MKM 311 Sistem Dinamiği ve Kontrol Birim Basamak Yanıtı ve Zaman Tanım Bölgesi Kriterleri Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

BİRİM BASAMAK YANITI VE ZAMAN TANIM BÖLGESİ KRİTERLERİ Bir kontrol sisteminde geçici rejim (durum) cevabının değerlendirilmesi genellikle us(t) birim basamak cevabından yararlanılarak yapılır. Şekilde doğrusal bir kontrol sisteminin örneksel bir birim basamak cevabı görülmektedir. Birim basamak cevabı ile ilişkili zaman tanım bölgesinin değerlendirildiği davranış kriterleri verilecektir. Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

BİRİM BASAMAK YANITI VE ZAMAN TANIM BÖLGESİ KRİTERLERİ Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

BİRİM BASAMAK YANITI VE ZAMAN TANIM BÖLGESİ KRİTERLERİ 1. En Büyük Aşım y(t) birim basamak cevabı olmak üzere y(t)’nin en büyük değeri ymax ve sürekli hal değeri yss olsun (ymax≥ yss). y(t)’nin en büyük aşımı en büyük aşım = ymax - yss En büyük aşım genellikle basamak cevabının son değerinin yüzdesi ile ifade edilir. % 𝑒𝑛𝑏ü𝑦ü𝑘 𝑎ş𝚤𝑚= 𝑒𝑛 𝑏ü𝑦ü𝑘 𝑎ş𝚤𝑚 𝑦 𝑠𝑠 ×100 Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

BİRİM BASAMAK YANITI VE ZAMAN TANIM BÖLGESİ KRİTERLERİ 1. En Büyük Aşım Genellikle kontrol sisteminin göreli kararlılığını değerlendirme ölçüsü olarak kullanılır ve sistemde bu aşımın büyük olması istenmez. Şekilde max. aşım birinci aşımdadır. Bazı sistemlerde sonraki tepe değerlerinde oluşabilir. Sistemin sağ yarı s- düzleminde tek sayıda sıfırı varsa negatif alt aşım görülebilir. Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

BİRİM BASAMAK YANITI VE ZAMAN TANIM BÖLGESİ KRİTERLERİ 2. Gecikme Zamanı td gecikme zamanı, basamak cevabının son değerinin yüzde 50 değerine erişme zamanı olarak tanımlanır. Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

BİRİM BASAMAK YANITI VE ZAMAN TANIM BÖLGESİ KRİTERLERİ 3. Yükselme Zamanı tr yükselme zamanı, basamak cevabının son değerinin %10 değerinden %90 değerine ulaşma zamanı olarak tanımlanır. Ayrıca son değerin %50 değerinde basamak cevabı teğetinin tersi olarak ifade edilebilir. Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

BİRİM BASAMAK YANITI VE ZAMAN TANIM BÖLGESİ KRİTERLERİ 4. Yerleşme Zamanı ts yerleşme zamanı, basamak cevabının son değerinin belirli bir yüzdesine kadar azalması ve bu değerin altında kalması için geçen zaman olarak tanımlanır. %5 çok sık kullanılan değerdir. Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

BİRİM BASAMAK YANITI VE ZAMAN TANIM BÖLGESİ KRİTERLERİ Birim basamak cevabına bağlı olarak verilen bu dört büyüklük, kontrol sisteminin doğrudan geçici durum davranışına ilişkin ölçüleri tanımlar. Basamak cevabı şekildeki gibi tanımlandığında bu zaman tanım bölgesi kriterleri göreli kolay ölçülür. Bu değerlerin, 3. mertebenin altındaki basit sistemler dışında analitik elde edilmeleri çok zordur. Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

İKİNCİ MERTEBEDEN ÖRNEK BİR SİSTEMİN GEÇİCİ DURUM YANITI Uygulamada gerçek ikinci mertebeden kontrol sistemlerine çok ender rastlansa da, bunların analizi, özellikle ikinci mertebeden yaklaşık ifade edilebilen yüksek mertebeden sistemlerin anlaşılmasına yardımcı olur, analiz ve tasarıma temel oluşturur. Birim geri beslemeli ikinci mertebeden kontrol sisteminin blok diyagramı Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

İKİNCİ MERTEBEDEN ÖRNEK BİR SİSTEMİN GEÇİCİ DURUM YANITI ζ ve ωn, gerçek sabitler olmak üzere sistemin açık çevrim transfer fonksiyonu Kapalı çevrim transfer fonksiyonu İkinci mertebeden örnek sistemin karakteristik denklemi Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

İKİNCİ MERTEBEDEN ÖRNEK BİR SİSTEMİN GEÇİCİ DURUM YANITI R(s)=1/s birim basamak giriş fonksiyonu için sistem çıkışının Laplace dönüşümü Ters Laplace uygulanırsa sistemin birim basamak cevabı y(t) Birim basamak cevabının ωnt normalize zamana göre çizimleri, çeşitli ζ değerleri için verilmiştir. Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

