FİNANS MATEMATİĞİ Mustafa Niğdeli

KONU VE KAPSAMI I -PARANIN ZAMAN DEĞERİ ve FAİZ HESAPLAMALARI -Gelecekteki Değer Hesaplamaları -Bugünkü Değer Hesaplamaları -Basit Faiz ve Bileşik Faiz Uygulamalarında Paranın Bugünkü Değeri -Basit Faiz ve Bileşik Faiz Hesaplamalarında Excel 2007 Uygulamaları II-ANNUİTE HESAPLAMALARI -Annuite Taksitleri Hesaplaması -Excel 2007’de Annuite Hesaplamalarının ve Formüllerinin Kullanılması III-MENKUL DEĞERLERİN DEĞERLEMESİ -Tahviller -Hazine ve Finansman Bonoları -Hisse Senetleri uygulamaları

IV-YATIRIMLARIN DEĞERLEMESİ -Net Bugünhü Değer ve Yatırımın İç Karlılığı Fonksiyonları -Yatırımlarda İç Verinlilik Oranı -Excel 2007 ‘de Yatırım Fonksiyonları

I- PARANIN ZAMAN DEGERİ ve FAİZ HESAPLAMALARI Gelecekteki Değer ve Bugünkü Değer Hesaplanmaları Excel 2007 Fonksiyonları arasında GD fonksiyonu olarak gösterilir Gelecek Değer formü- lü olarak aşağıdaki şekilde formülize edilebilir: GD = BD * (1 + ( i / m) ) ^mn GD:Gelecek Değer BD:Bugünkü Değer i : Faiz Oranı m : Dönem sayısı n : Yıl içinde katlanma sayısı Ayrıca paranın zaman değeri formülleri ve uygulanılan brüt ve net faiz oranlalını belirleyen faiz farkı faiz üzerinden alınan vergi ve stopajlardan oluşmaktadır.

Aşağıdaki tabloda faiz tutarı, yıl sonundaki değer ve bileşik faiz tutarı otomatik hesaplamaları olup; Excel 2007 formüllerinde bileşik faizin hesaplanması çok pratik bir şekilde formülüze edilmiştir. Bu formüllerin kullanımı kullanıcı ya hem kolaylık hemde zaman kazandırımaktadır. Bunula ilgili gerek bileşik faiz formülü gerekse Excel 2007’ deki kullanımı hakkında örnekler aşağıda görülmektedir. Bununla ilgili olarak öncelikle paranın zaman değerinin anapara + faiz tutarından ve kullanılan gün sayısı veya dönem sayısı ilişkisini iyi öğrenmek gerekir ;buna ilave olacak tek tutar kullanılan kredi veya yatırılan para üzerinden ödenen vergi ve diğer kesintilerdir. Özetlersek GD fonksiyonu;ile ilgili aylık 0,01 faizle alınan 100.000 TL tutartındaki bir borçlanmanın gelecek değerini göstermektedir.

Yukarıdaki tablodan da takip edileceği gibi Gelecek Değer (GD) formüllerinde 100.000 TL bir borçlanmanın gelecek değeri ( GD) çeşitli vade bazında (devresel) olarak izlenmekte ve gelecek değerlerinin ne olacağı hakkında bilgi bilgi verilmektedir.Bu değerlendirilme belirli ( GD) aylık faiz oranından ve çeşitli vadeler için GD değerinin hesaplamak için kullanılmaktadır. Yukarıdaki görülen tabloda aylık %1 faiz -oranıyla 100.000 TL bir borçlanmanın ayda 300 TL ödeme ile 12 /24/36/60/120 ve 240 aylık dönemlerde ulaştığı GD tutar incelenmektedir.

Bugünkü Değer (BD) -92.121 -85.130 -78.925 -68.531 -51.210 -36.426 Dönem Faiz Oranı 0,01 Dönem Sayısı 12 24 36 60 120 240 Devredel Ödeme 300 GD 100.000 Tür Gelecek Değer(GD) -116.487 -135.066 -156.000 -206.171 -399.050 -1.386.032 BD

BD olarak değerlemdirecek olursak yukarıdaki formüller 100 BD olarak değerlemdirecek olursak yukarıdaki formüller 100.000 TL tutarındaki aylık 300 TL geri ödemeli bir borç ödemesinin çeşitli vadelerdeki BD hesaplanmakta olup; BD hesaplanmaktadır.Burada borcun BD olarak değer kaybetmesi gerek dönem itibariyle devresel taksitlerin ödenmesine rağmen hala borcun ödenememiş olması olarakta eleştirilebilir (!) Ayrıca görüldüğü gibi bir borçlanmada borçlanılan tutarın çeşitli devrelere göre ödeme tutarıda bulunmak istenirse kolayca hesaplanabilir. Devresel ödeme formülü ile borçlanılan bir tutar için yapılacak devresel ödeme tutarı (anapara +faiz) tutarı olarak hesaplanabildiği gibi sadece faiz ve anapara taksidi olarakta hesaplanabilir. Örnek olarak 100.000 TL ‘lik bir borçlanmanın çeşitli vadelerde ödenmesi gereken devresel ödenmesi gereken anapara ve faiz taksitleri aşağıdaki tablolarda görülmektedir.

Devresel Ödeme -8.885 -4.707 -3.321 -2.224 -1.435 -1.101,09 Falz Oranı 0,01 Dönem Sayısı 12 24 36 60 120 240 BD 100.000 GD Tür Devresel Anapara Ödemesi -7.885 -3.707 -2.321 -1.224 -435 -101 Dönem Faiz Oranı Dönem 1 0,00 Devresel Faiz Tutarı -1000 Faiz Oranı 1,00

Basit ve Bileşik (effektif) Faiz hesaplamalarında finans matematiğinin başlıca konusu olup; yanlış anlaşılmalara neden olan önemli konulardan bir tanesidir. Bileşik Faizi genellikle bazı finans çevreleri işlerine geldiği gibi yorumlayabilmektedir. Bileşik faiz diğer adıyla effektif faiz paranın zaman değerinin para sirkülasyonu ile ekonomideki verim ve karlılığın örtüşmemesi sonucu ortaya çıkan bir göstergedir. Formülüze edecek olursak ; re = (1+( r / m)^(m*n) -1 effektif faiz olarak kullanılır. burad re effektif faiz r nominal faiz m dönem sayısını sayısı olup; paranın sirkülasyom sıklığını belirtmektedir. r =

II.ANNUİTE HESAPLAMALARI Annuite hesapları belli bir zaman dilimi boyunca yapılan eşit ödeme ve tahsilatları dizisi olup; bazı yönden geliştirilen tekniklerle bu faizi aynı olan azalan veya artan tahsilst veye ödemeler dizisi olarakta uygulanmaktadır. Annuitelerde bir annuitenin gelecek değeri ; bugünkü değeri ,annuitede dönem sayısı, gibi detaylar bulunmaktadır. Bir Annuitenin gelecek değeri formülü aşağıdaki gibidir: GA = A ( (1 + i ) ^ n ) -1) / i Burada ; GA : Gelecekteki Annuite A : Annuitenin Tutarı İ : Faiz Oranı n :Dönem Sayısı

Bir annuitenin bugünkü değeri formülü aşağıdaki şekildeki gibidir : AB =A ( ( 1- (1 + i ) ^ -(n-1 ) / i Burada ; BA : Bugünkü Annuite n: Dönem Sayısı i : Faiz Oranı A: Annuite Tutarı

EŞİT ANAPARA+FAİZ (PMT) -ANÜİTE- -2.869 Dönem Faiz Oranı 0,010 Dönem Sayısı 120 Bugünkü Değer 200.000 Gelecekteki Değer Ödeme Tipi Tip=1 Dönembaşı Tip=0 Dönemsonu EŞiT FAiZ ÖDEMESİ (IPMT) -2.000 0,01 Kaçıncı Dönem Olduğu 1 EŞİT ANAPARA ÖDEMESİ (PPMT) -869

Yukarıdaki örnek ten de görüleceği gibi 200 Yukarıdaki örnek ten de görüleceği gibi 200.000 TL bir morgage kredisinde 120 aylık 0,01 faiz ödemeli bir kredi kullanımının aylık eşit taksit devresel ödemesi 2869 TL olup ;bunun aylık anapara ve taksit olarak ayrımı 2000TL faiz ve 869 TL aylık anapara taksit ödemesine karşılıktır. (2000TL faiz +869 TL anapara ödemesi) Aynı örnek 60 ay vade ve aynı faiz üzerinden kullanıldığı taktirde aylık taksitler aylık eşit taksit olarak 4.449 TL ve aylık kredi taksidi 2000TL ve faiz ödemesi olarak 2.249 TL olarak hesaplanır.

EŞİT ANAPARA+FAİZ (PMT) -ANÜİTE- -4.449 Dönem Faiz Oranı 0,010 Dönem Sayısı 60 Bugünkü Değer 200.000 Gelecekteki Değer Ödeme Tipi Tip=1 Dönembaşı Tip=0 Dönemsonu EŞiT FAiZ ÖDEMESİ (IPMT) -2.000 0,01 Kaçıncı Dönem Olduğu 1 EŞİT ANAPARA ÖDEMESİ (PPMT) -2.449

III.MENKUL DEĞERLER MATEMATİĞİ –Tahvil ve Hazine Bonosu Matematiği Sabit Getirili Menkul Değerler günümüzde çok çeşitlenmiş olup; çeşitlenmesi paralelinde getirilileri kısıtlanmış ve oranda azalmıştır. Artık sabit getirili menkul değerler arasında özel sektör fonları ve günümüzde getirileri son derece kısıtlanmasına rağmen özel repo anlaşmalarını da buna ilave edebiliriz.Bilindiği üzere menkul değerler matematiğinde tahvil değerlemeleri,hazine bonoları değerlemeleri ile repo ve fon ve hisse senetleri değerlemelerini kapsar. Bunlardan tahil ve hazine bonosu yatırımlarının değerlemesi sabit getirili ve risksiz yatırımlardan - döviz cinsinden olan tabvil ve hazine bono yatırımları hariç- . Hisse senedi ve hisse senedi içeren fon yatırımları değişken getirili ve risk içeriyor olabilir; repo yatırımları vade yönünden kırık vadeli (alım –satım garantisi içeren değişken vadelerde düzenlenebilir.) Günümüzde sabit ,değişken ve yarı değişken yatırım şekilleri işin içine yatırım türevleri girdikten sonra karmaşık bir hal almış olup burada amaçlanan vade risk ve getiri üçgenini istenilen ve kabul edilen sınırlarda maksimize ve minimize etmektir.

III-1- TAHVİL DEĞERLEMESİ Tahvillerin Değerlemesi T.Ticaret Kanunun 420.Maddesi göre ‘’Ananim şirketlerin borç para bulmak itibari değerleri aynı olmak üzere çıkardıkları borç senetleri’’olarak tanımlanmaktadır. Tahvil çıkarmak özel sektör şirketlerderinde sermayesinin belirli katına kadar ve belirli bir bir amaçlarla izin verilebilir. Tahvil Türleri : -Devlet Tahvilleri -Özel Sektör Tahvilleri -Primli Tahvliller -İkramiyeli Tahviller -Nama ve Hamiline Tahviller -Paraya Çevrilme Kolaylığı olan Tahviller -Garantili ve Garantisiz Tahviller -Sabit ve Değişken Faizli Tahviller -İndeksli Tahviller olmak üzere çeşitli türleri bulunmaktadır

Tahvilleri uzun vadeli bir borçlanma aracı olup; değerlenmesi bu bazda olmaktadır. Tahvillerim ödenmeme riski olmamaktla birlikte finans tarihi ihraç ettikleri ödeyemeyen şirket ,banka ve hazine ve devlet hikayeleri ile doludur.Bu nedenle tahvil ihracına belirli sınurlamalar getirilmiş olup ;bunu belirleyen en önemli kriter borçlanma ve özsermaye oranları ve ekonominin genel durumu ve tahvil ihraç eden kuruluşun özel durumu ile ilgilidir.(özel durum stoklarının devlr hızı veya alacak tahsil gün sayısı olabileği gibi taşıdığı döviz riski de olabilir) Bu nedenle tahvil değerlemesinde bazı uluslar arası kuruluşların yayınladığı değerlendirme raporlarından yararlanılır.Tahvilin pazar değerlemesi özet olarak dönemsel olarak sağlasığı faiz getirisi ile dönem sonunda ödenen anaparadan oluşmaktadır . Aşağıda tahvillerle ilgili tahvil değeri ve getirisine ait bir örneğe yer verilmiş olup tahvillerde değerleme yapılma biçimine örnek teşkil etmektedir. Tahvil değerlemesi başlıca periodik faiz ödemeli tahviller - faiz ödeme dönemleri başında ve faiz ödeme dönemleri arasımda - ve faiz ödeme dönemleri vadede olan tahvillerin değerlemesi olarak iki grupta incelebir :

1-PERİODİK FAİZ ÖDEMELİ BİR TAHVİLİN DEĞERLENDİRİLMESİ A-FAİZ ÖDEME DÖNEMİ BAŞINDA DEĞERLEME TAHVİLİN PİYASA FİYATI(PRICE) 13.100 Tahvil Satınalım Tarihi=Tahvil İhraç Tarihi 30.06.10 Tahvilin Vadesi 30.12.15 Brüt Faiz Orani 0,09 Net Faiz Oranı 0,08 Tahvil Getiri Orani 0,02 Itfa Değeri 10.000 Yillik Faiz Odeme Sayisi 1 Faiz Hesaplama Yöntemi Gelir Vergisi+Stopaj Oranı(Vergi oranı bilinmiyorsa = 0) 0,11

TAHVİLİN GETİRİSİ(YIELD) 8,271 Tahvil Satınalım Tarihi=Tahvil İhraç Tarihi 01.01.10 Tahvilin Vadesi 31.12.15 Brüt Faiz Orani 9,00 Net Faiz Oranı 8,01 Birim Tahvil Piyasa Fiyati 10.000 Birim Tahvil Itfa Fiyati 10.500 Piyasa Fiyati 95,24 Itfa Degeri 100 Yillik Faiz Odeme Sayisi 1 Faiz Hesaplama Yöntemi Gelir Vergisi+Stopaj Oranı(Vergi oranı bilinmiyorsa = 0) 0,11

B-FAİZ ÖDEME DÖNEMLERİ ARASINDA DEĞERLEME TAHVİL DÜZ FİYATI(PRICE+ACCRINT) 14.468 TAHVİLİN FİYATI(PRICE) 12.468 TAHVİLİN TAHAKKUK ETMİŞ FAİZİ(ACCRINT) 2.000 Tahvil İhrac Tarihi 01.01.05 Tahvil Satınalım Tarihi 01.04.07 İlk Faiz Ödeme Tarihi( tahvil satınalımından sonraki tarih olmalıdır) 30.06.08 Tahvilin Vadesi 31.12.10 Brüt Faiz Orani 0,10 Net Faiz Oranı 0,09 Tahvil Getiri Orani 0,02 Nominal Değeri 10.000 Yillik Faiz Ödeme Sayısı 1 Faiz Hesaplama Yöntemi Gelir Vergisi+Stopaj Oranı(Vergi oranı bilinmiyorsa = 0) 0,11

2-FAİZ ÖDEMESİ VADEDE OLAN TAHVİL DEĞERLEMESİ FAİZ ÖDEMESİ VADEDE OLAN TAHVİLİN PİYASA FİYATI( PRICEMAT) 6.597 Tahvil İhraç Tarihi 01.01.09 Tahvil Satınalım Tarihi 30.06.10 Tahvilin Vadesi 31.12.15 Brüt Faiz Orani 0,10 Net Faiz Oranı Tahvil Getiri Orani 0,20 Faiz Hesaplama Yöntemi 1 Nominal Değer 10.000

FAİZ ÖDEMESİ VADEDE OLAN BİR TAHVİLİN GETİRİSİ (YIELDMAT) -0,28 Tahvil İhraç Tarihi 01.01.09 Tahvil Satınalım Tarihi 30.06.09 Tahvilin Vadesi 31.12.12 Brüt Faiz Orani 0,10 Net Faiz Oranı 0,09 Piyasa Fiyati 10.000 Itfa Değeri Faiz Hesaplama Yöntemi 1 Gelir Vergisi+Stopaj Oranı(Vergi oranı bilinmiyorsa = 0) 0,11

VADEDE GERÇEKLEŞECEK FAİZ TUTARI (ACCRINTM) 1.334 VADEDE GERÇEKLEŞEN ANAPARA+FAİZ 6.334 Tahvil İhraç Tarihi 01.01.10 Tahvilin Vadesi 31.12.12 Brüt Faiz Orani 0,10 Net Faiz Oranı 0,09 Tahvil İhraç Fiyatı 5.000 Faiz Hesaplama Yöntemi 1

MACAULEY SÜRESI(MDURATION) 1,23 Tahvil Satınalım Tarihi 30.01.09 Tahvilin Vadesi 30.05.10 Faiz Orani 0,12 Tahvil Getiri Orani 0,04 Yillik Faiz Odeme Sayisi 2 Faiz Hesaplama Yöntemi 1

TAHVİLİN VADESİ 2 YIL 3 YIL 4 YIL 5 YIL TAHVİL İHRACININ ŞİRKETE MALİYETİ 0,273 0,267 0,264 0,263 Tahvilin Faiz Oranı(Yıllık) 0,25 SPK Kesintisi 0,003 Damga Vergisi 0,005 Aracılık Komisyonu 0,020 İlan Baskı Kotasyon Giderleri Tahvilin Net Nakit Girişi 0,97 1.Yıl Nakit Çıkışı -0,25 2.Yıl Nakit Çıkışı -1,25 3.Yıl Nakit Çıkışı 4.Yıl Nakit Çıkışı 5.Yıl Nakit Çıkışı

III-2- BONO VE REPO PİYASALARI Bono Piyasaları Tahvil Piyasalarının benzeri bir piyasa olmakla birlikte yapılan işlem tahvil piyasasının bir benzeri olarak değerlendirilir. Bu piyasalarda değerlendirme tahvil piyasasının da yapılan değerlendirmeye benzer şekilde çalışmakla birlikte bono piyasaları hem daha kısa vadeli hemde daha esnek çalışma koşullarına sahip olunabilir. Günümüzde REPO piyasası artık işlemiyor görünsede inşaat şirketlerinin projeleri devem ettiği sürece bu piyasaları da etkileyeceği belirli güvenceler altında - TOKİ garahtisi taşıması gibi - minimum risk taşımktadır. Bono değerlemesi basit algıyla gelecekteki bir değerin bugüne indirgenmesi işlemi olup bir tür NBD işlemidir. Bununla ilgili örnek Excel çalışmaları aşağıda görülmektedir.

HAZİNE BONOSU, REPO VE FİNANSMAN BONOSUNDA DEĞERLEME   A) HAZiNE BONOLARINDA FiYATLANDIRMA Bugünkü Değer(PV) İç İskonto İle 7.271 Bugünkü Değer(PV) Dış İskonto İle 6.194 Dış İskonto Eşit Dış iskonto Oranı 0,41 Vade Sonu Değeri(FV) 10.000 İskonto Oranı 0,25 Vade Tarihi 30.12.07 Islem Tarihi 30.06.06 Vade Sonuna Kalan Gün Sayısı 548

Hazine Bonosu Elde Tutarının Getirisi+B2 0,17 Satınalma Oranı 0,25 Satış Oranı 0,27 Hazine Bonosu Vadesi 30.12.07 Satın Alındığı Tarih 30.03.07 Satıldığı Tarih 30.06.07 Elde Tutulan Gün Sayısı 92 Vadesine Kalan Gün Sayısı 183 Hazine Bonosu Satınalınma Vadesi 275

İç İskonto Oranı -0,19 HB Nominal Değer 10.000 HB Satınalma Fiyatı 10.500 HB Vadeye Kalan Gün Sayısı 90 Hazine Bonosu Max .Satış Oranı 0,21 HB İhaleden Alış Oranı 0,20 HB Vadesi 181 HB Vadesine Kalan Gün Sayısı 175

B)Repo İşlemlemlerine Fiyatlandırma ve Onay Şartı Hazine Bonosu Satış Tutarı 89.024 Hazine Bonosu Geri Alış Tutası 89.366 Geri Satş Oranı 0,25 HB Başabaş Satınalma Otamı 0,22 KABUL Hazine Bonosu Nominal Değeri 100.000 Hazine Bonosu İskonto Oranı Tahakkuk Ettirilecek Faiz Oranı 0,20 HB Vadesi 180 Repo Vadesi 7

KAYNAKLAR 1.Excel ile Finans - Fulya Alpan -Gürman Tevfik - Arman T. Tevfik 2.Paranın Zaman Değeri – Murat Kıyılar 3.Çözümlü Finansman Problemleri - Murat Kıyılar 4.Finansal Yönetim - Rodert W.Kollb-Richard J. Rodriguez 5.Excel 2007 Fobmüiiker ve Makrolar-John Walkerbach 6.GT Uygulamalı Finans Matematiği ve Finansal Planlana Modelleri - Mustafa Niğdeli 7.Sabit Getirili Menkul Kıymetler- İMKB