DİFERANSİYEL DENKLEMLER SİSTEMİ

... konulu sunumlar: "DİFERANSİYEL DENKLEMLER SİSTEMİ"— Sunum transkripti:

1 DİFERANSİYEL DENKLEMLER SİSTEMİ

2 2 Daha önce beşinci bölümde tek değişken durumunda fark denklemlerini ele almıştık. Burada değişken sayısının iki ya da daha fazla olduğu diferansiyel denklemlerden oluşan bir sistemin çözümü üzerinde duracağız. Genel olarak iki tane birinci sıra diferansiyel denklemden oluşan diferansiyel denklemler sistemini şöyle yazabiliriz:

3 3 (1) (2) (3)

4 4 Yukarıda yer alan üç diferansiyel denklem sistemi de birinci sıradandır. Yani her bir sistem, değişkenlerin en yüksek birinci türevine göre yazılmıştır. 1. ve 2. sistemler, sistemin bağımsız değişkenleri olan x ve y bağlamında doğrusal olduğundan doğrusaldır. Buna karşın 3. sistem, x ve y xy biçiminde çarpım olarak denklemlerde yer aldığından, doğrusal değildir. Eğer denklemlerde t bağımsız değişken olarak yer almıyorsa, sistem otonomdur. 1. sistem otonom değil, buna karşın 2. ve 3. sistemler homojendir.

5 5 Eğer sistemdeki diferansiyel denklemlerde sabit terimler yoksa, sistem homojendir. Bu anlamda 1. sistem, cet teriminden dolayı homojen değildir. İki diferansiyel denklemden oluşan bir sistemin çözümü, x ve y değişkenlerini t ’ye bağlayan x=x(t) ve y=y(t) biçimindeki denklemlerin bulunmasıdır. Elde edilecek denklemler, t ’te göre türevlenebilirdir. Ayrıca, sistemin belirli çözümünün elde edilebilmesi için, başlangıç koşullarının da verilmiş olması gerekir.

6 6 Buna göre, iki değişkenli bir diferansiyel denklem problemini genel olarak şöyle tanımlayabiliriz:

7 7 Örnek 1: Yukarıda elde ettiğimiz (t ’ye bağlı) çözümlerden, x-y düzlemine geçiş yapmak istersek, çözümü aşağıdaki gibi ifade edebiliriz. Buna ilişkin yörünge, Şekil 1’de gösterilmiştir.

8 Şekil 6.1. Diferansiyel Denklemin Iraksama Süreci (Örnek 1)
8 Şekil 6.1. Diferansiyel Denklemin Iraksama Süreci (Örnek 1) 5 10 15 20 2 4 6 8

9 9 Örnek 2:

10 Şekil 6.2. Diferansiyel Denklemin Iraksama Süreci (Örnek 2)
10 Şekil 6.2. Diferansiyel Denklemin Iraksama Süreci (Örnek 2) 5 10 15 20 2 4 6 8

11 11 Otonom sistemlerin zamandan bağımsız davrandığına dikkat edelim. Yani değişkenlerin zamana göre türevleri sabittir. Diferansiyel denklem sisteminin çözümüyle elde ettiğimiz x ve y, t ’ye bağlıdır. Yukarıda örnek 1 otonom, örnek 2 otonom olmayan sistemlerdir. Otonom bir diferansiyel denklem sisteminde (x, y düzlemindeki) süreç grafiği, t ’den bağımsızdır.

12 12 Yukarıda sözünü ettiğimiz gibi, süreç grafiği (phase diagram), diferansiyel denklem sisteminin çözümüyle elde ettiğimiz, x(t) ve y(t) fonksiyonlarının, y=f(x, t) fonksiyonuna dönüştürülüp, tanımlı bir başlangıç koşulu altında çizilmesiyle elde edilir. Bu grafik, başlangıç noktasından hareketle, zamana bağlı olarak x değiştikçe, y ’nin nasıl bir seyir izleyeceğini gösterir. Bu nedenle bu grafiklere, yörünge grafiği de (orbit) denilebilir. Örnek 1 ve örnek 2’deki grafikler, birer süreç (yörünge) grafiğidir.

13 13 Örnek 3: Bu diferansiyel denklem sistemini, ilk olarak indirgeme yöntemiyle çözelim.

14 14

15 15

16 16

17 17 Denge değerlerini belirlemek için, ve terimlerini sıfıra eşitleyece-ğiz. Bu örneğe ilişkin denge eğrileri (isoclines) ve süreç grafikleri, Şekil 6.3a, 6.3b ve 6.3c’de gösterilmiştir. Sürecin bir eyer dengesi olduğu görülebilmektedir. Şekil 6.3c’deki mavi doğrular, denge eğrileridir. Bu iki doğru, ve sıfıra eşitlenerek belirlenmektedir. Yani, bu doğru-ların üzerindeki tüm noktalarda x ve y dengededirler. Her iki eğrinin kesişim noktası da, tüm diferansiyel denklem sisteminin dengesini göstermektedir.

18 Şekil 6.3a. Diferansiyel Denklem Sisteminin Iraksama Süreci (Örnek 3)
18 Şekil 6.3a. Diferansiyel Denklem Sisteminin Iraksama Süreci (Örnek 3) 0.5 1 1.5 2 -60 -40 -20 20 40 60

19 Şekil 6.3b. Diferansiyel Denklem Sisteminin Iraksama Süreci (Örnek 3)
19 Şekil 6.3b. Diferansiyel Denklem Sisteminin Iraksama Süreci (Örnek 3)

20 Şekil 6.3c. Denge Eğrileri ve Süreç Grafiği
20 Şekil 6.3c. Denge Eğrileri ve Süreç Grafiği (Örnek 3)

21 21 Süreç grafiğini, denge eğrilerinin grafiği böldüğü dört alan üzerinden inceleyebiliriz. Her bir alanı Romen rakamlarıyla tanımladık. Bu alanların içinde kalan kırmızı (küçük) oklar, veri bir başlangıç noktasından hareket edildiğinde, sürecin hangi yöne ve noktaya (ya da noktalara) doğru akacağını bize göstermektedir. Örneğin başlangıç noktasının I. bölgede bulunduğunu varsayalım. Bu durumda x ve y nasıl değişecektir. I. bölge, denge eğrisinin üs-tünde, denge eğrisinin ise altında yer almaktadır. Buna göre, denge eğrilerini yeniden yazalım ve bunun üstünde ve altında kalan bölgelerin hareket yönlerini x ve y için belirleyelim.

22 22 İlk olarak denge eğrilerini (Şekil 6.3c’deki mavi doğrular) yeniden yazalım. I. bölge için şunları yazabiliriz: x azalıyor. y azalıyor.

23 23 Yukarıdaki sonuca göre, I. bölgede x ve y ’nin her ikisi de azalma (yatay oklar sol yöne ve dikey oklar aşağı yöne doğru) yönündeki oklarla gösterilecektir. Buna benzer biçimde IV. bölgeyi de inceleyelim. IV. bölge için şunları yazabiliriz: x azalıyor. y artıyor. Buna göre, IV. bölgede x azalma yönünde (yatay oklar sol yöne doğru) ve y artma yönünde (dikey oklar yukarı yöne doğru) yönündeki oklarla gösterilecektir.

24 24 Örnek 4: Bu diferansiyel denklem sistemini Örnek 3’te olduğu gibi çözdüğümüzde şunları elde ederiz: Bu çözümlere ilişkin grafikler aşağıda yer almaktadır.

25 25 Şekil 6.4a. Diferansiyel Denklem Sisteminin Dengeye Yakınsama Süreci (Örnek 4) 0.5 1 1.5 2 3 4 5

26 Şekil 6.3b. Diferansiyel Denklem Sisteminin Yakınsama Süreci (Örnek 4)
26 Şekil 6.3b. Diferansiyel Denklem Sisteminin Yakınsama Süreci (Örnek 4)

27 Şekil 6.3c. Denge Eğrileri ve Süreç Grafiği
27 Şekil 6.3c. Denge Eğrileri ve Süreç Grafiği (Örnek 4)

28 Diferansiyel Denklem Sistemlerinin Matrisle Çözümü
28 Diferansiyel Denklem Sistemlerinin Matrisle Çözümü 1. İki Farklı Reel Kök Durumu: İlk olarak Örnek 3 ve farklı bir örneği matris biçimde yazalım ve sonra genel olarak diferansiyel denklem sistemlerinin matrisle nasıl yazılabileceğini ve çözülebileceğini görelim.

29 29 Şimdi genel olarak iki değişkenli birinci sıradan homojen olmayan bir diferansiyel denklem sistemini yazalım. Denge değerlerini belirleyebilmek için, vektörünü sıfır kabul ederek, x vektörünü belirlememiz gerekir.

30 30 Homojen olmayan diferansiyel denklem sistemini, homojen duruma indirgeyerek çözüm yapabiliriz. Daha önce birinci sıra diferansiyel denklemin çözümü olarak şunu elde etmiştik:

31 31 Bu çözümü, sistemin çözümünde de kullanabiliriz.
Burada v, rasgele sabitlerden oluşan vektördür. Çözüm sırasıyla şöyle olacaktır:

32 32 Örnek 5: Bu, homojen bir diferansiyel denklem olduğundan, indirgemeye gerek olmadan, çözümünü doğrudan yapacağız. Bunu ilk olarak matris biçimde tanımlayalım.

33 33

34 34

35 35

36 36 2. Tek Reel Kök Durumu: Daha önce tek reel kök durumunda, birinci sıradan bir diferansiyel denklemin çözümünü şöyle belirlemiştik: Aynı çözümü, denklem sistemi içinde kullanalım. Karşımıza iki olası durum çıkabilir: ya iki farklı öz-vektör (v1, v2) ya da tek öz-vektör (v). İki farklı öz-vektör durumunda çözümü şöyle yazabiliriz:

37 37 Öz-vektör tek olduğunda ise çözümü şöyle yazabiliriz: Örnek 6:

38 38

39 39 Örnek 7: Bu örnek, tek reel kökün olduğu bir durumu göstermektedir. Buna göre, şu çözümü oluşturacağız.

40 40 İlk olarak v1 öz-vektörünü, sonra da v2 öz vektörünü belirleyelim. Son aşamada da her iki çözümü birleştirerek genel çözüme ulaşalım.

41 41

42 t ’ye göre türevi alalım.
42 t ’ye göre türevi alalım. Yukarıdaki tüm denklemleri, asıl diferansiyel denklem sistemdeki yerlerine yazalım ve düzenleyelim.

43 43 Şimdi her iki çözümü birleştirerek, belirli olmayan genel çözümü elde edelim.

44 44

45 3. Karmaşık Kökler Durumu:
45 3. Karmaşık Kökler Durumu: Daha önce karmaşık kökler durumunda, birinci sıradan bir diferansiyel denklemin çözümünü şöyle belirlemiştik: Burada;

46 46 Şimdi tek denklem (tek değişken) için yazdığımız bu çözümü, iki denklemden (iki değişkenden) oluşan bir diferansiyel denklem sistemi için de yazalım.

47 47 Ayrıca De Moivre teoreminden yararlanarak, polar biçimde de tanımlayabiliriz.

48 48 Örnek 8: Bu örnek, iki sanal kökün olduğu bir durumu göstermektedir. İlk olarak bunu matris biçimde yazalım ve karakteristik kökleri bulalım.

49 49 Şimdi öz-vektörleri belirleyelim.

50 50 Buna göre, genel çözüm: Bu genel çözümü reel terimlere dönüştürerek ifade edelim.

51 51

52 52

53 Diferansiyel Denklem Sisteminin Dinamik Davranışı
53 Diferansiyel Denklem Sisteminin Dinamik Davranışı Şimdi çözümü elde edilmiş olan bir diferansiyel denklem sisteminin (iki değişkenli bir sistemi dikkate alıyoruz), denge dışı bir noktadayken zaman içerisinde nasıl hareket edeceğini, süreç grafikleri (phase diagrams) yoluyla inceleyelim. Karşımızda, yukarıda incelediğimiz gibi farklı durumlar vardır. İki farklı reel kök, tek reel kök, sanal kökler gibi. Ya da elde edeceğimiz reel kökler negatif ve pozitif olmalarına göre de, sistemin hareket sürecini belirleyecektir. Aşağıda, bu türden farklı durumları içeren bir yaklaşım yapıyoruz. İlk olarak iki farklı reel kökten başlayalım.

54 1. İki Farklı Reel Kök Durumunda Süreç Grafikleri
54 1. İki Farklı Reel Kök Durumunda Süreç Grafikleri İki farklı reel kök durumunda şu çözümü elde etmiştik: Köklerin (r1 , r2) işaretine ve sayısal büyüklüklerine bağlı olarak siste-min hareketi için şu olası durumlardan söz edilebilir: ise;

55 55 Bu durum Şekil 6.4’de gösterilmiştir. Orijin noktasının denge noktası olduğunu kabul edelim. Başlangıç noktası öz-vektörü üstündeyse (c2=0), sistem zaman içinde orijin noktasına hareket edecektir. Aynı şekilde başlangıç noktası öz-vektörü üstündeyken (c1=0) de sistem kararlı davranarak, yine denge noktasına limitte yaklaşacaktır. Bu anlamda orijin noktasındaki bu denge noktasına, kararlı denge noktası diyoruz.

56 Şekil 6.4. İki Reel Kök Durumunda Süreç Grafiği
56 Şekil 6.4. İki Reel Kök Durumunda Süreç Grafiği

57 57 ise; Bu durumda Şekil 6.4’deki orijin noktasına yönelmiş olan oklar, tam ters yöne dönük olacaktır. Yani sistem kararsızdır. Dengeden bir sapma, sistemin dengeden giderek uzaklaşmasına neden olur. Bu anlamda, orijin noktasındaki denge, kararsız bir denge noktasıdır.

58 58 Örnek 9:

59 59

60 60

61 Şekil 6.5. Denge Eğrileri ve Süreç Grafiği
61 Şekil 6.5. Denge Eğrileri ve Süreç Grafiği (Örnek 9)

62 62 ise; Bu durum Şekil 6.6’da gösterilmiştir. Başlangıç noktasının yalnızca öz-vektörü üzerinde bulunduğu durumlarda sistem kararlıdır. Bunun dışındaki tüm olası durumlarda sistem kararsızdır. Bu nedenle öz-vektörüne kararlı yol, öz-vektörüne de kararsız yol diyoruz. Denge, bir eyer noktasıdır.

63 Şekil 6.6. İki Reel Kök Durumunda Süreç Grafiği
63 Şekil 6.6. İki Reel Kök Durumunda Süreç Grafiği

64 64 Örnek 10:

65 65

66 66

67 Şekil 6.7. Denge Eğrileri ve Süreç Grafiği
67 Şekil 6.7. Denge Eğrileri ve Süreç Grafiği (Örnek 10)

68 68 Örnek 11:

69 69

70 70

71 Şekil 6.8. Denge Eğrileri ve Süreç Grafiği
71 Şekil 6.8. Denge Eğrileri ve Süreç Grafiği (Örnek 11)

72 2. Tek Reel Kök Durumunda Süreç Grafikleri
72 2. Tek Reel Kök Durumunda Süreç Grafikleri Tek reel kök durumunda iki olası çözümün olduğunu söylemiştik. Birinci olası çözüm, bağımsız öz-vektörler durumudur: İkinci olası çözüm, tek bağımsız öz-vektör durumudur: Şimdi her bir duruma sırasıyla bakalım. Birinci durumda x/y=A1/A2 t’den bağımsızdır, yalnızca öz-vektörlere bağlıdır.

73 73 Tüm çözümler, orijinden çıkan düz doğru üzerinde yer alacaktır ve eğer karakteristik kök negatif ise, sistem kararlı hareket edecektir. Kararlı denge noktası orijindir. Aksi halde sistem kararsızdır. Bunu Şekil 6.9’da görebiliriz. İkinci olası durumda sistemin hareketini belirleyecek olan (baskın) terim ’dir. Eğer karakteristik kök negatifse, süreç kararlıdır. Bunun yanında A2=0 ise, sistem v vektörü üzerinde hareket ederek dengeye (orijin noktasına) yaklaşacaktır. Daha önce çözdüğümüz Örnek 7, kararlı olmayan bir süreç olarak, Şekil 6.10a’da yansıtılmıştır. Ayrıca Şekil 6.10b ve 6.10c kararlı süreçleri göstermektedir.

74 Şekil 6.9. Denge Eğrileri ve Süreç Grafiği
74 Şekil 6.9. Denge Eğrileri ve Süreç Grafiği (Bağımlı Öz-Vektör Durumu, Örnek 6)

75 Şekil 6.10. Denge Eğrileri ve Süreç Grafiği
75 Şekil Denge Eğrileri ve Süreç Grafiği (Bağımlı Öz-Vektör Durumu, Örnek 6)

76 76 İkinci durumda süreç oklarının dengeye ne şekilde yaklaşacağı, v ve v2 vektörlerine bağlıdır. Bunu görebilmek için, tek reel kök durumundaki olası çözümü kullanalım. Buradan görüldüğü gibi, vektör denklemi doğrusaldır. Bu denklem noktasından geçer ve v1 ’e paraleldir. A2 katsayısının işaretine ve sayısal değerine bağlı olarak da farklı bir konumda olacaktır.

77 Şekil 6.11. Denge Eğrileri ve Süreç Grafiği
77 Şekil Denge Eğrileri ve Süreç Grafiği (Bağımsız Öz-Vektör Durumu)

78 3. Karmaşık Kökler Durumunda Süreç Grafikleri
78 3. Karmaşık Kökler Durumunda Süreç Grafikleri Bu durum altında iki olası alt duruma bakacağız. Daha önce karakteristik kökleri şöyle belirlemiştik: Birinci olarak h≠0, v>0 alt durumuna bakalım. Diferansiyel denklem sistemini şu şekilde ifade edebiliriz:

79 Şekil 6.12. Karmaşık Sayılar (Argand Gösterimi)
79 Şekil Karmaşık Sayılar (Argand Gösterimi)

80 80 Bunu kutupsal koordinatlar olarak (R ve θ cinsinden) ifade edelim.

81 81

82 82

83 83 Şu anda elimizde iki parametrik denklem var:
İkinci denkleme göre, v>0 olduğundan, θ zaman içinde azalır. Yani hareket saat yönünde çalışır. t∞ iken, h<0 durumunda R0 ya da t∞ iken, h>0 durumunda R∞ olacaktır. Buna göre, saat yönünde gerçekleşen spiral hareket ya merkeze (sabit noktaya) doğru ya da merkezden uzaklaşacak şekilde oluşacaktır.

84 84 İkinci olarak h=0, v>0 alt durumuna bakalım. Bu durumda karmaşık kökler şöyledir: Diferansiyel denklem sistemini de şöyle yazabiliriz:

85 85 Bir önceki durumda olduğu gibi, R ve θ için parametrik denklemleri yazalım. Bu denklemler, hareketin merkez etrafında kapalı bir dairesel (çember ya da elips) biçim oluşturacağını söylemektedir. v>0 ise hareket saat yönündedir. Hareketin bir tam aşama süreci 2π/v ’dir.

86 86 Örnek 12:

87 87 h≠0 olması, sürecin spiral biçimli olmasını; h>0 olması, sürecin merkezden giderek uzaklaşan bir spiral; h<0 olması, sürecin merkeze giderek yaklaşan bir spiral biçimde olmasına yol açar. Örnek 12’de h=−1>0 nedeniyle, sürecin başlangıç noktasından (x0=2, y0=3), denge noktasına (merkeze) giderek yaklaştığını Şekil 6.13a ve b’de görebiliriz. v ’nin değeri ise, spiral hareketin saat yönünde mi yoksa ters yönde mi olacağını belirler. v>0 ise, süreç saat yönünde oluşacaktır. Örnek 12’de v=4>0 olduğuna dikkat edelim.

88 Şekil 6.13a. Karmaşık Sayılar: h=−1 , v=4
88 Şekil 6.13a. Karmaşık Sayılar: h=−1 , v=4

89 Şekil 6.13b. Karmaşık Sayılar: h=−1 , v=4 (Örnek 12)
89 Şekil 6.13b. Karmaşık Sayılar: h=−1 , v=4 (Örnek 12)

90 90 Örnek 13:

91 Şekil 6.13a. Karmaşık Sayılar: h=1 , v=4 (Örnek 13)
91 Şekil 6.13a. Karmaşık Sayılar: h=1 , v=4 (Örnek 13)

92 Şekil 6.13b. Karmaşık Sayılar: h=1 , v=4 (Örnek 13)
92 Şekil 6.13b. Karmaşık Sayılar: h=1 , v=4 (Örnek 13)

93 IS-LM Modelinde Dinamik Süreç
93 IS-LM Modelinde Dinamik Süreç IS-LM modelini daha önce statik biçimiyle incelemiştik. Şimdi modeli yeniden tanımlayarak, örneğin bir para politikasının etkisinin zamanla nasıl bir gelişime yol açacağını görelim. İlk olarak reel piyasayı oluşturalım. Toplam reel harcamayı şöyle yazabiliriz: Burada t1, marjinal vergi oranını tanımlamaktadır.

94 94 Para piyasında para talebi ve arzını da şöyle tanımlayabiliriz:
Reel piyasada reel gelir (y(t)), reel toplam harcama (ex(t)) ile reel gelir arasındaki farka bağlı olarak değişim gösterecektir. Para piyasasında ise, reel para talebi ile reel para arzı arasındaki farka bağlı olarak da faiz oranı değişecektir.

95 95 Şekil 6.14’de IS ve LM eğrileri yer almaktadır. IS eğrisinin üzerindeki tüm noktalar reel piyasanın dengede olduğunu, LM eğrisinin üzerindeki tüm noktalar da para piyasasının dengede olduğunu ifade eder. Yani reel piyasa dengedeyken gelir değişmez ( ) ; para piyasası dengedeyken faiz oranı değişmez ( ). IS eğrisi, durumunu, LM eğrisi, durumunu gösterir. Bunu dikkate alarak IS ve LM denklemlerini belirleyelim.

96 96 Şekil 6.14, ekonominin denge dışı bir durumda bulunduğunda, dinamik süreçlerin nasıl oluşacağını oklarla göstermektedir. Örneğin IS eğrisinin sağında bulunduğumuzu varsayalım. Bu durumda şunu yazabiliriz: Yani ekonomi IS eğrisinin sağında yer aldığında, reel gelir (y) azalır. Şekil 6.14’te bu, sola doğru okla gösterilmiştir.

97 Şekil 6.14. IS-LM Dinamik Denge
97 Şekil IS-LM Dinamik Denge

98 98 Benzer biçimde, ekonomi para piyasası dengesizliği içindeyken faiz oranı değişimine de bakabiliriz. Örneğin ekonomi LM eğrisinin sağında ise şunu yazabiliriz: Yani ekonomi LM eğrisinin sağında yer aldığında, nominal faiz oranı (r) artar. Şekil 6.14’te bu, yukarıya doğru okla gösterilmiştir.

99 99 IS ve LM eğrilerine ilişkin bu dinamik davranışları birlikte değerlendirdiğimizde, sistemin (grafiğin) dört bölgesindeki hareket bir bütün olarak saatin dönüş yönünün tersi yönde gerçekleşmektedir. Şimdi nominal para arzının azaltıldığı bir para politikasının etkisini inceleyelim (Şekil 6.15). Para arzının azaltılması sonucunda LM eğrisi sol tarafa doğru kayacaktır. Nihai yeni denge E1’dir. Yeni dengeye geliş süreci için olası dört farklı sürece bakalım.

100 Şekil 6.15. IS-LM Modelinde Para Politikası
100 Şekil IS-LM Modelinde Para Politikası

101 101 Birinci olası durum S1 ile gösterilmiştir. Bu durum, para piyasasının para politikası karşısında daha esnek olduğunu varsaymaktadır. Para arzındaki artış kısa sürede faiz oranlarını (A noktasına kadar) artırmakta; artan faiz oranları karşısında yatırımlar azalmakta ve çarpan etkisiyle reel gelir düzeyi yeni denge değerine gerilemektedir. Gelirdeki düşme para talebini azalttığından, faiz oranları da azalmaktadır (LM1 eğrisi boyunca E1 denge noktasına hareket). Bu süreçte faiz oranı daha hızlı tepki vermekte (yani anlık sıçramalar yapmakta), gelir ise daha yavaş bir uyarlanma süreci yaşamaktadır.

102 102 İkinci olası durum S2 ile gösterilmiştir. Bu durumda her iki piyasanın uyarlanma süreci yavaştır. Faiz oranları yeni dengeye sıçramalarla gelmez. Üçüncü olası durumda (S3) faiz oranları ikinciye göre daha hızlı bir uyarlanma göstermektedir. Ancak saatin tersi yöndeki bu hareket daha az olası bir durumdur. Daha çok görülmesi olası durum S4 ile gösterilmiştir. Bu süreç de para piyasasının daha esnek bir uyarlanma sürecine sahip olduğunu varsaymaktadır. Para piyasasının uyarlanmasının daha hızlı olması, β katsayısının büyük olasıyla ilgilidir. Reel piyasanın uyrlanma hızını da α katsayısı belirlemektedir.

103 103 Şimdi bir sayısal örnek yapalım.
Bu verilere göre ekonominin başlangıçtaki denge değerleri şöyledir: Reel para arzının 8’den 5’e düştüğünü varsayalım: Bu durumda yeni denge değerleri şöyle oluşacaktır.

104 104 Buna göre IS-LM modelinin dinamik yapısı reel piyasa ve para piyasası için şu diferansiyel denklemlerle tanımlanacaktır. Ekonominin para politikası sonrasında hangi süreci izleyerek yeni denge noktasına ulaşacağını α ve β parametrelerinin büyüklükleri belirleyecektir. Üç olası süreci dikkate alalım:

105 105 Ekonomiyi daraltıcı bir para politikasının etkisi, üç olası durum karşısında Şekil 6.16 ile gösterilmiştir. Ekonominin yeni dengeye geliş süreci, α ve β parametrelerinin alacağı sayısal değerlere göre oluşmaktadır. Şekil 6.17 ise, hem para hem de maliye politikasının birlikte genişlemeci olduğu bir durum için oluşturulmuştur. Para piyasası uyarlanma katsayısının yüksek ve reel piyasanın uyarlanma katsayısının düşük değer aldığı durumda (S1) ekonomi yeni dengeye daha az dolambaçlı ve hızlı ulaşmaktadır.

106 106 Şekil IS-LM Modelinde Para Politikası Sonrası Üç Olası Durum Karşısında Yeni Dengeye Uyarlanma

107 107 Şekil IS-LM Modelinde Genişlemeci Para ve Maliye Politikası Sonrası Üç Olası Durum Karşısında Yeni Dengeye Uyarlanma

108 108 Şimdi IS-LM modelini, yatırımların aynı zamanda gelir (talep) düzeyince de belirlendiğini varsayarak genişletelim. Modeli şöyle yazabiliriz: Bu diferansiyel denklemleri yeniden düzenleyelim:

109 109 Yukarıdaki diferansiyel denklemleri sıfıra eşitleyerek sırasıyla IS ve LM eğrilerini belirleyelim: Bu modelle bir önceki modeli birbirinden ayıran nokta, j’nin alacağı değere bağlı olarak IS eğrisinin hem pozitif hem de negatif biçim alabilmesidir (Şekil 6.18 ve 6.18b).

110 Şekil 6.18a. IS-LM Dinamik Denge
110 Şekil 6.18a. IS-LM Dinamik Denge

111 Şekil 6.18b. IS-LM Dinamik Denge
111 Şekil 6.18b. IS-LM Dinamik Denge

112 112 Şimdi modeli tanımlayan diferansiyel denklemleri sıfıra eşitleyerek, y ve r ’yi denge değerlerinde alalım. Diferansiyel denklemlerden, bunların farkını alarak yazalım.

113 113 Bu sistemin matrisi: Bu matrisin izini ve determinantını da şöyle yazabiliriz: Şimdi bu durumu bir örnekle gösterelim.

114 114 Parametre değerlerinin aşağıdaki gibi olduğunu varsayalım:
Bu değerler için denge gelir düzeyi ve faiz oranı şöyle olur: Şimdi diferansiyel denklemi, denge durumundan farkını alarak yeniden yazalım (dengeden sapmaya göre tanımlayalım):

115 115 Bu diferansiyel denklemin karakteristik kökleri (özdeğerleri):
İlk çözümü yazalım:

116 116 Benzer biçimde ikinci özdeğeri kullanarak ikinci çözümü yazalım.
Bu çözüm için IS, LM eğrileri ile öz-vektörlerin bir arada tanımlandığı süreç grafiği Şekil 6.19’la gösterilmiştir. r1 öz-değerine karşılık elde ettiğimiz öz-vektör boyunca sürecin kararlı, r2 öz-değerine karşılık gelen öz-vektör boyunca da kararsız olduğuna dikkat edelim. Yani genel çözüm bir eyer noktası tanımlamaktadır.

117 Şekil 6.19. IS-LM Dinamik Denge
117 Şekil IS-LM Dinamik Denge

118 Tobin-Blanchard Modeli
118 Tobin-Blanchard Modeli Şimdiye kadar IS-LM modelinde dikkate almadığımız bir konu üzerinde duralım. Acaba menkul kıymetler piyasasındaki davranışlar, gelir ve faizleri etkileyebilir mi? Bu konuya ilk olarak Tobin (1969) değinmiştir: q yatırım teorisi. q değişkeni, bir yenileme maliyeti oranı olarak menkul değerin piyasa karşılığını göstermektedir. Yani, tüm menkul değerlerin gelecekteki getirileri eşit olursa (R), bu getirileri piyasa faiz oranından (r) günümüze indirgediğimizde V=R/r ’ye eşitlenir.

119 119 Diğer yandan firmalar, yatırımların getiri oranı (R/ρ), sermaye stokunun yenilenme maliyetine (RC) eşitleninceye kadar yatırımlarını sürdüreceklerdir. Burada ρ sermayenin marjinal etkinliğini göster-mektedir. Buna göre q ’yu yeniden yazalım: Bu denklem, net yatırımın q ’nun bir fonksiyonu olduğunu göstermek-tedir. Uzun dönemde her iki yatırımın getiri oranı eşitleneceğinden, r=ρ , yani q=1 olacaktır. Dolayısıyla net bir yatırım yapılmayacaktır. Buradan çıkarılacak sonuç şudur: Yatırımlar, dolayısıyla ekonomideki toplam harcamalar q ’nun pozitif yönlü bir fonksiyonudur.

120 120 Ekonominin toplam harcamalarını (ex), q ’yu dikkate alarak yeniden tanımlayalım: Burada g0 kamu harcamalarıdır. Dinamik IS-LM modelinde olduğu gibi, reel piyasada bir harcama gelir dengesizliği durumunda gelir değişime uğrayacaktır (gecikmeli değişim): Reel piyasadaki gecikmeli uyarlanmaya karşın, para piyasasındaki dengesizliğe uyarlanmanın hemen gerçekleştiğini varsayalım:

121 121 Şimdi de bono getiri oranını (ya da eşdeğer olan hisse senedi) tanımlayalım: Burada b1y(t) milli gelirin bir oranı olarak firma karlarını, firmanın beklenen kazançlarını göstermektedir. Ayrıca rasyonel bekleyişlerin olduğunu varsayıyoruz:

122 122 Tüm bu belirlemelerden sonra modeli yeniden yazalım. Model dört temel denklem üzerine kuruludur:

123 123 Bu dört denklemi yeniden düzenleyerek, doğrusal olmayan iki diferansiyel denkleme indirgeriz: İlk olarak bu diferansiyel denklem sisteminin uzun dönem denge değerini belirleyelim:

124 124 Şekil 16.20, IS eğrisini ve reel piyasa dengesinden sapmaların nasıl bir harekete yol açacağını göstermektedir. IS doğrusu, yapılarak elde edilmiştir. Dolayısıyla bu doğru boyunca şu geçerlidir: Bu doğrunun sol üst tarafı için de şu yazılabilir: Yani ekonomi IS doğrusunun sol üst kısmında bulunuyorsa, gelir düzeyi (y) artar. Bu, Şekil 16.20’de sağ yana yönlenmiş kırmızı ok ile gösterilmiştir.

125 Şekil 6.20. Tobin-Blanchard Modelinde IS’nin Dinamik Davranışı
125 Şekil Tobin-Blanchard Modelinde IS’nin Dinamik Davranışı

126 126 Bu doğrunun sağ alt tarafı için de şu yazılabilir:
Yani ekonomi IS doğrusunun sağ alt kısmında bulunuyorsa, gelir düzeyi (y) azalır. Bu, Şekil 16.20’de sol yana yönlenmiş mavi ok ile gösterilmiştir. Şimdi de LM eğrisini oluşturalım. LM eğrisi, doğrusal olmayan bir denklemce tanımlanmaktadır. Bu denklemin y ’e göre birinci türevini alarak, gelir karşısında göreli firma değerinin nasıl değişmekte olduğunu görebiliriz.

127 127 Bu sonuca göre LM eğrisinin şekli farkının işaretine bağlı-dır ise pozitif, aksi durumda negatif eğimlidir. Her iki durumda Şekil 6.21’in a ve b panellerinde gösterilmiştir. Şimdi LM eğrisinin negatif ya da pozitif olabilmesinin iktisadi açıdan anlamına bakalım. Gelirde bir yükselme olduğunu varsayalım (Her iki şekilde de A noktasından B noktasına hareket). Gelirdeki artış işlem amaçlı para talebini artıracağından (para arzı sabitken) faiz oranları yükselir (q azalır). Bunun sonucunda firmanın hisse senedi değeri yükseleceğinden, karlılık artacaktır. Bu aktarım sürecinde eğer gelirdeki artış hisse senedinden elde edilen kazançları faiz oranlarındaki artıştan daha az artırırsa, faiz oranı ile hisse senedi getirisindeki denge yeniden sağlanacak şekilde q azalır (Şekil 6.21a’da B ’den C ’ye hareket).

128 128 Gelirdeki artışın, hisse senedi piyasasında fiyat düşüşlerine yol açtığı bu durumu Blanchard “kötü haberler” olarak tanımlamaktadır. Eğer gelirdeki artış hisse senedinden elde edilen kazançları faiz oranlarındaki artıştan daha çok artırırsa, faiz oranı ile hisse senedi getirisindeki denge yeniden sağlanacak şekilde q yükselir (Şekil 6.21b’de B ’den C ’ye hareket). Blanchard bu durumu da “iyi haberler” olarak tanımlamaktadır.

129 129 Şekil 6.21a Tobin-Blanchard Modelinde LM ’nin Dinamik Davranışı: Kötü Haberler

130 130 Şekil 6.21b Tobin-Blanchard Modelinde LM ’nin Dinamik Davranışı: İyi Haberler

131 131 Şimdi reel kesim ile parasal kesim davranışlarını birlikte Şekil 6.22a ve 6.22.b’de görelim. Her iki şekilde de r1 öz-değeriyle tanımlanan öz-vektör boyunca süreç kararlı, diğer öz-vektör boyunca da kararsızdır. Rasyonel beklentiler varsayımı ve veri tek y düzeyine karşılık ekonomide kararlı dengeye yeniden dönüşü sağlayan tek q değeri vardır.

132 132 Şekil 6.22a Tobin-Blanchard Modelinde IS-LM ’nin Dinamik Davranışı: Kötü Haberler

133 133 Şekil 6.22b Tobin-Blanchard Modelinde IS-LM ’nin Dinamik Davranışı: İyi Haberler

134 134 Bu modeli bir de sayısal olarak oluşturalım ve çözelim. Modeli, haberlerin iyi olduğu varsayımına göre yazalım. Bu dört denklemi düzenleyerek aşağıdaki iki diferansiyel denklemi elde ederiz.

135 135 İlk olarak modelin uzun dönem denge değerlerini belirleyelim:
Diferansiyel denklemleri durağan-durum denge değerlerinde birinci sıra Taylor açılımı yaparak doğrusallaştıralım.

136 136 Son denklemleri yeniden düzenlersek:
Bu diferansiyel denklem sisteminin karakteristik köklerini belirleye-lim.

137 137 Buna göre sistemin belirsiz çözümü şöyledir:
Öz-vektörleri de şöyle bulabiliriz:

138 138 Şekil 6.22b Tobin-Blanchard Modelinde IS-LM ’nin Dinamik Davranışı: İyi Haberler

139 139 Tobin-Blanchard Modelinde Öngörülemeyen Para ve Maliye Politikalarının Etkileri: Genişleyici Maliye Politikası Hükümetin kamu harcamalarını artırdığını varsayalım. Bu politika LM eğrisi üzerinde bir etki yaratmaz, ancak IS eğrisini paralel biçimde sağ yöne doğru kaydırır. Kötü ve iyi haberler durumlarının her ikisi de Şekil 6.23a ve 6.23b’de yer almaktadır. Kamu harcama artışı sonrasında gelir düzeyi hemen yükselmez. Ekonomi başlangıçtaki E1 denge durumundan E' durumuna geçer. Sonra öz-vektörü boyunca hareket ederek yeni denge noktasına (E2) ulaşır. Kötü ve iyi haber durumlarının her ikisinde de gelir artışı olmakla birlikte, kötü haber durumunda hisse senedi fiyatları düşer.

140 140 Şekil 6.23a Tobin-Blanchard Modelinde IS-LM ’nin Dinamik Davranışı: Genişleyici Maliye Politikası (Kötü Haberler)

141 141 Şekil 6.23b Tobin-Blanchard Modelinde IS-LM ’nin Dinamik Davranışı: Genişleyici Maliye Politikası (İyi Haberler)

142 142 Tobin-Blanchard Modelinde Öngörülemeyen Para ve Maliye Politikalarının Etkileri: Genişleyici Para Politikası Merkez Bankasının para arzını artırdığını varsayalım. Bu politika IS eğrisi üzerinde bir etki yaratmaz, ancak LM eğrisini paralel biçimde sağ yöne doğru kaydırır. Kötü ve iyi haberler durumlarının her ikisi de Şekil 6.23a ve 6.23b’de yer almaktadır. Kamu harcama artışı sonrasında gelir düzeyi hemen yükselmez. Ekonomi başlangıçtaki E1 denge durumundan E' durumuna geçer. Sonra öz-vektörü boyunca hareket ederek yeni denge noktasına (E2) ulaşır. Kötü ve iyi haber durumlarının her ikisinde de gelir artışı olmakla birlikte, kötü haber durumunda hisse senedi fiyatları düşer.

143 143 Şekil 6.24a Tobin-Blanchard Modelinde IS-LM ’nin Dinamik Davranışı: Genişleyici Para Politikası (Kötü Haberler)

144 144 Şekil 6.24b Tobin-Blanchard Modelinde IS-LM ’nin Dinamik Davranışı: Genişleyici Para Politikası (İyi Haberler)