Fonksiyon Kavramının Öğretiminde Örnek Kullanımı

... konulu sunumlar: "Fonksiyon Kavramının Öğretiminde Örnek Kullanımı"— Sunum transkripti:

1 Fonksiyon Kavramının Öğretiminde Örnek Kullanımı
Doç. Dr. Behiye UBUZ Fulya ULUTAŞ 7. Matematik Sempozyumu

2 Örnek; kavram ve ilkelerin gösterimi (örneğin kesirlerin denkliğini gösteren iki kesir); belirli bir tekniğin kullanımını gösteren çözülmüş sorular; öğrencilerin belirli bir tekniği uygulamasına, kullanmasına ve hız kazanmasına araç olan çalışma soruları ve belirli bağlamsal durumlar olarak tanımlanmaktadır (Watson & Mason, 2004).

3 Örnekler öğrencilerin sadece matematiği öğrenmelerinde değil aynı zamanda matematiği neden öğrendiklerini anlamalarında da yardımcı niteliktedir (Bills & Bills, 2005).

4 Fonksiyon ise matematiğin temelini teşkil eden nitelikte bir kavram olup (Selden ve Selden, 1992) ilköğretimden üniversite aşamasına kadar uygulamaları bulunan bir konudur.

5 Yapılan çalışmalar her seviyedeki öğrencilerin ve öğretmenlerin fonksiyon kavramında çeşitli zorluklar yaşadığını göstermiştir

6 Hershkowitz (1999) ve Sierpinska (1992) bu kavram yanılgılarının sebebini öğrencilerin ilk öğrendikleri örnekleri genelleme eğilimi olarak belirlemiştir.

7 Schwarz ve Hershkowitz (1999) bu yanlış genellemelerin sebebinin eğitimde sınırlı örnek kullanımından kaynaklandığı belirtilmiştir.

8 Eisenberg (1991)’e göre bu yanlış kavramların sebebi:
fonksiyonlar konusundaki birden fazla alt kavramdan (örn. sabit fonksiyon, birebir fonksiyon, parçalı fonksiyon) ve birden fazla temsil biçiminden (örn. grafiksel gösterim, cebirsel gösterim)

9 Örneklerin çeşitli ve uygun kullanımı fonksiyonlar konusunun öğretiminde oldukça önemlidir.

10 Bu çalışmanın amacı bir matematik öğretmeninin fonksiyonlar konusunda derste kullanmayı seçtiği örnekleri inceleyerek, zengin ve çeşitli örneklerin sınıf ortamında kullanılıp kullanılmadığını belirlemektir.

11 Eğitimde örnekler Örnek kavramsal örnekler uygulamaya yönelik örnekler
başlangıç örnekleri çözümlü örnekler referans örnekler alıştırmalar genel örnekler karşıt örnek sınır örnekleri örnek olmayanlar

12 Başlangıç örnekleri (Start-up examples)
Yeni tanıtılan bir konuda motivasyon veya sezgi amaçlı olarak kullanılan, öğrencinin herhangi bir destek almadan veya başka bilgiye sahip olmadan anlayabileceği örneklerdir (Rissland-Michener, 1978).

13 Başlangıç örnekleri (Start-up examples)
Bu örnekler öğretilen konunun basit ve anlamlı bir resmini çizer ve bu örneklerden tüm konu ile ilgili genellemeler yapılabilir (Bogomolny, 2006).

14 Başlangıç örnekleri (Start-up examples)
Örneğin açık ve kapalı kümeler konusunda verilen birim daire örneği bir başlangıç örneğidir (Rissland-Michener, 1978).

15 Referans örnekleri (reference examples)
Tekrar tekrar başvurulan örneklerdir (Rissland-Michener, 1978). Referans örnekleri temel bir yapıya sahip olan, yaygın olarak uygulanan ve birçok kavram ve sonucun birbirine bağlandığı örneklerdir.

16 Referans örnekleri (reference examples)
Örneğin standart üçgenler için verilen kimi örnekler (3-4-5 üçgeni, üçgeni, ikizkenar üçgen, eşkenar üçgen) referans örnekleri sınıfında ele alınmaktadır (Rissland-Michener, 1978).

17 Genel örnekler (generic examples)
Konuya açıklık getirmeyi amaçlayan, bir sınıf nesnenin ayırt edici bir özelliği üzerinde yapılan işlemler yoluyla bir iddianın doğruluk sebeplerini açığa çıkaran örneklerdir (Balacheff, 1988; Mason & Pimm, 1984).

18 Genel örnekler (generic examples)
Genel örneklerin amacı henüz öğretilmiş olan bir kavramın anlaşılması için gerekli açıklama veya netleştirmede kullanılan örneklerdir çerçeveyi oluşturmaktır (Balacheff, 1988; Ubuz & Kırkpınar, 2000).

19 Genel örnekler (generic examples)
Örneğin üçgen kavramı için verilen Şekil 1’deki üçgen örneği, kimi üçgenler (geniş açılı üçgen, eşkenar üçgen) için geçerli olmadığından geneli yansıtmamaktadır. Bunun yanında, dik üçgen kavramını için çizilen Şekil 2’deki örnek bir genel örnektir. Şekil 1: Üçgen Örneği Şekil 2: Dik Üçgen Örneği

20 Karşıt örnekler (counter examples)
Bir ifadenin (önerme, hipotez, kural, genelleme) yanlış olduğunu gösteren örneklerdir (Balacheff, 1988).

21 Karşıt örnekler (counter examples)
Örneğin her sürekli fonksiyonun türevlenebilir olduğu düşüncesi karşısında verilen, f(x)=׀x׀ mutlak değer fonksiyonu, tanım aralığında sürekli olup türevi olmayan fonksiyonlara bir örnek olarak gösterilebilir (Watson & Mason, 2004).

22 Sınır örnekler (boundary examples)
Bütün konuyu temsil etmek için yeterli olmayan, özel durumları gösteren örneklerdir; bu örnekler kavramın amacı dışında kullanımını engelleyen niteliktedirler (Watson & Mason, 2004).

23 Sınır örnekler (boundary examples)
Örneğin öğretmen y=mx+c bir doğrunun denklemini ifade eden bir genel örnek olarak kullanırken, x=a eşitliğinin de bir doğru denklemi olduğunu belirterek sınır örneği vermiş olur (Watson & Mason, 2004).

24 Örnek olmayanlar (non-examples)
Tanımla belirlenmiş olan sınırları ve işlem yapılabilecek aralığı fark ettiren örneklerdir. Bu örnekler genellikle bir kavrama ait olduğu düşünülen fakat kavrama örnek teşkil etmeyen örneklerdir.

25 Uygulamaya yönelik örneklerse öğretmenin çözümünü verdiği çözümlü örnekler ve alıştırmalar olarak gruplandırılabilir (Watson & Mason, 2004).

26 Öğretmenin çözümünü verdiği örnekler problemi oluşturma, çözüm yolunu belirleme ve çözüm yapma aşamalarını içerir (Watson & Mason, 2004).

27 Öğretmenin tek değişkenli denklemleri işledikten sonra, bu tür denklem çözümüne 3x+2=3’ün çözüm kümesini bulmak gibi bir örnek vermesi çözümlü örnekler sınıfına girmektedir (Ubuz & Kırkpınar, 2000).

28 Bunun yanında alıştırmalar öğretilen konunun tekrarını sağlamak için öğrenciler tarafından çalışılan örneklerdir.

29 Görüldüğü gibi her örnek türü farklı bir işleve sahip olup öğrenmeyi farklı şekillerde etkilemektedir.

30 Araştırmanın Yöntemi Nitel araştırma yöntemlerinden içerik analizi tekniği İncelenen ders notları: 33 sayfa alt başlıklar : fonksiyonların tanım kümesi, fonksiyonlarda dört işlem, fonksiyon çeşitleri (birebir, içine, örten, sabit, birim fonksiyon ve sıfır fonksiyonu), ters fonksiyon ve bileşke fonksiyon

31 BULGULAR Kullanılan örneklerin dağılımı:

32 Kavramsal Örnekler Örnek Türü f (%) Başlangıç Örneği 0 (0 %)
Referans Örnek 4 (2,4 %) Genel Örnek 8 (4,7 %) Karşıt Örnek 5 (2,9 %) Sınır Örnek 6 (3,5 %) Örnek Olmayanlar 3 (1,7 %) Toplam 26 (15,2 %)

33 Uygulamaya Yönelik Örnekler
Örnek Türü f (%) Çözümlü Örnek 125 (73,1 %) Alıştırma 20 (11,7 %) Toplam 145 (84,8 %)

34 Örnek Türü f (%) Kavramsal Örnekler 26 (15,2 %) Uygulamaya Yönelik Örnekler 145 (84,8 %) Toplam 171 (100 %)

35 Genel Örnek Bu örnek ‘sabit fonksiyon’ kavramının derste işlenirken, tanımdan önce verilmiştir. Bu örnek, ‘sabit fonksiyon’ kavramını açıklayan ve tüm sabit fonksiyonlara uyarlanabilecek bir genel örnek niteliğindedir.

36 Sınır Örnek Öğretmen bu örneği; bir fonksiyonun tanım kümesindeki tüm elemanların, görüntü kümesindeki tek bir elemana eşlenebileceği durumunu belirtmek için kullanmıştır. Bu örnek, öğrencilerin verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını incelerken, fonksiyon kavramının özel bir durumunu fark etmelerini sağlayan fakat fonksiyon kavramını genel olarak temsil etmek için yeterli olmayan bir örnektir.

37 Örnek Olmayan Bu örnekte verilen grafik bir fonksiyon değildir ve örneğin amacı fonksiyonun birebir olma özelliği grafikte incelenirken, grafiğin bir fonksiyon olup olmadığının farkına vardırmaktır. Bu örnek, öğrencinin birebir fonksiyon için verilen açıklamanın (x-eksenine paralel doğrular çizerek birebirliği belirleme), fonksiyon olma şartında doğru olduğunu göstermektedir. fonksiyonun birebir olup olmadığını belirlemek için, x-eksenine paralel doğrular çizildiği, bu doğrular fonksiyonu bir noktada kesiyorsa fonksiyonun birebir olduğu belirtilmiştir. 1-1 fonksiyon

38 Çözümlü Örnek

39 Öneriler Araştırma bulguları, kavramsal örneklerden başlangıç örneklerinin kullanılmadığını göstermiştir. Fonksiyon kavramında karşılaşılan kavram yanılgılarının sebeplerinden biri ilk karşılaşılan örneklerin genellenmesi olduğundan (Sierpinska, 1992), başlangıç örneklerinin bu konuda doğru kullanımı oldukça önemli görülmekte ve önerilmektedir.

40 Bu konuda çeşitli kavram yanılgılarını engellemek için, öğretmenlere fonksiyon konusunu işlerken kavramsal örneklerden verimli bir şekilde faydalanmaları önerilmektedir.

41 Ayrıca benzer diğer çalışmaların, ders notlarında kullanılan örnekler dışındaki kimi örneklerin sınıf içinde kullanılması olasılığı nedeniyle, sınıf içi gözlem şeklinde çeşitli nitel verilerle desteklenmesi önerilmektedir.

42 Teşekkürler…