Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER 11.HAFTA İÇERİĞİ 11.HAFTA İÇERİĞİ-

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER 11.HAFTA İÇERİĞİ 11.HAFTA İÇERİĞİ-"— Sunum transkripti:

1 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER 11.HAFTA İÇERİĞİ 11.HAFTA İÇERİĞİ-

2 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER EĞRİ UYDURMA Bir çok mühendislik uygulamalarında deneylerden ya da geçmiş tecrübelerden elde edilen tablo bilgileri vardır. x y Genellikle bir bağımsız değişkene (x) bağlı olarak bağımlı değişkenin (y) değeri bu tablolarda verilir. Bu verileri kullanarak bilinmeyen değerlerin tahmin edilmesi sık sık karşılaşılan bir ihtiyaçtır. Bilinmeyen değerler verilen tablo bilgileri arasında kalan bir değer olduğu gibi tablo dışındaki bir bilgi de olabilir. Ara değer tahmininde 2 tür yaklaşım kullanılır.1-İnterpolasyon 2-Eğri uydurma

3 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER 1-İnterpolasyon interpolasyon Deneylerden elde edilen değerler tam doğru ise ara değerlerin bulunmasında interpolasyon yaklaşımı kullanılır. tüm veri noktalarından geçen n+1n. dereceden Bu yaklaşımda tüm veri noktalarından geçen bir eğri uydurmaya çalışılır. Eğer n+1 tane veri varsa n. dereceden bir polinom tüm noktalardan geçer. Ya da noktalar arasında doğrusal interpolasyon yapılabilir.

4 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER 2-EĞRİ UYDURMA tam (kesin) doğru değilse Eğer deneysel verilerin değerleri tam (kesin) doğru değilse eğri uydurma yaklaşımından yararlanarak ara değerler tahmin edilir. verilerin genel eğimini gösteren bir eğri tahmin edilir Eğri uydurmada her veri noktasından geçen eğri yerine, verilerin genel eğimini gösteren bir eğri tahmin edilir. kesin doğru değildir. Çünkü deneylerden elde edilen ölçme aleti hatası, okuma hatası, deney şartlarının tam olarak kontrol edilememesi gibi sebeplerden dolayı kesin doğru değildir. Bu nedenle tüm veri noktalarından geçen interpolasyon yaklaşımı ile elde edilen değerler hatalı olacaktır.

5 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Doğrusal eğri uydurma (doğrusal reglasyon) Eğrisel eğri uydurma (eğrisel reglasyon) Eğri uydurmada her bir noktaya uğramayan, verilen genel eğimine uyan bir yaklaşım fonksiyonu türetilir. Fakat verilerin arasından çok sayıda doğru ya da eğri çizilebilir. Bunların hepsi de bu verilerin genel eğilimini göstermektedir denilemez.

6 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER e= Hata değeri Bu kriteri kullanan ve yaygın bir kullanımı olan yöntem ‘EN KÜÇÜK KARELER’ yöntemidir. e1e1 e2e2 e3e3 e4e4 e5e5 x y KRİTER Bu nedenle eğri uydurmada en doğru eğrinin belirlenmesini sağlayan bir KRİTER’e ihtiyaç vardır. hata değerinin Birçok kriter tanımlanabilir. Fakat en uygun kriter gerçek veri değeri ile türetilen fonksiyonun değeri arasında kalan hata değerinin kullanılmasıdır.

7 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER En küçük kareler yönteminin en basit örneği bir deney verileri için doğru uydurmaktır. Deneyler sonucunda (x 1, y 1 ), (x 2,y 2 ) … (x n,y n ) değerleri bulunsun. Bu noktalardan geçen en uygun doğrunun denklemi : Burada y gerçek değer, x bağımsız, e ise gerçek değer ile tahmin edilen değer arasındaki hatayı gösterir. Ayrıca doğru denkleminde a o y eksenini kesme noktasını ve a 1 ’de eğimi gösterir. EN KÜÇÜK KARELER YÖNTEMİ e1e1 e2e2 e3e3 e4e4 e5e5 x y Kesme noktası =a o Eğim=a 1

8 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Yukarıdaki denklemden hatanın değeri: e = y – a o – a 1 x Eğri uydurmada bu hata değeri en uygun eğrinin elde edilmesinde kriter olarak kullanılır. Bu amacı sağlayacak ilk yaklaşım hata değerlerinin toplamının minimum yapılmasıdır: Burada n veri sayısını gösterir.

9 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER birbirlerini götürerek Fakat bu kriter eğri uydurma için çok uygun değildir. Çünkü hata bazen pozitif bazen de negatif değerler almaktadır. Bu nedenle birbirlerini götürerek yanlış bir yaklaşıma sebebiyet verirler. Bu olumsuzluğun giderilmesinde mutlak değerlerinin toplamının minimum yapılması kullanılabilir. Fakat bu durumda da aynı amacı sağlayan birden fazla uydurulabilir.Bunlar arasında hangisinin kullanılması hakkında yöntem bir şey söyleyemez.

10 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER hataların kareleri toplamının Sonuç olarak diğer yöntemlerin olumsuzlukların giderilmesinde kullanılan kriter ‘hataların kareleri toplamının’ minimum yapılmasıdır. Hataların kareleri toplamı Є T ; Bu kriter kullanılarak a o ve a 1 değerlerinin belirlenmesi ile verilere uyan en uygun doğru belirlenmiş olur.

11 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER a) Doğrusal eğri uydurma En küçük kareler yönteminin anlaşılması için en basit yaklaşım veriler arasında doğru denklemi belirlemektir. Bunun için daha önce ifade edilen hataların kareleri toplamı denklemi kullanılır. Є T a o a 1 Є T ’yi minimum yapan a o ve a 1 ’i belirlemek için Є T denklemi ayrı ayrı bu değerlere göre türevi alınır ve 0’a eşitlenir.

12 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER ve a o için bulunan denklemi düzenlersek dönüşümü sonucunda: Sonra a 1 için bulunan denklemi düzenlersek; elde edilir.

13 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Bu iki denklem; Lineer (doğrusal) denklem takımı Lineer (doğrusal) denklem takımı elde edilir. Bu denklem takımını bilinen yöntemlerin biri ile çözülür.

14 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Ya da lineer denklem matris şeklinde yazılabilir. çözülür. Eğer yerine koyma yöntemi kullanılırsa: elde edilir.

15 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER ÖRNEK Noxixi yiyi Aşağıdaki tablo değerlerine uygun doğrusal eğri denklemini en küçük kareler yöntemine göre uydurunuz.

16 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Noxixi yiyi xi2xi2 xiyixiyi

17 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER

18 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Doğrusal yaklaşımın uygun olmadığı durumlarda başka eğri formları denenmelidir. Eğrinin veriler için daha iyi olduğu durumlarda doğrusal yaklaşım için açıklanan en küçük kareler yöntemi polinom uydurmaya da uygulanabilir. n. derecen bir polinom : şeklindedir. b) Polinom Uydurma En küçük kareler yöntemi n. dereceden bir polinom uydurmak için kolayca genişletilebilir. Bunun için öncelikle 2. dereceden bir polinom için yöntemi uygulayalım. şeklinde yazılır.

19 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER e = y - a o + a 1 x - a 2 x 2 x y Tahmin değeri Gerçek değer Hata (e) : Hataların kareleri toplamı (Є T ); Burada bilinmeyenler a o, a 1, a 2 olduğundan Є T ’nin bu katsayılara göre türevi alınarak 0’a eşitlenir. e1e1 e2e2 e3e3 e4e4 e5e5 e6e6 e7e7

20 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER ve son düzeltmeler ile Gerekli düzeltmeler yapıldığında;

21 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER elde edilir. Görüldüğü gibi 3. dereceden lineer denklem takımı oluşturuldu. Bu denklemler herhangi bir yöntem ile çözülerek a o, a 1, a 2 bulunur.

22 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Buradan görüldüğü gibi 2. dereceden bir polinom uydurma için 3 doğrusal denklem sisteminin çözülmesi gerekir. Bu genelleştirilerek n.dereceden bir polinom için n+1 adet lineer denklemin çözülmesi gerektiği söylenebilir.

23 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER ÖRNEK Noxixi yiyi Yandaki tablo değerlerine uygun 2.dereceden polinom eğrisini en küçük kareler yöntemi ile uydurunuz.

24 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Noxixi yiyi xi2xi2 xi3xi3 xi4xi4 xiyixiyi xi2yixi2yi

25 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER a o = a 1 = a 2 = Herhangi bir yöntem ile çözülürse:

26 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER

27 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER

28 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER ÖRNEK Noxixi yiyi Yandaki tablo değerlerine uygun 2.dereceden polinom eğrisini en küçük kareler yöntemi ile uydurunuz.

29 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Noxixi yiyi xi2xi2 xi3xi3 xi4xi4 xiyixiyi xi2yixi2yi

30 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER a o = a 1 = a 2 = Herhangi bir yöntem ile çözülürse:

31 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER

32 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Elastik eğri yukarıdaki gibi gösterilmiştir. Yukarıda verilen şekil ve ymax değerine göre; a) Elastik eğri için en küçük kareler yöntemini kullanarak şeklinde 2.dereceden polinom uydurunuz b) x=L/3 için gerçek elastik eğri denklemi ile uydurduğunuz elastik eğri denkleminden elde ettiğiniz değeri karşılaştırarak o nokta için bağıl hatayı (%) hesaplayınız. ÖDEV

33 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Uydurulan eğrinin, verilere uygunluğunun belirlenmesinde belirlilik R 2 katsayısı kullanılır. DETERMİNASYON (BELİRLİLİK R 2 KATSAYISI) R 2 Bulunan belirlilik katsayısı R 2, kurulan fonksiyon ile elde edilen bağımlı değişkenlerin, gerçek değerlere uyan miktarının yüzdesel (%) değerini verir. TahminGerçek

34 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Belirlilik katsayısının değeri 0≤ R 2 ≤ 1 arasında değişir. 1)Eğer R 2 = 0 ise bu veriler arasında bir uyumluluğun olmadığını gösterir. 2)Eğer R 2 =1 ise tam bir uyum vardır 3)Eğer R 2 bu iki değer arasında ise yorum yapmak oldukça zordur. Bu nedenle ara değerlerin yorumlanmasında veri sayısından (n) yararlanılır. a) Çok sayıda veri varsa 0.25 e kadar düşmüş değerler bile anlamlı olabilir (n>20) b) Az sayıda veri varsa 0.71’in üstü anlamlı (15>n>10) c) Eğer normal sayılabilecek kadar veri varsa arası zayıf arası orta arası kuvvetli ilişki vardır denilir. DETERMİNASYON (BELİRLİLİK R2 KATSAYISI)


"Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER 11.HAFTA İÇERİĞİ 11.HAFTA İÇERİĞİ-" indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları