DOĞRUSAL PROGRAMLAMA.

... konulu sunumlar: "DOĞRUSAL PROGRAMLAMA."— Sunum transkripti:

1 DOĞRUSAL PROGRAMLAMA

2 Doğrusal Programlama Doğrusal programlama, karar verici konumundaki kişilerin karar vermelerine yardımcı olmak amacıyla geliştirilmiş bir problem çözme yaklaşımıdır. Doğrusal programlama ifadesindeki “doğrusal” sıfatı, modelde kullanılan bütün matematiksel fonksiyonların lineer olduğunu, “programlama” kelimesi ise optimal çözümün bulunması için yapılacak faaliyetlerin akış sırasını, başka bir ifade ile sistematik bir planlama faaliyetini ifade eder.

3 Matematik programlama modelleri arasında yer alan Lineer programlama(LP) Kar maksimizasyonu ya da maliyet minimizasyonu gibi bir amaçla karşılaşıldığında, sınırlı üretim kaynaklarının en etkin biçimde dağıtılması konusunu inceleyen bir modeldir. Modelin ayırıcı özelliklerinden en önde geleni; hem amaç fonksiyonunun hem de kısıtlatıcı koşuların doğrusal denklemlerle ifade edilmesidir.

4 Doğrusal Programlamanın Kullanılması:
Doğrusal programlama. matematik biliminde, özellikle yöneylem araştırması uygulamalı dalında, doğrusal programlama problemleri bir doğrusal amaç fonksiyonun doğrusal eşitlikler ve eşitsizlikler kısıtlamaları ile optimizasyon yapılmasıdır.

5 Bir optimizasyon modeli eğer sürekli değişkenlere ve tek bir doğrusal amaç fonksiyonuna sahipse ve tüm kısıtlamaları doğrusal eşitlik veya eşitsizliklerden oluşuyorsa, doğrusal (lineer) program olarak adlandırılır. Başka bir deyişle, modelin tek-amaçlı fonksiyonu ve tüm kısıtlamaları, süreklilik gösteren karar değişkenlerinin ağırlıklı toplamlarından oluşmalıdır.

6 Doğrusal (lineer) programlamadaki doğrusal (lineer) sözcüğü, modeldeki tüm matematiksel fonksiyonların doğrusal (lineer) olması gerektiğini belirtir. Programlama kelimesi ise bilgisayar programlamaya işaret etmez; daha çok planlama ile eş anlamlıdır. Dolayısıyla doğrusal (lineer) programlama, birçok uygun alternatif arasından belirlenmiş bir hedefe uyan optimal çözümü bulacak aktivitelerin planlanmasını içerir.

7 Fazla matematiksel olmayan terimler ile, bir seri doğrusal eşitlik veya eşitsizlik şeklinde ifade edilmiş koşullara bağlı olarak en iyi sonuca varılmasıdır. Doğrusal programlama birçok pratik alanda kullanım sahası bulmaktadır. Özellikle birçok işletme ve ekonomi sorunlarına özel veya kamu sektöründe devamlı kullanılmaktadır. Nakliyat, enerji üretimi ve dağıtımı, telekomünikasyon, sınai üretim gibi teknik işletmecilik gerektiren alanlarında bulunan birçok firmalar doğrusal programlamayı çok kullanmaktadırlar.

8 Doğrusal programlama işletmecilik alanlarında çok kapsamlı ve çok çeşitli sorunların çözülebilmesini sağlamaktadır. Bunlar sorunlar arasında planlama, yol gösterme, zaman programlaması, iş ve işçi tahsis edilmesi gibi önemli sorunlar doğrusal programlama kullanılarak modellenebilmektedir.

9 Doğrusal programlamanın tarihçesi
Doğrusal eşitsizlikler sistemi şeklindeki bir problemin incelenmesi ta Fourierin çalışmalarına kadar dayanmaktadır ve bu tanınmış matematikçi anısına Fourier-Motzkin eliminasyon yöntemi şeklinde isimlendirilmiştir. 1920lerde Sovyet Rusya’da tüm ekonomi planlaması konuları pratikte ön plana geçmişken teorik olarak tüm ekonominin nasıl planlanabileceğini göstermek için yapılan teorik çalışmalar arasında Leonid Kantoriviçin katkısı ilk defa bir doğrusal programlama probleminin açıkça ortaya çıkarılmasına yol açmıştır.

10 Lineer Programlama Modelinin Tanımı ve Yapısı:
LP modeli kullanılarak çözülebilen ve amacı karın maksimizasyonu ya da maliyetin minimizasyonu olan bir problemde, bir ya da daha çok denklem yer alır. Problem matematiksel yapısında ise hem amaç fonksiyon hem de kısıtlayıcı koşullar, doğrusal denklemlerle ifade edilmelidir. Aşağıdaki örnek olay yardımı ile konu daha iyi açıklanabilir.

11 Temel Kavramlar Çözüm: Bir doğrusal programlama probleminin kısıtlayıcı fonksiyonlarının hepsini birden sağlayan karar değişkenlerinin (x1, x2, ..., xn) oluşturduğu kümeye çözüm denir. Uygun çözüm: Negatif olmama koşulunu sağlayan çözüme uygun çözüm denir. En iyi çözüm: Amaç fonksiyonuna en iyi değeri (en küçük veya en büyük) sağlayan uygun çözüme en iyi çözüm denir.

12 Örnek: Bir firma üç ayrı üretim faktörüne sahip olup, bu faktörlerle çeşitli ürünler üretmektedir. Beklenen karın azalması üzerine firma üst düzey yöneticileri üretim hattında bazı düzenlemeler yapma gereği duymuşlardır. Bu düzenlemelere göre kar getirmeyen bazı ürünler üretimeyecek, maksimum kar için gerekirse bir ya da birkaç ürün üretilecektir. Yapılan araştırmalar sonucu, iki ürünün (ürün A ve ürün B) üretilmesine karar verilmiştir. Elde edilen bilgilere göre (1) numaralı üretim faktörü 8 birimlik, (2) numaralı üretim faktörü 24 birimlik ve (3) numaralı üretim faktörü de 36 birimlik kapasiteye sahiptir. A ürününden bir birim üretmek için (1) numaralı üretim faktöründen 2 birim, (3) numaralı üretim faktöründen 6 birim kullanılacak (2) numaralı üretim faktöründen ise hiç kullanılmayacaktır. B ürününden bir birim üretmek için ise (1) numaralı üretim faktöründen hiç kullanılmayacak, (2) numaralı üretim faktöründen 4 birim ve (3) numaralı üretim faktöründen de 4 birim kullanılacaktır. A ürününün bir biriminin satışından 6 para birimi (pb), B ürününün satışından da 10 pb net kar sağlanacaktır.

13 Probleme ait modeli kurmadan, önce bu verilerin bir tablo halinde düzenlenmesi ve daha sonra matematiksel ifadenin yazılması daha kolay olacaktır: Birimler A Ürünü, x1 B Ürünü, x2 Toplam Kapasite Üretim Faktörü 1 2 6 8 Üretim Faktörü 2 4 24 Üretim Faktörü 3 36 Maksimize Kar 10

14 Tablonun son satırında ürünlerin (A ve B ürünlerinin) bir biriminin satışından elde edilecek net karlar yazılmıştır. A ürününden x1 miktar B ürününden de x2 miktar satılırsa firmanın elde edeceği toplam kar (Z amaç fonksiyonunu ifade etmek üzere) matematiksel olarak maksimize Z = 6 x1 +10 x2 denklemi ile ifade edilebilir.

15 Genel olarak, bir LP probleminde kar söz konusu ise amaç da doğal olarak karı maksimizasyon yapmak olacağından yukarıdaki ifade aynı zamanda amaç denklemidir, yani bu ifade LP notasyonuna uygun olarak, Maksimize Z = 6 x1 +10 x2 Amaç denklemi olarak yazılır.

16 Tablonun birinci satırı yani (1) nolu üretim faktörü satırı incelenecek olursa toplam 4 birimlik kapasiteye sahip olan bu faktörün sadece A ürününün üretiminde kullanıldığı, B ürününün üretiminde hiç kullanılmadığı görülmektedir. O halde bu üretim faktörü kullanılarak en çok 4 birim A ürünü üretilebilecektir. Bu durum cebirsel olarak 2 x1 < 8 eşitsizliği ile ifade edilir

17 Benzer düşünce ile tablodaki verilere dayanarak diğer üretim faktörlerinin kullanım ve ürettikleri ürünler açısından kısıtlayıcı şart denklemleri kurularak problemin bir LP modeli şeklindeki ifadesi aşağıdadır: Maksimize: Z = 6 x1 +10 x (Amaç Denklemi) Kısıtlayıcı x1 <8 Koşullar: x2 <24 6 x1 +4 x2<36 x1, x2 > (negatif olmama (pozitiflik) koşulu)

18 Lineer Programlama Modelinin Varsayımları:
Kar maksimizasyonu veya maliyet minimizasyonunu ifade eden amaç. Faaliyet/ faaliyetlerle eş anlamlı sayabileceğimiz alternatif süreçler ya da alternatif üretim teknikleri. Üretim faktörlerinin ve üretimi etkileyen diğer koşulların fiziki durumlarının veya mevcut kapasitelerin üretilecek ürün üzerindeki etkilerini ve kısıtlarının matematiksel ifadesi olarak tanımlanan kısıtlayıcı (sınırlayıcı) koşullar.

19 1. Doğrusallık: Modeldeki input ve output (girdi ve çıktı) ilişkilerinin doğrusal nitelikte olduğu, bir başka deyişle modelin amacı ve kısıtlayıcı koşullarını belirleyen fonksiyonların doğrusal denklemler olduğu varsayılır. Bu varsayımın doğuş nedenleri şunlardır: Modelde kullanılan input-output katsayıları sabittir ya da faktör girişi ile ürün çıkışı arasındaki bağıntı doğrusal niteliktedir, Kaynaklara ödenen ya da ürünlerden elde edilen fiyatlar sabit varsayılmaktadır.

20 2. Eşitsizlik: Üretim süreçleri tarafından kullanılan üretim faktörleri toplamının sıfıra eşit, büyük ya da küçük olma koşuludur. Bu ifade, tüm üretim kaynakları arzının kullanımının gerekmediği durumların da (atıl kapasite) söz konusu olabileceğini, ancak üretilen herhangi bir ürün miktarının sıfırdan büyük ya da eşit olması gerektiğini ortaya koyar.

21 3. Negatif Olmama Koşulu:
Ekonomide negatif üretimden söz edilemeyeceği, yani negatif değerlerin olamayacağı gerçeğinden hareketle, üretim düzeyinin ya da karar değişkenlerinin pozitif veya sıfıra eşit olması gerekliliğinden ortaya çıkan varsayımdır.

22 4. Kaynakların Sınırlılığı ve Sonluluk:
Üretim süreçlerinin, üretim faktörlerinin, alternatif faaliyet sayısının ve kaynak sınırlamalarının sonlu olduğu varsayımıdır.

23 5. Bölünebilirlik Bölünebilirlik: Üretim faktörlerinin ve ürünlerin bölünebilir yapıda olmaları, yani kesirli olabilecekleri varsayımıdır.

24 6. Belirlilik Belirlilik: LP’de birim başına kar. Her faaliyet için gerekli faktör miktarı ve elde edilecek ürün miktarı gibi ekonomik değerlerin belirli ve sabit olduğu varsayılır.

25 7. Toplanabilirlik: Faaliyetlerin birbirlerini etkilemedikleri varsayımıdır. Yani tüm faaliyetlerden elde edilecek kazanç her bir faaliyetten ayrı ayrı elde edilecek kazançların toplamına eşittir (ya da maliyet amaçlı bir problemde toplam maliyet, her bir faaliyet için ayrı ayrı yapılan maliyetlerin toplamına eşittir). Oysa gerçekte, faaliyetlerden bir ya da daha çoğunda ortaya çıkabilecek arızi bir durum, öteki faaliyetleri de etkileyerek kazanç üzerinde olumlu ya da olumsuz etkiler yapabilecektir.

26 8. Tek Değerli Beklentiler
Tek Değerli Beklentiler: Kaynak arzı, input-output katsayıları ve fiyatların kesin olarak bilindiği varsayılır.

27 LP’de Model Kurma: Örnek: K kalemcilik A.Ş. ürettiği kalem çeşitleri arasında çeşitli niteliklere sahip iki renk (kırmızı ve mavi) kalemler için yeniden üretim planlaması yaparak toptan satacaktır. Bu iki renk kalem için A ve B ile gösterilen iki yeni hammadde kullanacaktır. Hammadde ile ilgili bilgiler şöyledir: A hammaddesinin mevcut kapasitesi günlük en çok 8 ton, B hammaddesinin kapasitesi ise günlük en çok 10 tondur. Kırmızı ve mavi kalemler için farklı özelliklere sahip bu hammaddelerin birim başına kullanılacak hammadde gereksinimleri ile ilgili mevcut bilgiler şöyledir:

28 Bir birim (= 1000 adetlik bir kutu) kırmızı kalem üretebilmek için, A hammaddesinden 2 birim, B hammaddesinden de 4 birim kullanılmaktadır. Bir birim mavi kalem üretebilmek için ise A hammaddesinden 4 birim, B hammaddesinden 2 birim kullanılması gerekmektedir. Kalem talebi için yapılan piyasa araştırmalarına göre, mavi kalemlere olan günlük talep, kırmızı kalemlere olan günlük kalem talebini 2 birimden daha fazla aşmamaktadır. Ayrıca günlük mavi kaleme olan boya talebi 4 birimle sınırlıdır. Kırmızı kalemin birim başına toptancı fiyatı 4 pb, mavi kalemin birim başına toptancı fiyatı 3 pb dir. Bu verilere göre amaç, gayri safi geliri maksimum yapacak kırmızı ve mavi kalemlerin günlük üretiminin ne olacağını bulmaktır.

29 Problemin verilerini aşağıdaki tabloda göstermek modeli kurmayı kolaylaştıracaktır:
Bir ton boya üretimi için gerekli hammadde miktarı Kırmızı Kalem Mavi Kalem Maksimum miktar(birim) Hammadde A 2 4 8 Hammadde B 10 Gayri safi gelir 3

30 Modelin Değişkenleri:
Xk =günlük üretilecek kırmızı kalem miktarı (brim) Xm =günlük üretilecek mavi kalem miktarı (birim)

31 Modelin amaç fonksiyonunu şöyle ifade ederiz:
Problemin verilerine göre, kırmızı kalemlerin bir birimi (yani 1000 adetlik bir kutu) 4 pb’ne satıldığı için xk satışından elde edilecek gayri safi gelir 4(xk) kadar para birimidir, benzer şekilde mavi kalemlerin satışından elde edilecek gayri safi gelir de 3(xm) kadar para birimidir. LP varsayımına göre, kırmızı ve mavi kalemlerin satışları birbirinden bağımsızdır ve toplam gayri safi gelir bu iki farklı ürünün getirilerinin toplamından oluşur. Z toplam gayri safi getiriyi belirten amaç fonksiyonunu göstermek üzere amaç denklem matematiksel olarak ifade edilecek olursa: Z= 4 xk +3 xm şeklinde yazılır ve amaç da bu kriteri maksimize edecek xk ve xm değerlerini belirlemek olacaktır.

32 Şimdi problemin kısıtlayıcı koşullarının nasıl yazılacağını açıklayalım:
A hammaddesi için, 2 xk +4 xm < 8 B hammaddesi için, 4 xk +2 xm < 10 Yine problem verilerine göre talep ile ilgili kısıtlar ise; (kırmızı kalem üzerindeki mavi kalemin aşırı miktarı) < 2 birim (günlük mavi kalem talebi) < 2 birim olarak ifade edilir ve matematiksel olarak sırasıyla aşağıdaki denklemlerle gösterilir: Kırmızı kalem miktarını aşan mavi kalem: xm – xk < 2 Mavi kaleme olan maksimum talep: xm < 4

33 Burada açıkça belirtilmemiş bir kısıt da her iki kalemin üretim miktarının negatif (sıfırdan az) olamayacağı, yani sıfıra eşit veya sıfırdan büyük olması gerektiğidir; dolayısıyla negatif olmama koşulunu da belirtmek gerekir: Xm > 0 (mavi kalem) xk > 0 (kırmızı kalem)

34 Çözümün yapılabilmesi için problemin matematiksel ifadesi aşağıdadır:
Maksimize Z = x1 +3 x (Amaç fonksiyonu denklemi) Bağlı olarak kısıtlar: 2 x1 +4 x2 <8 4 x1 + 2 x2 <10 - x1 + x2 < 2 X2 < 4 X1 > 0, x2 > (Negatif olmama koşulu)

35 Örnek: İnci Kimya firması A ve B gibi iki kimyasal madde üretmek için üç farklı üretim faktörü kullanmaktadır. Haftalık üretim için kullanılacak faktörlerin toplam kapasiteleri; (1) nolu üretim faktöründen toplam 30 birim, (2) nolu üretim faktöründen toplam 2 birim ve (3) nolu üretim faktöründen toplam 24 birimdir. (1) nolu hammadde kullanılarak A ürününden 10, B ürününden 5 birim üretebilmektedir. (2) nolu üretim faktörü kullanılarak B ürününden 1 birim üretilebilmekte; (3) nolu üretim faktörü kullanılarak A ürününden 4, B ürününden de 6 birim üretilebilmektedir. Bir litre A ürününün maliyeti 16 pb, bir litre B ürününün maliyeti ise 24 pb’dir. İnci firmasının toplam üretim maliyetini minimize edebilmesi için problemi bir Doğrusal Programlama Problemi olarak ifade ediniz.

36 Çözüm: Problemin verileri bir tablo halinde özetlenebilir:
Birimler A Ürünü, x1 B Ürünü, x2 Toplam Kapasite Üretim Faktörü 1 10 5 30 Üretim Faktörü 2 1 2 Üretim Faktörü 3 4 6 24 Maliyet 16

37 Problemin karar değişkenleri:
x1 :Üretilecek A ürününün miktarı x2 :Üretilecek B ürününün miktarı Minimize edilecek toplam maliyet: Minimize Z= x1 +24 x2 Kısıtlayıcı Koşullar: 10 x1+5 x2>30 x2>2 6 x1+4 x2>24 x1 , x2>0 (Negatif olmama koşulu)

38 Genel olarak LP problemlerinin çözümü için; Grafik metot ve
Cebirsel metot olmak üzere iki tür çözüm metodu vardır.

39 1. LP Problemlerinin Grafik Yöntemle Çözümü:
Grafik metotla çözüm, genel olarak iki değişken için iki boyutlu bir grafik çizilerek, amaç denklem ve kısıtlayıcı koşul denklemlerinin geometrik bir alanda, düzlem üzerinde gösterilmesi ile yapılır. Üç değişkene sahip bir problem için üç eksenli bir diyagram çizilmesi gerektiğine göre, n sayıdaki değişkeni olan bir problem için de n boyutlu alan gerektiği ve bu alanda grafikle çözüm yapmanın ne kadar güç, hemen hemen imkansız olacağı açıktır. Bu nedenle ikiden fazla değişkene sahip LP problemlerinin grafik çözümü yapılmamaktadır.

40 Grafik çözümde unutulmaması gereken bir husus da en iyi çözümü veren değeri uygun çözüm alanı içinde değil, alanı belirleyen çizgilerin köşe noktalarında aramak gerektiğidir (maksimizasyon problemi için orijinden en uzak noktalarda, minimizasyon problemi için orjine en yakın noktalarda aranmalıdır). Yani optimal çözüm, köşe noktası uygun çözümler arasından seçilir.

41 Bir doğrusal programlama probleminin grafik çözümünde aşağıdaki adımlar izlenir:
1. Değişkenlerin koordinat sisteminin yatay ve dikey eksenlerine yerleştirilmesi, 2. Kısıtlayıcı fonksiyonların grafiğinin çizilmesi, 3. Uygun çözüm bölgesinin belirlenmesi, 4. En iyi çözümün araştırılması.

42 Örnek.1. Aşağıdaki doğrusal programlama problemini grafik yöntemiyle çözünüz. Zenb = x1 + 3x2 x1 + x2 <8 x1 + 2x2 > 8 x2 > 3 x1, x2 > 0

43

44 Görüldüğü gibi, B amaç fonksiyonuna en büyük değeri sağlamaktadır
Görüldüğü gibi, B amaç fonksiyonuna en büyük değeri sağlamaktadır. B’nin koor­di­natla­rının x1 = 0, x2 = 8 olduğu göz önünde bulunduruldu­ğun­da ZB(Zenb) aşağıdaki gibi hesaplanır. ZB = Zenb = 0 + 3(8) = 24 Özetle, karar değişkenlerinin en iyi değerleri x1 = 0, x2 = 8 ve amaç fonksiyonunun en büyük değeri 24 olarak belirlenmiş­tir. Uç noktaların koordinatlarının ayrı ayrı hesaplanıp amaç fonksi­yonuna yerleştirilme­siyle hesaplanan Z değerleri aşağıda verilmiştir. Bu hesaplamalar da amaç fonksiyonunun en büyük değerine B(0, 8) noktasında ulaştığını göstermektedir. ZA = Z(0, 4) = 1(0) + 3(4) = 12 ZB = Z(0, 8) = 1(0) + 3(8) = 24 ZC = Z(5, 3) = 1(5) + 3(3) = 14 ZD = Z(2, 3) = 1(2) + 3(3) = 11

45 Örnek. 2. Aşağıdaki doğrusal programlama problemini grafik yöntemiyle çözünüz. Zenk = 2x1 + 3x2 3x1 + 2x2 ³ 6 x1 - 2x2 £ 4 x £ 5 x2 £ 3 x1, x2 ³ 0

46 Uç noktaların koordinatlarının ayrı ayrı hesaplanıp amaç fonksiyonunda yerine konulmasıyla ulaşılan değerler de (aşağıda topluca verilmiştir) E noktasının en iyi çözümü sağlayan nokta olduğunu göstermektedir. ZA = Z(0, 3) = 2(0) + 3(3) = 9 ZB = Z(5, 3) = 2(5) + 3(3) = 19 ZC = Z(5, 0,5) = 2(5) + 3(0.5) = 11.5 ZD = Z(4, 0) = 2(4) + 3(0) = 8 ZE = Z(2, 0) = 2(2) + 3(0) = 4

47