Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

DERS 2 SAYI DÜZENLERİ. Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 2İÇERİK  Tarihçe  Onluk sayı sistemi  İkilik sayı sistemi  Onluk/ikilik.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "DERS 2 SAYI DÜZENLERİ. Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 2İÇERİK  Tarihçe  Onluk sayı sistemi  İkilik sayı sistemi  Onluk/ikilik."— Sunum transkripti:

1 DERS 2 SAYI DÜZENLERİ

2 Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 2İÇERİK  Tarihçe  Onluk sayı sistemi  İkilik sayı sistemi  Onluk/ikilik dönüşümleri  İkilik sayı sisteminde toplama  İkilik sayı sisteminde doğrudan çıkarma  İkilik sayı sisteminde tümleyen aritmetiği ile çıkarma  İkilik sayı sisteminde çarpma  İkilik sayı sisteminde bölme  Sekizli ve Onaltılı sayı sistemleri

3 Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 3TARİHÇE  Sayı ve sayma kavramının başlangıcı belirsiz  Sümerler sayma işlemini kullanmışlar  Günümüz rakam şekilleri MS 400 de Hindistan’da geliştirilmiş  Bu rakamlar sonrasında müslümanlar tarafından da benimsenmiş  Ebu Abdullah bin Musa El Harzemi (MS ) ‘Cebir ve denklem hesabı hakkında özetlenmiş kitap’ adlı kitabıyla:  Sıfır sayısını  Onluk sayı sistemini tanıttı

4 Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 4 Onluk Sayı Düzeni Onluk sayı düzeninde on değişik sembol rakamsal büyüklükleri tanımlamak için kullanılır. Bunlar:

5 Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 5 Onluk Sayı Düzeni Onluk sayı düzeninde, sayının en sağdaki rakamı en düşük, en soldaki rakamı da en yüksek değeri ifade edecek şekilde düzenlenmiştir. Burada sayının her bir basamağı ile ifade edilen büyüklük aşağıdaki yaklaşımdaki gibi 10 değerinin üstsel katları olarak belirlenir ^4 10^3 10^2 10^1 10^ basamak basamak

6 Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 6 Onluk Sayı Düzeni Buna göre her bir rakamın sayı içerisinde ifade ettiği değer: ilgili rakam ile o rakamın belirlediği basamak değerinin büyüklüğü- nün çarpımı olarak belirlenir. Buna göre bir sayı ile ifade edilen değer: ilgili sayı içerisindeki her bir rakamın ifade ettiği değerlerin toplamı olarak belirlenir.

7 Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 7 Onluk Sayı Düzeni ÖRNEK: 3954 sayısı ile ifade edilen değer 3x x x10 + 4x1 olarak hesaplanır. 10 tabanında tanımlanmış sayısal değerler yaygın olarak kullanıldıkları için tabanın 10 olduğunu belirlemede özel bir notasyon kullanılmamaktadır.

8 Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 8 Diğer Sayı Düzenleri Kullanılan başka sayı düzenleri de vardır. Bunlarda da onluk sayı düzenindeki gibi basamak ağırlıklarının soldan sağa doğru azalması ve basamak değerlerinin ilgili tabanın basamak sırasının üstsel kuvveti olarak düzenlenmesi prensibi kullanılır.

9 Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 9 İkili Sayı Düzeni İkili sayı düzeninde kullanılan rakamlar: 0 ve 1 olarak tanımlıdır. İkili sayı sistemi bilgisayar uygulamalarında iki farklı lojik seviye kullanım ihtiyacını karşıladığı için yaygın olarak kullanılır.

10 Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 10 İkili Sayı Düzeni İkili sayı düzeninde her bir basamağa BİT adı verilmektedir. Dolayısıyla en sağdaki basamağa en düşük anlamlı bit (DAB-LSB) en soldaki basamağa en yüksek anlamlı bit (YAB-MSB) adı verilir. İkilik (binary) sayılar:  0b 1111  b’1111’ (PIC işlemci notasyonu)  % 1111  farklı biçimlerinde gösterilirler

11 Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 11 İkilik – Onluk Dönüşümü Aynı onluk düzende olduğu gibi her bir basamağın ifade ettiği değer ile ilgili basamağın sayısal değerleri çarpılıp toplanarak elde edilirler. Örnek: İkilik düzende sayısının onluk düzende karşılığını hesaplayalım. 1x x x x x2 0 = 23 olur

12 Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 12 Onluk-İkilik Dönüşümü ARAMA YÖNTEMİ Sayı içerisinde ikinin kuvvetini armaya dayanır. 23 sayısı için; 23–32=-11YOK=> 0 23–16= 7VAR=> 1 7– 8=-1YOK=> 0 7– 8=-1YOK=> 0 7– 4= 3VAR=> 1 7– 4= 3VAR=> 1 3– 2= 1VAR=> 1 3– 2= 1VAR=> 1 1– 1= 0VAR=> 1 1– 1= 0VAR=> veya ikilik düzendeki karşılığı elde edilir.

13 Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 13 Onluk-İkilik Dönüşümü BÖLME YÖNTEMİ Sayı Sürekli 2’ye bölünür ve kalanın 1 yada 0 oluşuna bakılarak basamaklar belirlenir KALAN KALAN 23/2= 111 VAR=> 1 11/2= 51 VAR => 1 5/2= 21 VAR => 1 5/2= 21 VAR => 1 2/2= 1 0 VAR => 0 2/2= 1 0 VAR => 0 1/2= 0 1 VAR => 1 1/2= 0 1 VAR => ikilik düzendeki karşılığı

14 Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 14 İkilik Tabanda İşlemler: TOPLAMA Aynı onluk tabanda uygulanan kurallar uygulanır. Tek fark her basamaktaki toplama sırasında elde değerinin 10 yerine 2 sayısına ulaşmasıdır. 0+0 = = = = 0 ve de elde 1

15 Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 15 İkilik Tabanda İşlemler: TOPLAMA Örnek:

16 Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 16 İkilik Tabanda İşlemler: ÇIKARMA Aynı onluk tabanda uygulanan kurallar uygulanır. Farklı olarak tümleyen aritmetiğine göre yapılan çıkarma işlemi de tanımlıdır.

17 Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 17 İkilik Tabanda İşlemler: ÇIKARMA DOĞRUDAN ÇIKARMA: 0-0 = = = = 1 ve de borç 1

18 Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 18 İkilik Tabanda İşlemler: ÇIKARMA Örnek: % % % 00100

19 Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 19 İkilik Tabanda İşlemler: ÇIKARMA TÜMLEYEN ARİTMETİĞİ İLE ÇIKARMA: Çıkarma işleminde kalanın sıfır veya sıfırdan büyük olması durumunda doğrudan çıkarma basamakları uygulanırken aksi durumda problem çıkmaktadır. Bu problemi daha pratik olarak çözmek için toplama işlemi şeklinde tanımlı çıkarma işlemi yaklaşımı mevcuttur. Buradaki yaklaşım belli sayıda basamak ile ifade edilen bir sayının alabileceği en büyük değere 1 sayısının ilave edilmesi durumunda sayının 0 değerini (ama elde 1 ile) alması özelliğini kullanmaktır.

20 Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 20 TÜMLEYEN ARİTMETİĞİ Yani, bir a sayısına 1 eklendiğinde sonuç 0 oluyorsa a sayısının değeri -1 miş veya bir a sayısına 2 eklendiğinde sonuç 0 oluyorsa a sayısının değeri -2 miş veya bir a sayısına 3 eklendiğinde sonuç 0 oluyorsa a sayısının değeri -3 müş gibi bir yaklaşım kullanılır.

21 Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 21 TÜMLEYEN ARİTMETİĞİ O zaman:  0 sayısından sonra + sayılar sıralanır  0 sayısından önce – sayılar sıralanır  Tüm sayılar bir silindir üzerinde sıralı olarak düşünülürse (otomobil km sayacı gibi) en büyük sayıdan sonra tekrar en küçük sayıya dönülür  Maksimum sayıda + ve – sayıyı ifade etmek için silindiri ortadan ikiye bölelim Sonuç:  (1 ) - (2 N-1 –1) arası sayılar pozitif (2 N-1 –1 adet)  (2 N-1 ) - (2 N ) arası sayılar negatif (2 N-1 adet)

22 Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 22

23 Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 23 TÜMLEYEN ARİTMETİĞİ Sonuç DEVAM:  Tüm pozitif sayılar işaretsiz gösterimleri ile aynıdır  Tüm pozitif sayılar için MSB 0 olur  0 hariç iken en büyük pozitif sayı 2 N-1 -1 olur (2 N /2-1)  Tüm negatif sayılar için MSB 1 olur  En küçük negatif sayı -2 N-1 (2 N /2-1+1)  Dolayısıyla MSB işaret biti olarak anılır  Küçük + sayılarda MSB sağında 0 çoktur  Küçük – sayılarda MSB sağında 1 azdır  Büyük + sayılarda MSB sağında 0 azdır  Büyük – sayılarda MSB sağında 1 çoktur

24 Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 24 TÜMLEYEN ARİTMETİĞİ Sayının işaretini değiştirmek için  Sayının tümleyeni hesaplanır (1’e tümleme)  Sayının tümleyenine 1 sayısı eklenir (2’ye tüm)

25 Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 25 TÜMLEYEN ARİTMETİĞİ İLE ÇIKARMA Örnek: % % % ve sayılarına birbirlerinin 2’ye (tabana) göre tümleyeni adı verilmektedir. Benzer şekilde ve sayıları da aynı özelliği gösterirler.

26 Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 26 TÜMLEYEN ARİTMETİĞİ İLE ÇIKARMA Bu yaklaşım göz önünde bulundurularak tümleyen aritmetiği ile çıkarma işleminde, çıkarılacak sayının çıkarılması yerine bu sayının 2’ye (yani taban değerine) tümleyeni kendisinden çıkarılacak sayıya eklenir. Dolayısıyla çıkarma işlemi toplama işlemi şeklinde tanımlanmış olur.

27 Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 27 TÜMLEYEN ARİTMETİĞİ İLE ÇIKARMA Örnek: Onluk tabanda 0008 sayısından 0003 sayısını çıkaralım => 9997 sayının tabana (10) göre tümleyeni Tabana göre tümleyen ile sayının toplamı aynı sayıda basamak üzerinden 0 sonucunu verir = olur (4 basamak için doğru) O zaman = 0 => = 9997 olur – 0003 = = Bu ne demek?

28 Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 28 TÜMLEYEN ARİTMETİĞİ İLE ÇIKARMA Yani sonuç 0005 olarak bulunur. Ancak bu değerin düzenlenmesi gerekebilir. Bu işlem sonucundaki elde bitine İŞARET BİTİ adı verilir ve sonuç bu bite göre düzenlenir. Eğer işaret biti 1 ise sonuç + dır ve aynı bırakılır Eğer işaret biti 0 ise sonuç – dir ve düzenlenir. NEDEN?

29 Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 29 TÜMLEYEN ARİTMETİĞİ İLE ÇIKARMA 4 bit ile 0-15 arası tamsayıları ifade etmek mümkün olabilir:

30 Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 30 TÜMLEYEN ARİTMETİĞİ İLE ÇIKARMA Yada alternatif olarak –8 ile 7 arası tamsayılar da ifade edilebilirler:

31 Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 31 TÜMLEYEN ARİTMETİĞİ İLE ÇIKARMA Burada 10 tabanında gösterildiği gibi 2 tabanına göre tümleme kabulü yapılmaktadır = = = = = = = = = = = = = =

32 Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 32 TÜMLEYEN ARİTMETİĞİ İLE ÇIKARMA İkilik düzende bir sayının tabana tümleyeni için 1) Sayının 1’e tümleyeni hesaplanır 2) Elde edilen sayıya 1 değeri eklenir ÖRNEK:verilen sayı % ’e tümleyeni% ’ye tümleyeni% 01001

33 Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 33 TÜMLEYEN ARİTMETİĞİ İLE ÇIKARMA ÖRNEK:% % % % ’in 1’e tümleyeni % ’in 2’ye tüm. Yani% % ’in 2’ye tüm. +% ’in 2’ye tüm. % elde işaretsonuç elde işaretsonuç

34 Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 34 TÜMLEYEN ARİTMETİĞİ İLE ÇIKARMA ÖRNEK:% % % % ’in 1’e tümleyeni % ’in 2’ye tüm. Yani% % ’in 2’ye tüm. +% ’in 2’ye tüm. % elde işaretsonuç elde işaretsonuç

35 Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 35 TÜMLEYEN ARİTMETİĞİ İLE ÇIKARMA ÖRNEK devam: İşaret biti 1 yani negatif olduğu için sonucun düzenlenmesi gerekir. Bunun için de sonucun 2’ye tümleyeninin hesaplanması gerekir. %11100 %00011 %00100 => 4 yani -4 sayısı elde edilir.

36 Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 36 İkilik Tabanda İşlemler: ÇARPMA Onluk tabanda tanımlanmış yöntemlerin benzerleri geçerlidir. Bunlar: 0 x 0 = 0 0 x 1 = 0 1 x 0 = 0 1 x 1 = 1 Taban ile çarpma (2 ile) bir bit sola kayma olarak tanımlanır

37 Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 37 İkilik Tabanda İşlemler: ÇARPMA ÖRNEK: %101 ve %10 sayılarının çarpımını hesaplayalım x 10 x

38 Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 38 İkilik Tabanda İşlemler: BÖLME Onluk tabanda tanımlanmış yöntemlerin benzerleri geçerlidir. Taban ile bölme (2 ile) bir bit sağa kayma olarak tanımlanır. ÖRNEK: 1010: 11 veya 10 tabanında 10 : : 11 veya 10 tabanında 10 :

39 Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 39 Sekizli Sayı Düzeni Sekizli sayı düzeninde kullanılan rakamlar: olarak tanımlıdır. Sekizli düzende verilen sayılar:  0o 7777  & 7777  biçimlerinde gösterilirler

40 Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 40 Sekizli Sayı Düzeni  İkili sayı sisteminde ifade edilen sayıların büyük olması durumunda gösterimleri çok uzun olabilmektedir.  Bu problemi gidermek üzere kullanılan yaklaşımlardan biri sekizli sayı sistemini kullanmaktır.  Bunun avantajı ikili sistemle dönüşümlerin pratik oluşudur.

41 Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 41 İkili/Sekizli Taban Dönüşümleri İkili sayı düzeninde verilen bir sayının bitleri 3lü gruplar halinde düzenlenir. Bu 3lü grupların her birinin ifade ettiği sayılar sağdan sola doğru yazıldıklarında ikili sayı düzeninden sekizli sayı düzenine dönüşüm gerçeklenir. Sekizliden ikili sayı düzenine dönüşüm de benzer adımlar ters sırada yapılarak elde edilir.

42 Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 42 İkili/Sekizli Taban Dönüşümleri ÖRNEK: % sayısını sekizli sayı düzeninde gösterelim => = => 1x4096+3x512+4x64+5x8= => 1x4096+3x512+4x64+5x8=5928

43 Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 43 Onaltılı (Hexadecimal) Sayı Düzeni Onaltılı sayı düzeninde kullanılan rakamlar: A B C D E F olarak tanımlıdır. Burada: A=10 B=11 C=12 D=13 E=14 F=15 değerlerini ifade ederler. Onaltılı düzende verilen sayılar:  0x FFFF (PIC işlemci notasyonu)  h’FFFF’ (PIC işlemci notasyonu)  $ FFFF  FFFF 16 veya FFFF h biçimlerinde gösterilirler

44 Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 44 İkili/Onaltılı Taban Dönüşümleri İkili sayı düzeninde verilen bir sayının bitleri 4lü gruplar halinde düzenlenir. Bu 4lü grupların her birinin ifade ettiği sayılar sağdan sola doğru yazıldıklarında ikili sayı düzeninden onaltılı sayı düzenine dönüşüm gerçeklenir. Onaltılıdan ikili sayı düzenine dönüşüm de benzer adımlar ters sırada yapılarak elde edilir.

45 DERS 2 SAYI DÜZENLERİ - SON – - Kaynaklar: - 1) An Introduction to Digital Signal Processors, Bruno Paillard - 2) Mikroişlemciler Mikrobilgisayarlar, Eşref Adalı, ISBN


"DERS 2 SAYI DÜZENLERİ. Dr. Emin Argun Oral, Atatürk Üniversitesi 2008 Ders 2, Slayt 2İÇERİK  Tarihçe  Onluk sayı sistemi  İkilik sayı sistemi  Onluk/ikilik." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları