Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

HER ÖĞRENCİ MATEMATİK ÖĞRENEBİLİR MURAT GÜNER ATAŞEHİR-2012 www.muratguner.net.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "HER ÖĞRENCİ MATEMATİK ÖĞRENEBİLİR MURAT GÜNER ATAŞEHİR-2012 www.muratguner.net."— Sunum transkripti:

1 HER ÖĞRENCİ MATEMATİK ÖĞRENEBİLİR MURAT GÜNER ATAŞEHİR-2012

2 112 KAYNAKÇA 106 İKİNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEM SİSTEMLERİ 69 İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEME DÖNÜŞTÜRÜLEBİLEN DENKLEMLERİN ÇÖZÜM KÜMELERİNİN BULUNMASI 58 KÖKLERİ VERİLEN İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEM KURMA 38 İKİNCİ DERECEDEN BİR DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KATSAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR 12 DİSKRİMİNANT YARDIMIYLA KÖK BULMA 11 HAREZMİ KİMDİR? 7 ÇARPANLARA AYIRARAK KÖK BULMA 7 İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM KÖKLERİNİN BULUNMASI 3 İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER İÇİNDEKİLER

3 Ana Sayfa

4

5

6

7 İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM KÖKLERİNİN BULUNMASI İkinci dereceden denklemin kökleri iki yolla bulunabilir. I.yol : Çarpanlara ayırma II.yol:Diskriminant yardımı ile Genellikle, daha kısa ve kolay olduğu için çarpanlara ayırma yolunu kullanırız.Ancak ifade çarpanlara zor ayrılıyorsa diskriiminant kullanarak soruyu çözeriz. I. ÇARPANLARA AYIRARAK KÖK BULMA Ana Sayfa

8 ÖRNEK x 2 +7x – 8 = 0 denklemini sağlayan x değerlerini bulunuz. x 2 +7x – 8 = ( x + 8)(x – 1 ) = 0 8 –1  x + 8 = 0 veya x – 1 = 0 x = – 8 veya x = 1 Çözüm Kümesi Ç.K = { – 8, 1 } ÇÖZÜM

9

10

11 ÜSTAT HAREZMİ’Yİ TANIYOR MUSUNUZ? Ana Sayfa

12 ÖRNEK 2x 2 – 7x + 1 = 0 denklemini sağlayan x değerlerini bulunuz. ÇÖZÜM Önceki sorulardaki denklemler kolayca çarpanlarına ayrılırken yukarıdaki ifadeyi çarpanlarına ayırmak kolay değildir. Bu problemi çözmek için üstat matematikçiler aşağıdaki gibi kolaylaştırmışlar. Aşağıdaki genel çözümü inceleyiniz. II. DİSKRİMİNANT YARDIMIYLA KÖK BULMA Ana Sayfa

13

14 ÖRNEK 2x 2 – 7x + 1 = 0 denklemini sağlayan x değerlerini bulunuz. ÇÖZÜM Diskriminant ile kök bulma yolunu, ifadeyi çarpanlarına ayıramadığınızda kullanmaya alışınız. ax 2 + bx+c =0 denkleminin bir kökü x 1 = p + ise x 2 = p – Sıfırdan farlı k reel sayısı için, ax 2 + bx + c = 0 denklemi ile k( ax 2 + bx + c) = 0 denkleminin kökleri aynıdır.

15

16

17 ÖRNEK

18

19

20 ( Çift katlı kök, çözüm kümesi tek elemanlı da denir) ( Yukarıdaki köklerde  yerine negatif sayı yazılırsa sayı reel olmaz.)

21

22

23

24

25 ÖRNEK

26

27

28

29

30

31 2012-LYS

32 AX 2 + BX + C = 0 DENKLEMİNİN ÖZEL DURUMLARI

33

34

35

36 ÖRNEK ( m – 3 )x 2 + 2(m 2 – 9 )x + 18 = 0 denkleminin kökleri simetrik ise m kaçtır? A) – 3B) – 2C) 2D) 3E) 4

37 4.

38 İKİNCİ DERECEDEN BİR DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KATSAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR Ana Sayfa

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56 ÖRNEK

57

58 KÖKLERİ VERİLEN İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMİ KURMA Kökleri x 1, x 2 olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler, ( x – x 1 )(x – x 2 ) = 0 biçimimdedir. Bu denklem düzenlenirse; x 2 – ( x 1 + x 2 )x + ( x 1.x 2 ) = 0 denklemi elde edilir. Kökler toplamı T ile, kökler çarpımı Ç ile gösterilirse kökleri x 1 ve x 2 olan ikinci dereceden denklem x 2 – ( T )x + ( Ç ) = 0 şeklinde yazılır. Ana Sayfa

59

60

61

62

63 ÖRNEK

64

65

66

67

68

69 Ana Sayfa

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84 ÖRNEK

85

86

87

88

89 ÇÖZÜM l 4x – 20 I = 20 – 4x denklemini sağlayan kaç tane doğal sayı vardır? l 4x – 20 I = 20 – 4x eşitliğinin olması 4x – 20 < 0 olması anlamına gelir. 4x – 20 < 0 4x < 20 x < 5 x  { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } olup 6 doğal sayı vardır. ; x = 5 içinde eşitliğin sağlandığı unutulmamalı. 

90 ÖRNEK I 2x + 3 I = 2 – x denkleminin köklerini bulunuz. ÇÖZÜM l 2x + 3 l = 2 – x x = –1/3 2x + 3 = 2 – x 2x + 3 = – ( 2 – x ) x = – 5 2x + 3 = –2 + x x  { –1/3, – 5 } 1.YOL Bu x değerlerinin I 2x + 3 I = 2 – x denklemini sağlayıp sağlamadığı mutlaka kontrol edilmelidir.

91 ÖRNEK I 2x + 3 I = 2 – x denkleminin köklerini bulunuz. ÇÖZÜM 2x + 3  0 ise x  – 3 / 2 2x + 3 < 0 ise x < – 3 / 2 2x + 3 = 2 – x 2x + x = 2 – 3 x = –1/3 2x + 3 = – ( 2 – x ) 2x + 3 = –2 + x 2x – x = –2 – 3 x = – 5 Çözüm kümesi :{ – 1/ 3, – 5 } x = – 1 / 3 değeri – 3 / 2 den büyük ya da eşit ise kök anlamı kazanır. Aksi halde kök olarak alınmaz. x = – 5 değeri – 3 / 2 den küçük ise kök anlamı kazanır. 2.YOL

92  ÖRNEK x – 2 + I x – 1 I = 2x + 5 denkleminin köklerini bulunuz. ÇÖZÜM l x – 1 l = 2x +5 – x + 2 l x – 1 l = x + 7 x – 2 + l x – 1 l = 2x +5 – x + 2 x – 1 = x + 7 x – 1 = – ( x + 7 ) x – 1 = – x – 7 x + x = – x = – 6 x = – 3  İster 1. yolla çözün ister 2. yolla

93  ÖRNEK 2x + I x I + 9 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ÇÖZÜM x  0 x < 0 2x + x + 9 = 0 3x = – 9 x = –3 Çözüm kümesi :{ – 9 } x = –3 değeri 0 dan büyük ya da eşit olmadığından kök olarak alınmaz. x = – 9 değeri 0 dan küçük olduğundan kök olarak alınabilir. 2x – x + 9 = 0 x = – 9 İster 1. yolla çözün ister 2. yolla

94 ÖRNEK x 2 – 5IxI + 6 = 0 denkleminin köklerini bulunuz. ÇÖZÜM x < 0 için x 2 – ( –5x ) + 6 = x x ( x + 3)( x + 2 ) = 0 x 1 = –3 Ç 1 = {– 3, – 2 } x 2 + 5x + 6 = 0 x 2 = –2 x < 0 şartı sağlandığından – 3 ve – 2 çözüm kümesine alınabilir. x  0 için x 2 – 5x+ 6 = 0 –3 –2 x x ( x – 3)( x – 2 ) = 0 x 3 = 3 x 4 = 2 Ç 2 = { 3, 2 } Ç.K = { – 3, – 2, 2, 3 } x  0 şartı sağlandığından 3 ve 2 çözüm kümesine alınabilir.

95 ÖRNEK ÇÖZÜM x + 2I x I – 4 = 0 denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır ? x  0 x < 0 x + 2x – 4 = 0 3x = 4 x = 4/3 x = 4/3 değeri 0 dan büyük ya da eşit olduğundan kök olarak alınabilir. x = – 4 değeri 0 dan küçük olduğundan kök olarak alınabilir. x – 2x – 4 = 0 x = – 4 İster 1. yolla çözün ister 2. yolla   2000

96

97 ÖRNEK ÇÖZÜM I x – 2 I.I x + 5 I = x – 2 eşitliğini sağlayan x değerlerinin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A ) { – 4, – 2 } B ) { – 4, 2 } C ) { – 2 } D ) { 2 } E ) { 2, 4 } " Eşitliğini sağlayan x değerlerinin kümesi nedir ? " denildiğinde cevap şıklarını kontrol etmek daha kolay olacaktır. 2002

98 ÖRNEK ÇÖZÜM l 2x – 5 l = l x – 1 l denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 1. Yol l 2x – 5 l = l x – 1 l ( 2x – 5 ) 2 = ( x – 1 ) 2  4x 2 – 20x + 25 = x 2 – 2x + 1 3x 2 – 18x + 24 = 0 x 2 – 6x + 8 = 0 Ç.K = { 4, 2 } – 4 – 2 Kökler, yukarıdaki çarpanların ters işaretlisidir

99 2x – 5 = x – 1 2x – 5 = – ( x – 1) 2x – x = 5 – 1 x = 4 2x – 5 = – x + 1 2x + x = x = 6 ÖRNEK ÇÖZÜM l 2x – 5 l = l x – 1 l denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 2. Yol l f(x) l = l g(x) l ise f(x) = g(x) veya f(x)= – g(x)  x = 2 Ç.K = { 4, 2 }

100 l x – 2 l = l x + 8 l denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK ÇÖZÜM l x – 2 l = l x + 8 l  ( x – 2 ) 2 = ( x + 8 ) 2 x 2 – 4x + 4 = x x + 64 –20x = 60 x = –3 –16x – 4x = 64 – 4 Ç.K = { – 3 }

101 ÖRNEK ÇÖZÜM I 9 – x 2 I = I 3 – x I olduğuna göre x ’ in alacağı değerlerin toplamı kaçtır? 9 – x 2 = 3 – x 9 – x 2 = – ( 3 – x ) x 2 – x – 6 = 09 – x 2 = – 3 + x l f(x) l = l g(x) l ise f(x) = g(x) veya f(x)= – g(x) – 3 2 x 1 = 3 x 2 = –2 x 2 + x – 12 = 0 4 – 3 x 3 = 3 x 4 = –4 – 2 – = – 3 Ç.K = { – 2, – 4, 3 } Kökler yukarıdaki çarpanların ters işaretlisidir 2003

102 2.YOL ÖRNEK ÇÖZÜM I 9 – x 2 I = I 3 – x I olduğuna göre x ’ in alacağı değerlerin toplamı kaçtır? I ( 3 – x ).( 3 + x ) I = I 3 – x I I 9 – x 2 I = I 3 – x I I ( 3 – x ) I.I ( 3 + x ) I = I 3 – x I I 3 + x I = 1 I 3 – x I = x = x = – 1 x = – 2x = – 4 3 – x = 0 x = 3 ; 9 – x 2 =( 3 – x )( 3 + x ) I ( 3 – x ) I.[ I ( 3 + x ) I – 1 ] =

103 ÖRNEK I x –2 I = I x 2 –3x + 2 I denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ÇÖZÜM I x – 2 I = I (x – 2 ).( x – 1) I I x – 2 I = I x 2 – 3x + 2 I I x – 2 I = I x – 1 I. I x – 2 I I x – 1 I = 1 I x – 2 I = 0 x – 1 = 1 x – 1 = – 1 x = 2 x = 0 x – 2 = 0 x = 2 x 2 –3x + 2 – 2 – 1 x x Ç.K = { 0, 2 } ; I ( x – 2 ) I.[ I x – 1 I – 1 ] = 0

104 + –– ÖRNEK l 2x+4 l + l x – 5 l =11 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ÇÖZÜM Mutlak değerin içindeki ifadelerin köklerinin farklı olduğu denklem ve eşitsizliklerde, tablo yapıp mutlak değerli ifadelerin işaretlerini inceleyerek denklemleri oluşturmak, kolaylık sağlar. 2x + 4 = 0  x = – 2 x – 5 = 0  x = 5 2x + 4 x – 5 x – 2 – ( 2x + 4 ) – ( x – 5 ) = 11 ( 2x + 4 ) – ( x – 5 ) = 11 (2x + 4 ) + ( x – 5 ) = 11 –   x 1 = – 10/3 x 2 = 2 x 3 = 4 Ç.K = {–10/3,2 } – + + x < – 2– 2 < x < 5x > 5 5 x 1 sayısı ( – 2 ) den küçük olduğundan çözüm olarak alınır. Ç 1 ={ – 10/3 } x 2 sayısı ( – 2 ) ile 5 arasında olduğu için çözüm olarak alınır. Ç 2 ={ – 2 } x 3 sayısı 5 den büyük olmadığından çözüme dahil edilemez. Ç 3 =  – 2 ve 5 değerlerinin denklemi sağlayıp sağlamadığı mutlaka denenmelidir.

105 ÖRNEK ÇÖZÜM I x– 4 I + I x I = 8 denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır ? + –– x = 0 x – 4 = 0 x x – 4 x 4 0 – ( x ) – ( x – 4 ) = 8( x ) – ( x – 4 ) = 8 ( x ) + ( x – 4 ) = 8 –   x 1 = – 2 4 = 8 x 3 = 6 – + +  x = 4 x < 00 < x < 4x > 4 x 1 sayısı ( 0 ) dan küçük olduğundan çözümün bir elemanıdır. Ç 1 = { – 2 } 4=8 ( yanlış ifade ) çıkması 0 ile 4 arasındaki tüm sayıların çözümün elemanı olmadığı anlamına gelir. Ç 2 =  x 3 sayısı ( 4 ) den büyük olduğundan çözümün bir elemanıdır. Ç 3 = { 6 } x = 0 için için denklem sağlanmadığından 0 çözeme dahil değildir. Ç.K= {–2,6 } x = 4 için denklem sağlanmadığından 4 çözüme dahil değildir. 0 ve 4 değerlerinin denklemi sağlayıp sağlamadığı mutlaka denenmelidir. 2001

106 İKİNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEM SİSTEMLERİ Ana Sayfa

107

108

109

110

111

112 BU ÇALIŞMAYI HAZIRLARKEN AŞAĞIDAKİ KİTAPLARDAN İKTİBAS YAPILMIŞTIR. 1- KAREKÖK YAYINLARI 2-CELAL AYDIN YAYINLARI 3-KÜLTÜR YAYINLARI 4-FEM YAYINLARI 5-ZAFER YAYINLARI 6-TÜMAY YAYINLARI Ana Sayfa


"HER ÖĞRENCİ MATEMATİK ÖĞRENEBİLİR MURAT GÜNER ATAŞEHİR-2012 www.muratguner.net." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları