ) her bir işlem sonunda yeni bir X değeri elde edilir.

10 Lineer Olmayan Denklem Sistemlerinin Çözüm Yöntemleri SAÜ YYurtaY 10. Sayfa 6. Hafta BSM Sayısal Analiz 13. iterasyondan sonra  = 0.07 hata ile kök değeri x=1.4 elde edilir. ( Yakınsak iterasyon )

11 Lineer Olmayan Denklem Sistemlerinin Çözüm Yöntemleri SAÜ YYurtaY 11. Sayfa 6. Hafta BSM Sayısal Analiz

12 2. Sayfa Hafta BSM Sayısal Analiz f(x)= x 3 -x-1=0 denkleminin x o =1.3 civarında kökü olduğu bilindiğine göre, gerçek kökü ε = hassasiyetle basit iterasyon yöntemiyle bulunuz. Bu denklemin x o =1.3 civarında kökü olduğu bilindiğine göre önce şartları sağlayıp sağlamadığına bakalım. Çözüm: Denklemi; x=g(x) şeklinde yazılım. (Yani x=g(x) dönüşümü yapılır) a) x=x 3 -1  g(x)= x 3 -1 ve g ı (x)=3x 2 olur. | g ı (x o ) | = | 3x 2 | = 5.07 > 1 olduğu için yaklaşım çok zordur. Yani kök yoktur. ÖRNEK

13 2. Sayfa Hafta BSM Sayısal Analiz b) f(x) = x( x 2 - 1) -1 =0’ dan c) x 3 =x+1 ’ den Olduğu için yaklaşım vardır. Yani köke ulaşılır. c) şıkkı yakınsama şartını yerine getirdiğinden iterasyon bu şekilde başlatılır. X k+1 = g(x k ) yaklaşımıyla köke ulaşılmaya çalışılır. X 1 =g(x o ) olacaktır. | g ı (x o ) | = 5.46 > 1 olduğu için yaklaşım çok zor.

14 2. Sayfa Hafta BSM Sayısal Analiz k=0 için x 1 = g(x o )= (x+1) 1/3 = (1.3+1) 1/3  x 1 = Mutlak hata Et = x 1 –x o = – 1.3 = | ε t | < ε k şartı sağlanmadığı için iterasyona devam edilir. Bağıl hata ε t = E t / x 1 = / =  % 1,5156

15 2. Sayfa Hafta BSM Sayısal Analiz k= 1 için  x 2 = g(x 1 ) = (x1+1) 1/3 = ( ) 1/3 = E t = x 2 –x 1 = – = ε t = E t / x 2 = / = | ε t | < ε k şartı sağlanmadığı için iterasyona devam edilir k= 2 için  x 3 = g(x 2 ) = (x 2 +1) 1/3 = ( ) 1/3 = E t = x 3 –x 2 = – = ε t = E t / x3 = | ε t | < ε k şartı sağlanmadığı için iterasyona devam edilir

16 2. Sayfa Hafta BSM Sayısal Analiz 9 iterasyon sonunda hassasiyetle köke yaklaşılmıştır. İterasyonu sonlandırmak için | ε t | < ε k şartına bakılır (ε k daha önce anlatılmıştı). ε k problemi çözen kişi tarafından belirlenen çok küçük bir sayıdır. Köke yaklaşma hassasiyeti ne ölçüde isteniyorsa ε k ona göre seçilir. k= 3 için x 4 = k= 4 için x 5 = k= 5 için x 6 = k= 6 için x 7 = k= 7 için x 8 = k= 8 için x 9 = EtEt εtεt

17 2. Sayfa Hafta BSM Sayısal Analiz f(x)= 2x 4 -3x-2=0 fks.nun xo= 1.3 ve x o = -0.5 civarında kökleri olduğu bilindiğine göre ε k = hassasiyetle basit iterasyon yöntemiyle denklemin köklerini bulunuz y x x1x1 x2x2 Çözüm: Denklem; x=g(x) şeklinde yazılım. (Yani x=g(x) dönüşümü yapılır) ÖRNEK

18 2. Sayfa Hafta BSM Sayısal Analiz Öncelikle x o = 1.3 civarındaki kökü arayalım. 1. Adım 3. Adım 2. Adım

19 2. Sayfa Hafta BSM Sayısal Analiz x 0 = 1.3 x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = x 5 = x= x 6 = x 7 = iterasyon sonucunda hassasiyetle kök bulunmuştur. İterasyona son vermek için | ε |< ε | ε t |< ε k şartı aranır. ε k problemi çözen tarafından saptanır. Ne kadar küçük olursa iterasyon sayısı o kadar artar. ε k seçiminde köke yaklaşma hassasiyetine göre karar verilir. X k+1 = g(x k ) yaklaşımıyla köke ulaşılmaya çalışılır. X 1 =g(x o ) olacak.

20 2. Sayfa Hafta BSM Sayısal Analiz x o =-0.5 yakınlarındaki kök için 1) x 0 = -0.5 x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = x 5 = x 6 = x 7 = x 8 = x 9 = x= x 10 = x 11 = iterasyon sonucunda hassasiyetle kök bulunmuştur.

21 2. Sayfa Hafta BSM Sayısal Analiz ÖDEV f(x) = x Sin(x) denkleminin x o =1.5 civarında bir kökünün olduğu bilindiğine göre kökü ε k = yaklaşımla basit iterasyon yöntemini kullanarak bulunuz. (x radyan alınacak)

22 Lineer Olmayan Denklem Sistemlerinin Çözüm Yöntemleri SAÜ YYurtaY 22. Sayfa 6. Hafta BSM Sayısal Analiz Yarılama (Bisection) Yöntemi : X a, X b başlangıç değerleri için f(X a ) ve f(X b ) değerleri zıt işaretli, böyle başlangıç noktaları bulunabiliyorsa kökün X a ve X b arasında olacağı açıktır. Bir bilinmeyenli bir denklem biçiminde yazılabilir. Denkleminin kökleri aralığında ve bu aralıkta f fonksiyonu sürekli olsun. Aralığı ikiye bölme yöntemi ardışık olarak kökün bulunduğu aralığın uzunluğunu ikiye bölerek kökü içeren aralık uzunluğunu istenildiği kadar daraltan bir yöntemdir. X a ile X b aralığını küçülterek ile yeni bir ve değerleri bulunur. ile aynı işaretli ile zıt işaretli olduğundan kök X 1 ile X b arasındadır.

23 Lineer Olmayan Denklem Sistemlerinin Çözüm Yöntemleri SAÜ YYurtaY 23. Sayfa 6. Hafta BSM Sayısal Analiz Yarılama (İkiye Bölme veya Bisection) Yöntemi : O halde yönteme göre bu iki aralığı daraltmalıyız. Yani ile yeni ve değerlerini bulalım. Grafikten ‘ nin zıt işaretli olduğu görülür. Dolayısıyla kök X 1 ile X 2 arasındadır, bu aralık ikiye bölünerek köke bir adım daha yaklaşılacaktır. İşlemler son iki x değerinin farkının mutlak değeri verilen bir  değerine eşit veya küçük olana kadar devam eder. İşlemler |x n -x n-1 |   olduğunda işlem sonlandırılır ve kök değerin x n olduğu kabul edilir.

24 Lineer Olmayan Denklem Sistemlerinin Çözüm Yöntemleri SAÜ YYurtaY 24. Sayfa 6. Hafta BSM Sayısal Analiz İşlemlere hata değeri önemsenmeden devam edildiğinde x k ö k = 1, bulunur Örnek :

25 Lineer Olmayan Denklem Sistemlerinin Çözüm Yöntemleri SAÜ YYurtaY 25. Sayfa 6. Hafta BSM Sayısal Analiz Örnek : f(x) = x3 + 2x2 + 6x + 3 = 0 denkleminin -1 < x < 0 aralığında bir köke sahip olduğu bilinmektedir. Bu kök bu aralıkta yarılama yöntemiyle  = 0:06 hata ile hesaplayınız.

26 Lineer Olmayan Denklem Sistemlerinin Çözüm Yöntemleri SAÜ YYurtaY 26. Sayfa 6. Hafta BSM Sayısal Analiz

27 Lineer Olmayan Denklem Sistemlerinin Çözüm Yöntemleri SAÜ YYurtaY 27. Sayfa 6. Hafta BSM Sayısal Analiz

28 Lineer Olmayan Denklem Sistemlerinin Çözüm Yöntemleri SAÜ YYurtaY 28. Sayfa 6. Hafta BSM Sayısal Analiz

29 Lineer Olmayan Denklem Sistemlerinin Çözüm Yöntemleri SAÜ YYurtaY 29. Sayfa 6. Hafta BSM Sayısal Analiz

30 Lineer Olmayan Denklem Sistemlerinin Çözüm Yöntemleri SAÜ YYurtaY 30. Sayfa 6. Hafta BSM Sayısal Analiz

31 Lineer Olmayan Denklem Sistemlerinin Çözüm Yöntemleri SAÜ YYurtaY 31. Sayfa 6. Hafta BSM Sayısal Analiz

32 Lineer Olmayan Denklem Sistemlerinin Çözüm Yöntemleri SAÜ YYurtaY 32. Sayfa 6. Hafta BSM Sayısal Analiz

33 Lineer Olmayan Denklem Sistemlerinin Çözüm Yöntemleri 33. Sayfa 6. Hafta BSM Sayısal Analiz Örnek Kökleri ve yerlerini fonksiyonunun grafiğini çizerek de tespit edebiliriz. [-4,4] aralığında fonksiyonunun grafiği aşağıdadır.

34 Lineer Olmayan Denklem Sistemlerinin Çözüm Yöntemleri SAÜ YYurtaY 34. Sayfa 6. Hafta BSM Sayısal Analiz Dur x Kök x=(XL-XR)/2 XT=XL XL=(XL+XR)/2 H E ER< ɛ XL=XA XR=XB Başla XA,XB,E E H C<0 C=F(XL)*F(XR) ER=|XL-XR| Aralığı İkiye Bölme Akış Diyagramı Aralığı İkiye Bölme Akış Diyagramı XR=XL XL=XT

35 Lineer Olmayan Denklem Sistemlerinin Çözüm Yöntemleri SAÜ YYurtaY 35. Sayfa 6. Hafta BSM Sayısal Analiz

36 Lineer Olmayan Denklem Sistemlerinin Çözüm Yöntemleri SAÜ YYurtaY 36. Sayfa 6. Hafta BSM Sayısal Analiz Kiriş (secant) Yöntemi : Grafikteki A ve B noktaları arasındaki kirişin denklemini yazalım, A ve B nokatalarının oluşturduğu kirişin eksenini kestiği nokta bu denklemde ; Böylece ve gibi bilinen başlangıç noktalarıyla gerçek kök ‘e daha yakın bir kökü fonksiyonunun türevine gerek kalmadan bulabiliriz. İşlemlere devam ederek yeni kiriş noktaları bularak bunların x eksenini kestiği noktalarından gerçek köke daha da yaklaşabiliriz.

37 Lineer Olmayan Denklem Sistemlerinin Çözüm Yöntemleri SAÜ YYurtaY 37. Sayfa 6. Hafta BSM Sayısal Analiz

38 Lineer Olmayan Denklem Sistemlerinin Çözüm Yöntemleri SAÜ YYurtaY 38. Sayfa 6. Hafta BSM Sayısal Analiz

39 Lineer Olmayan Denklem Sistemlerinin Çözüm Yöntemleri SAÜ YYurtaY 39. Sayfa 6. Hafta BSM Sayısal Analiz

40 Lineer Olmayan Denklem Sistemlerinin Çözüm Yöntemleri SAÜ YYurtaY 40. Sayfa 6. Hafta BSM Sayısal Analiz

41 Lineer Olmayan Denklem Sistemlerinin Çözüm Yöntemleri SAÜ YYurtaY 41. Sayfa 6. Hafta BSM Sayısal Analiz Kiriş Yöntemi

42 Sayısal Analiz SAÜ YYurtaY 42. Sayfa Kaynaklar Sayısal Analiz S.Akpınar Sonraki Hafta : Sonraki Hafta : Lineer Olmayan Lineer Olmayan Denklem Sistemlerinin Çözümleri… 6. Hafta BSM


"Sayısal Analiz Lineer Olmayan Denklem Sistemlerinin Denklem Sistemlerinin Çözüm Yöntemleri Çözüm Yöntemleri 1SAÜ YYurtaY İletişim :" indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları