SONLU ELEMANLAR DERS 3.

... konulu sunumlar: "SONLU ELEMANLAR DERS 3."— Sunum transkripti:

1 SONLU ELEMANLAR DERS 3

2 MİNİMUM TOPLAM POTANSİYEL ENERJİ FORMÜLASYONU
Dış kuvvetler bir yapıda deformasyona neden olur. Deformasyon sırasında dış kuvvetlerin yaptığı iş malzemede şekil değiştirme enerjisi diye adlandırılan elastik enerji olarak depo edilir.

3 Elastik davranış lineer bir yay şeklinde modellenebilir.
F F y’ y’ l y l Yüksüz durum y dy y’ x dz dx z y

4 Bu eleman dy’ kadar uzatılırsa malzeme içerisinde depo edilen enerji:
Burada V elemanın hacmidir.

5 n eleman ve m düğümden oluşan bir yapıda toplam potansiyel enerji  toplam şekil değiştirme enerjisi ile dış kuvvetler tarafından yapılan işin farkına eşittir. Minimum toplam potansiyel enerji prensibine göre, stabil bir sistemde toplam potansiyel enerji minimumdur. O halde bu noktada türev sıfıra eşit olmalıdır.

6 ÖRNEK-1 F kuvveti altındaki yandaki yay direngenliğine (yay sabitine) bağlı olarak x kadar uzamaktadır. Statikten yaya uygulanan kuvvetin yayın iç kuvvetine eşit olduğu rahatlıkla görülebilir. k Yay tarafından depolanan elastik enerji= x Dış kuvvetin yaptığı iş= Sistemin toplam potansiyel enerjisi= F Stabil durumda toplam potansiyel enerji minimumdur. O halde türevi sıfırdır.

7 ÖRNEK-2 P=12 N 8 cm 2 cm Yandaki sistemde, çubuğun ağırlığı 8 N olduğuna göre, yaydaki çökme miktarını bulunuz. A G B C k=20 N/cm Bu problemi ilk önce statik denklemlerle çözelim: +

8 Şimdi bu problemi minimum toplam enerji yaklaşımı ile çözelim:
Sistemde elastik enerji yayda depo edilir. Bu enerji: P=12 N 8 cm 2 cm A G B C xG x xc Dış kuvvetlerin yaptığı iş: Sistemin toplam potansiyel enerjisi= Stabil durumda toplam potansiyel enerji minimumdur. O halde türevi sıfırdır.

9 ÖRNEK-3 w1 Yanda boyutları verilen değişken kesitli çubuk üst kenarından sabitlenmiş olup alt kenarından P kuvveti ile yüklenmektedir. Elastisite modülü E olan bir malzemeden üretilmiş olan bu çubuğun uzunluğu boyunca farklı noktalarda ne kadar deplasman yaptığını bulunuz. Çözümde çubuğun ağırlığını ihmal ediniz. L y w2 P Daha önce direk formülasyonla çözdüğümüz bu örneği minimum potansiyel enerji yöntemi ile çözelim:

10 Herhangi bir eleman için strain enerji yazılırsa:
V Herhangi bir eleman için dış kuvvetlerin yaptığı iş

11 KESİN ÇÖZÜM (σort)A(y) L y dy du P P

12 Statik bağıntılarından:

13 ANSYS ÇÖZÜMÜ

14 YER DEĞİŞTİRMELER

15 GERİLMELER

16 ÇÖZÜMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI
y Kesin Çözüm (in) Direk Formülasyon Minimum Enerji ANSYS 2.5 5 7.5 10