DOĞRUSAL PROGRAMLAMA FORMÜLASYON Arş. Gör. Ali Kemal ÇELİK

Medya Seçimi Örneği Diyet ürünler üreten LightForm şirketi yeni ürettiği kraker tanıtımı için 250 bin TL bütçe ayırmıştır. Şirket tanıtım için gazete, televizyon ve radyodan ilan vermeyi düşünmektedir. Aşağıdaki tabloda, farklı medyalarda ilan vermenin maliyeti ve erişebileceği potansiyel müşteri sayısı verilmiştir.

Ulaşılan Potansiyel Müşteri Sayısı Bir İlanın Maliyeti (TL) Gazete: 1.tip ilan 1000 1500 Gazete: 2.tip ilan 800 1400 Gazete: 3.tip ilan 400 1100 Radyo:1.tip ilan 2000 3500 Radyo:2.tip ilan 1750 2800 Radyo: 3.tip ilan 2100 Televizyon:1.tip ilan 10000 21000 Televizyon: 2.tip ilan 8000 16000 Televizyon: 3.tip ilan 5000 12500

Medya Seçimi Örneği Tabloya göre gazeteye verilecek ilanların ilk tipi için 1 ilan 1000 müşteri çekiyor ve 1500 TL’ye mal oluyor. İkinci tipi ise ilan başına 1400 TL’ye mal olup, 800 müşteri çekiyor. Verilen ilan sayısı arttıkça 1 ilan maliyeti kademeli olarak düşüyor. Buna karşın ilanın ulaştığı müşteri sayısı da azalıyor. Şirket gazete ve radyo tiplerinin herbirine en fazla 10’ar, televizyona ise en fazla 5’er reklam verebiliyor. Bu problem için reklam yoluyla ulaşılabilecek potansiyel müşteri sayısını maksimize edecek doğrusal programlama modelini oluşturunuz.

Medya Seçimi Örneği Karar Değişkenleri G₁ = 1500 TL’den verilen gazete ilanı sayısı G₂ = 1400 TL’den verilen gazete ilanı sayısı G₃ = 1100 TL’den verilen gazete ilanı sayısı R₁ = 3500 TL’den verilen radyo reklamı sayısı R₂ = 2800 TL’den verilen radyo reklamı sayısı R₃ = 2100 TL’den verilen radyo reklamı sayısı T₁ = 21000 TL’den verilen televizyon reklamı sayısı T₂ = 16000 TL’den verilen televizyon reklamı sayısı T₃ = 12500 TL’den verilen televizyon reklamı sayısı

Amaç Fonksiyonu Maks. 1000 G₁ + 800 G₂ + 400 G₃ + 2000 R₁ + 1750 R₂ + 1000 R₃ + 10000 T₁ + 8000 T₂ + 5000 T₃ Problemin Kısıtları Reklama yatırılacak paranın 250 milyar TL’lik toplam bütçeyi aşmama kısıtı 1500 G₁ + 1400 G₂ + 1100 G₃ + 3500 R₁ + 2800 R₂ + 2100 R₃ + 21000 T₁ + 16000 T₂ + 12500 T₃ ≤ 250000

İkinci grup kısıt her bir karar değişkeni için ayrı ayrı yazılması gereken karar değişkenin alabileceği üst limiti belirleyen kısıttır. Örneğin 1500 TL’ye gazeteye verilecek ilan sayısını gösteren G₁ değişkeni en fazla 10 değerini alabilir. Çünkü 10’dan fazla gazete ilanı verdiğimizde, ilan fiyatı farklı olacaktır. G₁ ≤ 10, G₂ ≤ 10, G₃ ≤ 10 R₁ ≤ 10, R₂ ≤ 10, R₃ ≤ 10 T₁ ≤ 10, T₂ ≤ 10, T₃ ≤ 10 Gi, Ri, Ti ≥ 0

Yatırım Planlaması Örneği Ekobank yatırım uzmanı, elindeki 1.5 milyon TL’lik fonu aylık getiriyi maksimize edecek şekilde aşağıdaki yatırım enstrümanlarına yatırmak istemektedir. Yatırım Enstrümanı Aylık Getiri Vade Yapısı Risk Vergi Muafiyeti A % 4.75 Uzun Yüksek Var B % 4 Kısa Düşük C % 4.5 Yok D E

Yatırım Planlaması Örneği Uzman elindeki fonun en azından % 60’ını kısa vadeli enstrümanlara yatırmak istemekte ve paranın % 40’ınden fazlasını yüksek riskli enstrümanlara yatırmak istememektedir. Elindeki fonun en azından % 40’ı vergi muafiyeti olan enstrümanlara yatırmalı ve elden edilecek getirinin de en azından % 50’si vergiden muaf olmalıdır. Bu problem için aylık getiriyi maksimize edecek doğrusal programlama modelini oluşturunuz.

Karar Değişkenleri A = A yatırım enstrümanına yatırılacak miktar B = B yatırım enstrümanına yatırılacak miktar C = C yatırım enstrümanına yatırılacak miktar D = D yatırım enstrümanına yatırılacak miktar E = E yatırım enstrümanına yatırılacak miktar Amaç Fonksiyonu Maks. 0.0475A + 0.04B + 0.045C + 0.045D + 0.045E

Problemin Kısıtları Yatırılacak fonun 1.5 milyon TL olmasını sağlayan kısıt A+B+C+D+E = 1.5 Yatırım yapılacak fonun en azından % 60’ını kısa vadeli enstrümanlara yatırılmasını sağlayan kısıt şu şekilde yazılır: B+E ≥ 0.9 Yatırımın % 40’ından fazlasının yüksek riskli enstrümanlara yatırılmamasını sağlayan kısıt şu şekilde yazılır: A+D+E ≤ 0.6 Yatırımın en azından % 40’ının vergi muafiyeti olan enstrümanlara yatırılmasını sağlayan kısıt A+B+D ≥ 0.6 Elde edilecek getirinin de en azından % 50’sinin vergiden muaf olmasını sağlayan kısıt 0.0475A + 0.04B + 0.045CD ≥ 0.5 (0.0475A + 0.04 B + 0.045C + 0.045C + 0.045D + 0.045E A,B,C,D,E ≥ 0

Sağlık Sektörü Örneği Can Hastanesi hematoloji laboratuvarında çeşitli kan tahlilleri yapmak üzere kullanılan 3 makine vardır. Laboratuvar yöneticisi kan tahlillerini bu 3 makineyi kullanarak en kısa sürede yapmayı hedeflemektedir. Yapılan kan tahlilleri süreleri ve özelliklerine göre 5 ayrı gruba ayrılmıştır. Her 3 makine de tüm tahlil gruplarını yapabilmektedir. Ancak, tahlil süreleri farklıdır. Bu süreler tabloda verilmiştir.

Sağlık Sektörü Örneği Gerekli Tahlil Süreleri (Dakika) Tahlil Grupları Makine 1 2 3 4 5 A 6 8 9 12 7 B 10 C Her makine günde 20 saat çalışmaktadır. Her gün toplanan kan örnekleri ertesi gün incelenmektedir. Böylece her gümün başında, yönetici hangi makinede, hangi tipten kaç adet tahlil yapılmasını bilmek zorundadır. Bu sabah laboratuvarda 1. gruptan 90, ikinci gruptan 84, üçüncü gruptan 100, dördüncü gruptan 150 ve beşinci gruptan 60 kan örneği işlem görmek üzere beklemektedir. Yönetici makinelerin toplam kullanım sürelerini minimize edecek şekilde hangi makinede hangi gruptan kaç adet tahlil yapılması gerektiğini belirlemek istemektedir. Bu problem için doğrusal programlama modelini oluşturunuz.

Karar Değişkenleri Xij: j makinesine atanan i kan örneği Amaç Fonksiyonu Min 6 x1A + 8 x2A + 9 x3A + 12 X4A + 7x5A + 12 x1B + 7 x2B + 12 x3B + + 9 x4B + 10 x5B + 5 x1C + 12 x2C + 7 x3C + 7 x4C + 9 x5C Kısıtlar 6 x1A + 8 x2A + 9 x3A + 12 X4A + 7x5A ≤ 1200 12 x1B + 7 x2B + 12 x3B + + 9 x4B + 10 x5B ≤ 1200 5 x1C + 12 x2C + 7 x3C + 7 x4C + 9 x5C ≤ 1200

Sağlık Sektörü Örneği Kısıtlar x1A + x1B + x1C = 90 xij ≥ 0

Karışım Uygulaması Örneği Temiz Kimya şirketi yeni bir silme sıvısı üretecektir. Bu sıvının içine A temizleyici maddesinden en az % 20 en fazla % 40, B temizleyici maddesinden en az % 25 en fazla % 50 ve C temizleyici maddesinden de en az % 35 en fazla da % 50 olacaktır. Temiz Kimya bu ürünü üretmek için 3 ayrı hammadde kullanabilir. Bu hammaddelerin içerikleri tabloda verilmiştir.

Karışım Uygulaması Örneği Hammadde A Maddesi B Maddesi C Maddesi I % 60 % 30 % 10 II % 25 % 50 III % 20 Hammadde I, II ve II ‘ün kg maliyetleri sırasıyla 15 TL, 1.55 TL ve 1.6 TL’dir. Temiz Kimya, en az maliyetle talebi karşılayacak yer silme sıvısının üretimi için doğrusal programlama modelini oluşturunuz.

Karışım Uygulaması Örneği Karar Değişkenleri Pi = ürünün içinde yer alacak hammadde i oranı Amaç Fonksiyonu Min 1.5 P₁ + 1.55 P₂ + 1.6 P₃

Karışım Uygulaması Örneği Kısıtlar 0.60P₁ + 0.25 P₂ + 0.20 P₃ ≥ 0.20 0.30P₁ + 0.25 P₂ + 0.50 P₃ ≥ 0.25 0.10P₁ + 0.50 P₂ + 0.30 P₃ ≥ 0.35 En az miktar kısıtı 0.60P₁ + 0.25 P₂ + 0.20 P₃ ≤ 0.40 0.30P₁ + 0.25 P₂ + 0.50 P₃ ≤ 0.50 0.10P₁ + 0.50 P₂ + 0.30 P₃ ≥ 0.50 En fazla miktar kısıtı P₁ + P₂ + P₃ = 1 (% 100 olma kısıtı ) Pi ≥ 0

Üretim-Dağıtım Zinciri Örneği Ürettiği ürünleri sadece yurt dışına ihtaç eden Truva İçecek iki fabrikasında aşağıdaki maliyet ve kapasitelerle üretim yapmaktadır. Fabrika Yıllık Kapasite Bir Şişenin Maliyeti 1 1800000 0.46 TL 2 1600000 0.5 TL

Dört ülkeye ihracat yapılmakta olup, ülkelerin talepleri şirketin yıllık kapasitesinin üzerindedir. Ülkelerin talepleri ve önerdikleri satın alma fiyatları aşağıdaki tablodaki gibidir. Ülke Maksimum Talep Fiyat 1 1000000 şişe 0.80 TL 2 1250000 şişe 0.74 TL 3 700000 şişe 0.81 TL 4 900000 şişe 0.73 TL

Bir şişe içeceğin fabrikadan ülkelere nakliyesinin maliyeti aşağıdaki gibidir. 1 2 3 4 1 0.14 TL 0.16 TL 0.26 TL 0.18 TL 2 0.25 TL 0.13 TL 0.15 TL Truva İçecek planlama departmanı, bu üründen yıllık karını maksimize edecek şekilde Yıllık üretim ve dağıtım planını belirlemek istemektedir.

Karar Değişkenleri Xij: i fabrikasında üretilip j ülkesine satılan şişe sayısı Amaç Fonksiyonu Maks (0.80-(0.46+0.14))X11 + (0.74-(0.46+0.16)) X12 + (0.81-(0.46+0.26)) X13 + (0.73-(0.46+0.18)X14 + (0.80-(0.50+0.25))X21 + (0.74

Ya-Ya da Kısıtları Çalış A.Ş. Üç işten oluşan bir süreç için tek bir makine kullanmaktadır. Her bir iş için işlem süreleri ve teslim zamanları gün olarak aşağıdaki tabloda verilmiştir. Teslim zamanı, başlangıç sıfır olarak verilmiş olup, birinci işlemin başlangıç zamanı sıfır kabul edilmiştir. İşlem İşlem Süresi (gün) Teslim Zamanı (gün) Gecikme Cezası (pb/gün) 1 5 25 19 2 20 22 12 3 15 35 34

Ya-Ya da Kısıtları Problemin amacı, üç işin minimum gecikme cezasıyla sıralanmasıdır. : işinin gün cinsinden tamamlanma zamanı (sıfır başlangıç alındığında) olsun. Problemin iki tip kısıtı vardır: (1) Çakışmama kısıtları; bu kısıtlar iki ayrı işin aynı anda yapılmadığını garanti eder. (2) Teslim zamanı kısıtları.

Ya-Ya da Kısıtları ve gibi iki işin ve işlem zamanları, işinin ‘den önce gelip gelmediğine bağlı olarak, ya ya da ise, bunlarla ilgili işlemler aynı zamana düşmeyecektir.

= 1 ise bu kez birinci kısıt lüzumsuz, ikincisi aktiftir. Tüm matematik programlar sadece eşanlı kısıtlarla ilgilendiği için, bu ya-ya da kısıtlarını aşağıdaki 0-1 tam sayı değişkenlerini oluşturarak dönüşüme tabi tutarız: 1, i, j’den önce ise 0, j, i’den önce ise = M yeterince büyük bir sayı olmak üzere, ya-ya da kısıtları aşağıdaki gibi eşanlı kısıt haline dönüşür. ve Bu dönüşüm, herhangi bir amanda iki kısıttan sadece birinin aktif olmasını garanti eder. = 0 ise Birinci kısıt aktiftir, ikincisi lüzumsuzdur (çünkü sol tarafından pi’den çok büyük olan M bulunacaktır). = 1 ise bu kez birinci kısıt lüzumsuz, ikincisi aktiftir.

Standart yerine koyma işlemi yapıldığında Şimdi teslim zamanı kısıtına bakalım. dj, j işinin teslim zamanı; sj de sınırlandırılmamış değişken olsun. Bu durumda ilgili kısıt, olur. ≥ 0 ise, teslimat zamanındadır. < 0 ise, bir gecikme cezası oluşacaktır. Standart yerine koyma işlemi yapıldığında , ve ≥ 0 olacağından, kısıt haline gelecektir. Gecikme cezası ile orantılıdır.

= 25-5 = 22-20 = 35-15 Verilen problemin modeli şu şekilde olacaktır. min. z = 20 5-M 15 5-M 15 20-M = 25-5 = 22-20 = 35-15 Tamsayılı değişkenleri ya-ya da kısıtlarının eşanlı kısıtlar haline dönüştürmek için oluşturulmuştur.

Mantık Kısıtları Pekçok karar problemi, ‘evet-hayır’, ‘açık-kapalı’, ‘doğru yanlış’, ’0-1’, ‘üret-üretme’ gibi ikili yapıda olup bunlardan birisini seçmeyi hedefler. Bu yapıdaki ikili değişkenleri içeren modeller, 0-1 Tamsayılı programlama yaklaşımı ile modellenip çözülür.

Örnek Problem Hitit Çikolata pazarlama yöneticisi 7 yeni büyük ölçekli pazarlama projesi üzerinde çalışmaktadır. Bu projelerin gerçekleşmesi durumunda uzun dönemde şirket karına katkıları ve sermaye gereksinimleri tabloda verilmiştir. Tablonun proje satırlarında, herbir projenin önümüzdeki altı ay boyunca sermaye gereksinimi ve projenin beklentisi görülürken, son satırda şirketin her ay projelere aktarabileceği toplam kaynakları göstermektedir. Şirket yöneticisi toplam beklenen getirisini maksimize edecek şekilde hangi projelere yatırım yapması gerektiğini bulmak istemektedir.

Sermaye Gereksinimi (bin TL(ay) Beklenen Getiri Projeler Ocak Şubat Mart Nisan Mayıs Haziran 1 Ankara Tanıtım Kampanyası 40 60 50 300 2 İstanbul Tanıtım Kampanyası 80 350 3 İzmir Tanıtım Kampanyası 30 250 4 Gazete Reklamı 20 70 5 Okullarda Çikolata Dağıtımı 15 25 150 6 Konser Sponsorluğu 75 100 125 310 7 Yeni Ürün Geliştirme 90 120 420 Kullanılabilir Sermaye 400

= 1, eğer proje seçilirse 0, eğer proje seçilmezse Amaç Fonksiyonu Maks. Z = Kısıtlar 0-1 tamsayı (Ocak ayı Kısıtı) (Şubat ayı Kısıtı) (Mart ayı Kısıtı) (Nisan ayı Kısıtı) (Mayıs ayı Kısıtı) (Haziran ayı Kısıtı)

Hitit Çikolata şirketi okullara çikolata dağıtımı ve konser sponsorluğu projelerinden en fazla bir tanesini seçmek istemektedir. Bu ifadenin matematiksel kısıtı: Şirket en fazla iki en az bir ilde tanıtım kampanyası düzenlemek istemektedir. Bu ifade İki ayrı kısıtı içermektedir. İllerdeki tanıtım kampanyası değişkenleri tür. Kısıtlar aşağıdaki gibi yazılır. Şirket gazete reklam kampanyasını ( )ancak yeni ürün geliştirme projesine ( ) başlarsa düşünebilecektir. Burada X4, X7’ye bağlıdır. X7 gerçekleştirilemezse X4 de gerçekleştirilmeyecektir. X7 gerçekleştirilirse de x4 gerçekleştirilebilir de gerçekleştirilemeyebilir de. Değişkenleri 0-1 değerleriyle açıklamaya çalışırsak x7 0 ise X4 de 0 olacaktır. X7 1 olduğunda ise X4 0 ya da 1 olabilir. Her senaryoda X7’ X4’ten daha büyük ya da eşittir. ya da

Şirket iki kampanyayı eşanlı olarak düzenlemeyi ya da düzenlememeyi isteyebilirdi. Bu durumda iki değişken de aynı anda ya 0 ya da 1 değerini alacaklardı. Kısıtlarımız da ya da olacaktı. Şirket 4 numaralı projeyi geliştirmeyi ancak 6 ya da 7 numaralı projeler gerçekleşirse düşünecektir gibi bir kısıtın matematiksel karşılığı: Şirket toplamda 5’ten fazla proje yapmayacaktır.