Polar koordinatlar Küresel sistemlerde küresel polar koordinatlar r,  (teta), (fi) ortogonal kartezyen koordinatlardan daha kullanışlıdır.

Schrödinger Eşitliği 3D Kartezyen 3D Spherical Kinetik enerji Potansiyel enerji Toplam enerji 3D Spherical Potential energy Kinetic energy Total energy

Küresel Koordinatlarda Schrödinger Eşitliği Schrödinger Eşitliğinin kısa yazılışı Özfonksiyonlar Laguerre Polinomları Küresel Harmonikler Özdeğerler

= Rnl(r)Ylml(,) total wave function Solutions () to the wave equation can be expressed as products of two functions: radial and angular parts = Rnl(r)Ylml(,) total wave function Rnl(r) – radial function (gives orbital size) Ylml(,) – angular function (shapes of the s,p,d orbitals) n, l, and ml are the quantum numbers Solutions to this wave eqn. are the atomic orbitals An atomic orbital is specified by three quantum numbers.

Kuantum Sayıları Schrödinger denkleminin çözümü için 3 kuantum sayısının belirli değerler alması gerekir n = baş kuantum sayısı, ortalama yarıçap, enerji seviyelerini belirler n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7…… KABUKLAR l = açısal momentum kuantum sayısı, orbitallerin şeklini belirler l = 0, 1, 2, 3, 4, 5… (n – 1) s p d f g h ALTKABUKLAR m = manyetik kuantum sayısı, l nin z bileşeni, yönelmeleri belirler m = 0, ± 1, ± 2, ± 3….. ORBİTALLER

Açısal Kuantum Sayıları range: l = 0, … , n-1 l = 0 l = 1 l = 2 l = 3 s orbital p orbital d orbital f orbital izotrop ve Küresel simetrik Is it possible to have a 2f orbital?

Manyetik Kuantum Sayısı ml = -l , … , 0, … , +l p-1 p0 p+1 Aynı n ve l kuantum sayılarına sahip orbitalleri farklandırır. Manyetik alan z-ekseni doğrultusunda yönelmiştir. 2pz orbitallerindeki elektronlar manyetik alan doğrultusunda yönelirler

Note: Many sources use the symbol h (read as h-bar) for h/2 Orbital angular momentum is given by [l(l+1)]1/2h/2 and is quantized For d electrons, l = 2, and [l(l+1)]1/2h/2 = h/26 The values of ml (when varies in steps of 1 for l to –l are shown below. ml = 2 ml = 1 ml = 0 ml = -1 ml = -2 Note: Many sources use the symbol h (read as h-bar) for h/2

Zeeman Etkisi m değerlerinin yarılması Orbital manyetik momenti mL ile dış manyetik alan B etkileşir ve dejenere enerji seviyeleri birbirinden ayrılır. m = 1 m = 0 l = 1 m = –1 B alanı yok B alanı var l = 0 m = 0 Farklı ml değerleri için farklı enerjiler…

(n, l, m) kuantum sayılarının belirlediği dalga fonksiyonlarına Kuantum Sayıları ve Orbitaller (n, l, m) kuantum sayılarının belirlediği dalga fonksiyonlarına ORBİTAL adı verilir n l Orbital ml # of Orb. 0 1s 0 1 0 2s 0 1 1 2p -1, 0, 1 3 0 3s 0 1 1 3p -1, 0, 1 3 2 3d -2, -1, 0, 1, 2 5 Quantum numbers need not be assumed as was done by Bohr.

ÖRNEK: n = 5 kabuğundaki orbitalleri yazınız. Alt kabuklar Manyetik kuantum sayıları Orbital sayıları 5s 1 0 5p 3 +1, 0, -1 5d 5 +2, +1, 0, -1, -2 5f 7 +3, +2, +1, 0, -1, -2, -3 5g 9 +4, +3, +2, +1, 0, -1, -2, -3, -4

Radyal Düğüm Sayıs: n-l-1 Açısal Düğüm Sayısı : l Radyal dalga fonsiyonu Açısal dalga fonksiyonu Sadece r ye bağlıdır Elektronun çekirdeğe uzaklığını verir Orbitalin büyüklüğünü belirler ve  ye bağlıdır Orbitalin şekli verir Orbitalin yönünü belirler Radyal Düğüm Sayıs: n-l-1 Açısal Düğüm Sayısı : l Düğüm : elektron yoğunluğunun sıfır olduğu yer

Radyal Dalga Fonksiyonları Düğümler

Radyal Olasılık Fonksiyonu Radial Probability Function 2 ye göre elektronun r = 0 da bulunma olasılığı en büyüktür. H 1s orbital  = wave function 2 = probability/unit volume V = 4/3(r3) dV =4r2dr 2dV =4r22dr = probability (also called “radial distribution function”) r1 0.529 Å İnce bir küre yüzeyi üzerinde elektronun bulunma olasılığı 4r2R2 fonksiyonunda r = 0 ve r =  değerlerinde elektronun bulunma olasılığı sıfır olur.

Radyal Olasılık Fonksiyonları Orbitallerin Radyal Olasılık Fonksiyonları 1s P(r)=||²4r² 2s Radyal Düğüm Sayıları 2p 1s 0 2s 1 2p 0 3s 2 3p 1 3d 0 3s 3p 3d

s orbitalleri 2 = yoğunluk fonksiyonu veya olasılık yoğunluğu (probability density) 4r22 = radyal olasılık fonksiyonu (radial probability function)

Radial distribution functions for 1s, 2s, and 3s orbitals. Note the 2s and 3s orbitals show 1 and 2 nodes, respectively. No. of radial nodes = n - l – 1. for 3s (n = 3, l = 0): 3 - 0- 1 = 2 nodes Size: 1s<2s<3s

2p (l = 1) orbitalleri x, y, and z doğrultularında yönelmişlerdir − + anizotropik x, y, and z doğrultularında yönelmişlerdir

3d (l = 2) orbitalleri dxz, dyz, dxy, dx2-y2 and dz2. + + + + + + - +

3p orbitalleri Elektron yoğunluk yüzeyleri Radyal düğüm sayısı : 1 Açısal düğüm sayısı : 1

4f (l = 3) orbitalleri

H atomunda orbital enerjileri aynı n kabuğundaki orbitallerin enerjileri farklı l değerlerine sahip olsalar bile birbirine eşittir.

For polyelectronic atoms, subshells have Atomic orbitals of Hydrogenlike atoms (only 1 e) Subshells have the same energies For polyelectronic atoms, subshells have different energies due to SCREENING.

H atomu Dalga Fonksiyonları : formül Spherical Component Yl,m Complete Wave Function yn,l,m s-orbital n = 1 l = 0 l = 0 p-orbital n = 2 m = ±1 l = 1 l = 0,1 d-orbital l = 2 l = 1 m = ±1 f-orbital n = 3 l = 3 l = 0,1,2

H atomu Dalga Fonksiyonları : şekil Taken from: http://www.uniovi.es/~quimica.fisica/qcg/harmonics/charmonics.html m = –2 m = –1 m = 0 m = 1 m = 2 l = 0 s-orbitali l = 1 p-orbitalleri sinq sinf cosq sinq cosf l = 2 d-orb. sin2q sin2f sinqcosq sinf 3cos2q–1 sinqcosq cosf sin2q cos2f

From: http://pcgate.thch.uni-bonn.de/tc/people/ Dalga Fonksiyonları s-orbitals l = 0 From: http://pcgate.thch.uni-bonn.de/tc/people/ hanrath.michael/hanrath/HAtomGifs.html p-orbitals l = 1 100 d-orbitals l = 2 200 211 210 211 300 311 310 311 322 321 320 321 322 400 411 410 411 422 421 420 421 422 f-orbitals l = 3 433 432 431 430 431 432 433