İKİNCİ MERTEBEDEN ÖRNEK BİR SİSTEMİN GEÇİCİ DURUM YANITI ζ‘nin değeri azaldıkça cevap daha aşımlı ve salınımlı hale gelir. ζ≥1 için, basamak cevabında bir aşım görülmez, buna göre y(t) cevabı son değerini hiçbir zaman aşmaz. Ayrıca ωn’in yükselme, gecikme ve yerleşme zamanını doğrudan etkilemediği ve aşım üzerinde tamamen etkisiz olduğu görülür. Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

İKİNCİ MERTEBEDEN ÖRNEK BİR SİSTEMİN GEÇİCİ DURUM YANITI Sönüm Oranı ve Sönüm Faktörü İkinci mertebeden örnek sistemde, ζ ve ωn sistem parametrelerinin y(t) basamak cevabına etkisi, karakteristik denklem kökleri ile ifade edilebilir. İki kök α ifadesi y(t) cevabının üssel teriminde t zamanı ile çarpılmış bir sabittir. Buna göre α, y(t)’nin artış ya da azalış oranını belirtir. Yani α sistemin sönümünü ifade eder ve sönüm çarpanı veya sönüm sabiti olarak adlandırılır. α‘nın tersi 1/α sistemin zaman sabiti ile orantılıdır. Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

İKİNCİ MERTEBEDEN ÖRNEK BİR SİSTEMİN GEÇİCİ DURUM YANITI   Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

İKİNCİ MERTEBEDEN ÖRNEK BİR SİSTEMİN GEÇİCİ DURUM YANITI Doğal Frekans Sistemin ωn parametresi doğal frekans olarak tanımlanır. ilişkisinde ζ=0 olması halinde, karakteristik denklemin kökleri sanal hale gelir ve birim basamak yanıtı saf sinüsoidal bir işarete dönüşür. Buna göre ωn sinüsoidal cevap frekansına karşı düşer. 0<ζ<1 için köklerin sanal kısmı ω genliğindedir. ζ≠0 için y(t) yanıtı periyodik bir fonksiyon olmadığından ω bir frekans değildir. Karşılaştırma amacıyla ω bazen koşullu frekans veya sönüm frekansı olarak adlandırılır. Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

İKİNCİ MERTEBEDEN ÖRNEK BİR SİSTEMİN GEÇİCİ DURUM YANITI Doğal Frekans Karakteristik denklemin karmaşık eşlenik köklerinin konumu ile α, ζ, ωn ve ω arasındaki ilişki; -ωn, köklerin s-düzlemi koordinat merkezine olan uzaklıktır. -α, köklerin gerçek kısmıdır. -ω, köklerin sanal kısmıdır. -ζ, kökler sol yarı s-düzleminde bulunduğunda kökleri koordinat merkezine bağlayan doğru ile negatif gerçek eksen arasındaki açının kosinüsüne eşittir. Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

İKİNCİ MERTEBEDEN ÖRNEK BİR SİSTEMİN GEÇİCİ DURUM YANITI Doğal Frekans Sol yarı s-düzlemi pozitif sönüme karşı düşer (sönüm faktörü veya oranı pozitiftir). Pozitif sönüm, e-ζωnt ifadesindeki negatif üs nedeniyle birim basamak yanıtının sabit bir değere yerleşmesine neden olur. Sistem kararlıdır. Sağ yarı s-düzlemi negatif sönüme karşı düşer. Negatif sönüm genliği zamanla sınırsız artan biryanıta neden olur ve sistem kararsızdır. Sanal eksen sıfır sönüme karşı düşer (α=0 veya ζ=0). sıfır sönüm kalıcı salınıma neden olur ve sistem kararlılık sınırında ya da kararsızlık sınırındadır. Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

İKİNCİ MERTEBEDEN ÖRNEK BİR SİSTEMİN GEÇİCİ DURUM YANITI Doğal Frekans Kökler sol yarı düzlemde ise örneksel birim basamak yanıtı Az sönümlü Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

İKİNCİ MERTEBEDEN ÖRNEK BİR SİSTEMİN GEÇİCİ DURUM YANITI Doğal Frekans Kökler sol yarı düzlemde ve çakışıyor ise birim basamak yanıtı Kritik sönümlü Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

İKİNCİ MERTEBEDEN ÖRNEK BİR SİSTEMİN GEÇİCİ DURUM YANITI Doğal Frekans Kökler solda gerçel eksen üzerinde ise birim basamak yanıtı Aşırı sönümlü Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

İKİNCİ MERTEBEDEN ÖRNEK BİR SİSTEMİN GEÇİCİ DURUM YANITI Doğal Frekans Kökler imajiner eksen üzerinde ise örneksel birim basamak yanıtı Sönümsüz Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

İKİNCİ MERTEBEDEN ÖRNEK BİR SİSTEMİN GEÇİCİ DURUM YANITI Doğal Frekans Kökler sağ yarı düzlemde ise örneksel birim basamak yanıtı Negatif sönümlü Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

İKİNCİ MERTEBEDEN ÖRNEK BİR SİSTEMİN GEÇİCİ DURUM YANITI En Büyük Aşım Sönüm oranı ile aşım arasındaki tam ilişki birim basamak yanıtı y(t) denkleminin t’ye göre türevi alınıp sıfıra eşitlenerek türetilebilir. Bu na göre ve tanımlanan ω ve θ ile Köşeli parantez içindeki ifade sin ωt cinsinden ifade edilebilir. Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

İKİNCİ MERTEBEDEN ÖRNEK BİR SİSTEMİN GEÇİCİ DURUM YANITI En Büyük Aşım dy(t) / dt sıfıra eşitlenirse çözüm olarak t=∞ ve t=∞ çözümü y(t)’nin sadece ζ≥1 için maksimumdur. ζ değerleri için ωnt’ye göre verilen birim basamak yanıtlarında en büyük aşımın ilk aşım olduğu görülür. Bu, ilişkisinde n=1’e karşı düşer. İkinci mertebeden sistemde en büyük aşım sadece ζ’ye bağlıdır. Buna göre en büyük aşımın oluştuğu zaman En büyük aşım n=1 için Yüzde en büyük aşım Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

İKİNCİ MERTEBEDEN ÖRNEK BİR SİSTEMİN GEÇİCİ DURUM YANITI Gecikme Zamanı ve Yükselme Zamanı İkinci mertebeden örnek sistemde bile gecikme zamanı td, yükselme zamanı tr ve yerleşme zamanı ts’in tam analitik ifadelerini bulmak zordur. Örnegin gecikme zamanı için birim basamak yanıtı y(t) ilişkisinde y=0.5 alıp ifadeyi t’ye göre çözmek gerekir. Daha kolay bir yöntem ωn. td’yi ζ’ye bağlı olarak çizmek ve elde edilen çizimi 0<ζ<1 aralığında bir doğru veya eğriyle yaklaşık ifade etmektir. Eğer td için ikinci mertebeden bir eğriden yararlanılırsa, daha iyi bir yaklaşık ifade Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

İKİNCİ MERTEBEDEN ÖRNEK BİR SİSTEMİN GEÇİCİ DURUM YANITI Gecikme Zamanı ve Yükselme Zamanı Basamak yanıtının son değerin %10 değerinden %90 değerine erişme zamanı olarak tanımlanan tr yükselme zamanı, çeşitli ζ değerleri için ωnt’ye göre birim basamak yanıtlarından ölçülebilir. ωntr ’nin ζ’ye göre çizimi yapılıp, ζ’nin belirli sınırlı bir bölgesiiçin bir doğrusal yaklaşık ifade verilebilir. İkinci mertebeden daha iyi bir yaklaşık ilişki, Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

İKİNCİ MERTEBEDEN ÖRNEK BİR SİSTEMİN GEÇİCİ DURUM YANITI Gecikme Zamanı ve Yükselme Zamanı SONUÇLAR tr ve td zamanları ζ ile doğru, ωn ile ters orantılıdır. ωn doğal frekansının artması (azalması) tr ve td’nin artmasına (azalmasına) neden olur. Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

İKİNCİ MERTEBEDEN ÖRNEK BİR SİSTEMİN GEÇİCİ DURUM YANITI Yerleşme Zamanı Çeşitli ζ değerleri için ωnt’ye göre birim basamak yanıtlarında görüldüğü gibi 0<ζ<0.69 için birim basamak yanıtının aşımı %5’in üzerindedir ve yanıt 0.95 ile 1.05 arasındaki bölgeye son kez üstten yada alttan girebilir. ζ‘nin 0.69’dan daha büyük olması halinde aşım %5’ten daha az olması nedeniyle yanıt 0.95 ile 1.05 arasındaki bölgeye sadece alttan girebilir. İkinci mertebeden örnek sistemde yerleşme zamanı yaklaşık Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

İKİNCİ MERTEBEDEN ÖRNEK BİR SİSTEMİN GEÇİCİ DURUM YANITI Yerleşme Zamanı ζ<0.69 için yerleşme zamanı ζ ve ωn ile ters orantılıdır. ζ sabit tutulduğunda yerleşme zamanını azaltmanın kolay bir yolu ωn’i artırmaktır. Her ne kadar yanıt daha salınımlı olsa da en büyük aşım sadece ζ’ye bağlıdır ve bağımsız kontrol edilebilir. ζ>0.69 için yerleşme zamanı ζ ile doğru, ωn ile ters orantılıdır. Burada da ωn artırılarak ts azaltılabilir. Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki