İşaretler ve Sistemler Sistemlerin Tanımlanması Yrd.Doç.Dr. Murat CEYLAN Yrd.Doç.Dr. Ö.Kaan BAYKAN

4.1 Giriş ve Amaçlar Sistem, belirli bir fonksiyonu gerçekleştirmek üzere bir araya getirilmiş ve birbiri ile etkileşimli olarak çalışan elemanlar topluluğu. Sistem, uyarıldığında tepki veren yapı. Sistem örnekleri, elektriksel, mekanik, biyolojik, bilgisayar, ekonomik, politik vb. Yapay sistem, mühendisler tarafından tasarlanan sistemlerdir. Sistemler, sürekli zamanlı sistemler ve ayrık zamanlı sistemler olmak üzere iki grupta incelenebilir.

4.2 Sürekli Zamanlı Sistemler 4.2.1 Sistem Modelleme Modelleme, sistemin matematiksel veya mantıksal veya çizimle tanımlanmasıdır. İyi bir model, sistemdeki bütün etkileri, karmaşık ve kullanımı zor olmayacak şekilde içerir. Bir sistem, bir ya da daha çok girişine uygulanan giriş sinyalleri tarafından uyarıldığında, tepkisi ya da çıkış sinyalleri bir ya da daha çok çıkışında ortaya çıkar. Bir sistemin uyarılması, sistemin tepki vermesine neden olacak bir enerji uygulanması demektir.

4.2 Sürekli Zamanlı Sistemler 4.2.1 Sistem Modelleme-Örnek Motor tarafından uyarılan ve dümen ile yönlendirilen bir bot, bir sistemdir. Pervane tarafından oluşturulan itme, dümen konumu ve su akımı sistemi uyarmakta, botun yönü ve hızı da tepki olarak ortaya çıkmaktadır. Bir otomobil, yolda giderken amortisör düzeneği yol tarafından uyarılır ve şasenin yola göre konumu bir tepki olarak ortaya çıkar. Otoyol köprüsü, uyarıcılar ve tepkiler?

4.2 Sürekli Zamanlı Sistemler 4.2.1.1 Türevsel Denklemlerle Modelleme

4.2 Sürekli Zamanlı Sistemler 4.2.1.2 Blok Şemalar Sistem çözümlemesinde, sistemleri blok şemalarla göstermek çok yararlıdır. x(t) : giriş sinyali y(t) : çıkış sinyali H : operatör(işleç); (herhangi bir işlem olabilir.) Bir giriş- bir çıkışlı sistem

4.2 Sürekli Zamanlı Sistemler 4.2.1.2 Blok Şemalar Bir sistem, çoğu zaman bileşenlerinin bir araya getirilmesi ile tanımlanır ve çözümlenir. Bir devre tasarımcısı için; dirençler, kondansatörler, bobinler, işlevsel yükselteçler vb. bileşenlerdir. Güç yükselteçleri, A/D dönüştürücüler, modülatörler vb. sistemlerdir. Bir otomobil tasarımcısı için, tekerler, motor, tampon, farlar vb. bileşenler olup, otomobil ise sistemdir.

4.2 Sürekli Zamanlı Sistemler 4.2.1.2 Blok Şemalar Bir mühendis, bir sistemdeki bütün bileşenlerin nasıl tanımlandığını, niteliklerini ve bileşenlerin birbiri ile nasıl etkileştiklerini bilerek, sistemi gerçekten kurmadan ve denemeden matematik kullanarak nasıl çalıştığını öngörebilir. birbirleriyle bağlantılı bört bileşenden oluşan iki giriş- iki çıkışlı sistem

4. 2 Sürekli Zamanlı Sistemler 4. 2. 1 4.2 Sürekli Zamanlı Sistemler 4.2.1.2 Blok Şemalar-Bazı özel blok şema simgeleri Yükseltici, tepkisini üretmek için giriş sinyalini bir sabitle çarpar. Bir toplama, noktası çok sayıda giriş sinyalini alır ve bu sinyallerin toplamı ile tepki verir. Bir integral alıcı, herhangi bir sinyal tarafından uyarıldığında bu sinyalin integrali ile tepki verir.

4.2 Sürekli Zamanlı Sistemler Örnek: Sürekli Zamanda bir Geribeslemeli Sistemin Modellenmesi Sistemin x(t)=0 iken olan tepkisini, eğer y(t)’nin başlangıç değeri y(0)=1, y(t)’nin başlangıç değişim oranı 𝑦 ′ 𝑡 | 𝑡=0 =0, a=1, b=0 ve c=4 ise bulunuz. Türevsel tepki, 𝑦 ′′ 𝑡 =𝑥 𝑡 − 𝑏 𝑦 ′ 𝑡 +𝑐𝑦 𝑡 b=0 ve c=4 iken 𝑦 ′′ 𝑡 +4𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡 SZ geribesleme sistemi Sayfa 121 örnek 4.3’ü inceleyiniz.

4.2 Sürekli Zamanlı Sistemler Örnek: Sürekli Zamanda bir Geribeslemeli Sistemin Modellenmesi Öz fonksiyon karmaşık üstel olup ( 𝑒 𝑠𝑡 )özdeğerler 𝑠 2 +4=0 𝑜𝑙𝑢𝑝 𝑠 1,2 =∓𝑗2 karakteristik denklemin çözümleridir. Homojen çözüm, 𝑦 𝑡 = 𝐾 ℎ1 𝑒 𝑗2𝑡 + 𝐾 ℎ2 𝑒 −𝑗2𝑡 olur. Başlangıç koşullarına göre 𝑦 0 = 𝐾 ℎ1 + 𝐾 ℎ2 =1 𝑣𝑒 𝑦 ′ 𝑡 | 𝑡=0 =j2 𝐾 ℎ1 −𝑗2 𝐾 ℎ2 =0 çözülürse 𝐾 ℎ1 , 𝐾 ℎ2 =0.5 bulunur. 𝑦 𝑡 =0.5 𝑒 𝑗2𝑡 + 𝑒 −𝑗2𝑡 =𝑐𝑜𝑠 2𝑡 , 𝑡≥0 𝑜𝑙𝑢𝑟. Böylece b=0 için sıfır giriş tepkisi sinüzoidaldir.

4.2 Sürekli Zamanlı Sistemler 4.2.2 Sistem Özellikleri Homojenlik Zamanda değişmezlik Toplanırlık Doğrusallık ve bindirme Kararlılık Nedensellik Bellek Statik doğrusallık Tersine çevrilebilirlik

4.2 Sürekli Zamanlı Sistemler 4.2.2 Sistem Özellikleri-giriş örneği Alçak geçiren bir süzgece ait sistem örneği: Bu sistem devrelerde, alçak frekansları iletme, yüksek frekansları durdurma eğilimindedir. 𝑣 𝑖𝑛 𝑡 ; 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑖 𝑢𝑦𝑎𝑟𝚤𝑟 𝑣 𝑜𝑢𝑡 𝑡 ;𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑖𝑛 𝑡𝑒𝑝𝑘𝑖𝑠𝑖𝑑𝑖𝑟 𝑅, 𝐶; 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑖𝑛 𝑏𝑖𝑙𝑒ş𝑒𝑛𝑙𝑒𝑟𝑑𝑖𝑟 Alçak geçiren RC süzgeci, tek girişli tek çıkışlı sistem Kirchoff gerilim yasasına göre aşağıdaki türevsel denklem yazılabilir. 𝑅𝐶 𝑣′ 𝑜𝑢𝑡 𝑡 + 𝑣 𝑜𝑢𝑡 𝑡 = 𝑣 𝑖𝑛 𝑡 =𝑖 𝑡

4.2 Sürekli Zamanlı Sistemler 4.2.2 Sistem Özellikleri-giriş örneği Direnç ve kondansatör için matematiksel gerilim-akım ilişkileri

4.2 Sürekli Zamanlı Sistemler 4.2.2 Sistem Özellikleri-giriş örneği Bu türevsel denklemin çözümü homojen ve özel çözümlerin toplamıdır. 𝑣 𝑜𝑢𝑡 𝑡 = 𝑣 𝑜𝑢𝑡,ℎ 𝑡 + 𝑣 𝑜𝑢𝑡,𝑝 𝑡 Homojen çözüm 𝑣 𝑜𝑢𝑡,ℎ 𝑡 = 𝐾 ℎ 𝑒 − 𝑡 𝑅𝐶 olup 𝐾 ℎ bilinmemektedir. Özel çözüm, 𝑣 𝑖𝑛 𝑡 A volt kabul edilirse, 𝐾 𝑝 =𝐴 olur. bu durum denklemde kullanılırsa 𝑣 𝑜𝑢𝑡 𝑡 = 𝐾 ℎ 𝑒 − 𝑡 𝑅𝐶 +𝐴

4.2 Sürekli Zamanlı Sistemler 4.2.2 Sistem Özellikleri-giriş örneği Herhangi bir an için çıkış gerilimini bilmek 𝐾 ℎ sabitini bulmamızı sağlar. t=0 anında kondansatörün uçlarındaki gerilim 𝑣 𝑜𝑢𝑡 0 biliniyorsa 𝑣 𝑜𝑢𝑡 0 = 𝐾 ℎ +𝐴 ; 𝐾 ℎ = 𝑣 𝑜𝑢𝑡 0 −𝐴 olur çıkış gerilim sinyali 𝑣 𝑜𝑢𝑡 𝑡 = 𝑣 𝑜𝑢𝑡 0 𝑒 −𝑡/𝑅𝐶 +𝐴 1− 𝑒 −𝑡/𝑅𝐶 , 𝑡≥0 olur. Sabit uyarıya RC alçak geçiren süzgeç tepkisi Başlangıç gerilimi ve t=0’da bir sabit uyarıya RC devresi tepkisi

4.2 Sürekli Zamanlı Sistemler 4.2.2 Sistem Özellikleri-giriş örneği Bu devrede 𝑡≥0 zamanlarında gerilim tepkisi, R direnci, C kondansatörü, 𝑣 𝑜𝑢𝑡 0 başlangıç kondansatör gerilimi ve 𝑣 𝑖𝑛 𝑡 uygulanan gerilimine göre belirlenir. A gerilimi 0 ise, 𝑣 𝑜𝑢𝑡 𝑡 = 𝑣 𝑜𝑢𝑡 0 𝑒 −𝑡/𝑅𝐶 , 𝑡>0 (4.3) başlangıç kondansatör gerilimi 0 ise, 𝑣 𝑜𝑢𝑡 𝑡 =𝐴 1− 𝑒 −𝑡/𝑅𝐶 , 𝑡>0 (4.4) olarak bulunur. (4.3): sıfır giriş tepkisi (4.4): sıfır durum tepkisi

4.2 Sürekli Zamanlı Sistemler 4.2.2 Sistem Özellikleri-giriş örneği Bütün negatif zamanlar için uyarım sıfırsa, gerilim 𝑣 𝑖𝑛 𝑡 =𝐴𝑢 𝑡 şeklinde ifade edilebilir. (t=0’da kondansatör başlangıç gerilimi=0) RC alçak geçiren süzgecine t= zamanında A volt uygulamanın iki farklı yöntemi

4.2.2 Sistem Özellikleri Homojenlik Başlangıçta sıfır durumunda olan sistem için homojen kavramının blok şema ile gösterimi (K herhangi bir karmaşık sabit) Homojen bir sistemde, giriş sinyalini herhangi bir sabitle çarpmak (karmaşık sabitler dahil) sıfır durum tepkisini de aynı sabitle çarparak ölçekler. RC alçak geçiren süzgeçlerde giriş gerilimini 𝑣 𝑖𝑛 𝑡 =2𝐴𝑢 𝑡 yaparak iki katına çıkarırsak (2A) bu durum çözümleme sürecinde sıfır durum tepkisinin iki katına çıkmasına neden olur. 𝑣 𝑜𝑢𝑡 𝑡 =2𝐴 1− 𝑒 −𝑡/𝑅𝐶 𝑢 𝑡

4.2.2 Sistem Özellikleri Zamanda Değişmezlik Başlangıçta sıfır durumunda olan bir sistem için zamanda değişmezlik kavramı blok diagramı Bir sistem başlangıçta sıfır durumunda ise ve rastgele bir giriş sinyali 𝑥 𝑡 ′ 𝑦𝑒 karşılık 𝑦 𝑡 tepkisi oluşmakta ise ve her 𝑡 0 için 𝑥 𝑡− 𝑡 0 giriş sinyali, y 𝑡− 𝑡 0 tepkisini oluşturuyorsa bu sistem zamanla değişmezdir. Alçak geçiren süzgeç için giriş sinyalinin 𝑥 𝑡 =𝐴𝑢 𝑡− 𝑡 0 yapılarak değiştirilmesi durumunda sıfır durum tepkisinin 𝑣 𝑜𝑢𝑡 𝑡 =𝐴 1− 𝑒 −(𝑡− 𝑡 0 )/𝑅𝐶 𝑢 𝑡− 𝑡 0 olduğu görülür. Sıfır durum tepkisi aynı miktarda ertelenmiştir.

4.2.2 Sistem Özellikleri Toplanırlık Bir sistem, herhangibir 𝑥 1 ile uyarıldığında 𝑦 1 sıfır durum tepkisini, herhangibir 𝑥 2 ile uyarıldığında 𝑦 2 sıfır durum tepkisini ve 𝑥 1 + 𝑥 2 ile uyarıldığında 𝑦 1 + 𝑦 2 sıfır durum tepkisini üretiyorsa, bu sistem toplanırdır. Başlangıçta sıfır durumunda olan bir sistem için toplanırlık blok şeması Alçak geçiren süzgeçde 𝑣 𝑖𝑛1,2 𝑡 için 𝑣 𝑜𝑢𝑡1,2 𝑡 üretiliyorsa, 𝑣 𝑖𝑛1 𝑡 + 𝑣 𝑖𝑛2 𝑡 için 𝑣 𝑜𝑢𝑡1 𝑡 + 𝑣 𝑜𝑢𝑡2 𝑡 üretilmelidir. Toplanırlık özelliği var mıdır?

4.2.2 Sistem Özellikleri Doğrusallık ve Bindirme Hem homojen hem de toplanır olan herhangi bir sistem doğrusal sistem olarak adlandırılır. Doğrusal bir sistem 𝑥 1 (𝑡) ile uyarıldığında, sıfır durum tepkisi 𝑦 1 (𝑡), 𝑥 2 (𝑡) ile uyarıldığında sıfır durum tepkisi 𝑦 2 (𝑡), 𝑥 𝑡 =𝛼 𝑥 1 𝑡 +𝛽 𝑥 2 (𝑡) ile uyarıldığında ise y 𝑡 =𝛼 𝑦 1 𝑡 +𝛽 𝑦 2 (𝑡) sıfır durum tepkisi üretir.

4.2.2 Sistem Özellikleri Doğrusallık ve Bindirme Bindirme (superposition); Bir sinyali diğerine eklemek anlamında olup doğrusal sistemlerde toplam tepki, tepkinin birinin diğerinin üzerine eklenmesi ile elde edilmektedir. Herhangi bir giriş sinyalinin sıfır durum tepkisi hesaplanırken, giriş sinyali kendisine eşit basit parçalara ayrılır. Her parça için sistem tepkisi hesaplanır. Sonra tepkilerin toplamı alınarak toplam tepki hesaplanır.

4.2.2 Sistem Özellikleri Kararlılık Sınırlanmış herhangi bir rastgele uyarıma, sınırlanmış sıfır durum tepkisi veren sisteme, sınırlı giriş sınırlı çıkış kararlı sistem adı verilir. Bir sistem 𝑥(𝑡) ≤ 𝑘 1 koşulunu sağlayan sınırlı bir 𝑥 girişine karşı 𝑦(𝑡) ≤ 𝑘 2 koşulunu sağlayan bir çıkış üretiyorsa sistem sınırlı giriş sınırlı çıkış kararlıdır. 𝑘 1 ve 𝑘 2 sonlu gerçel sayılardır.