SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİ PROF. DR. NAZMİYE YAHNİOĞLU nazmiye@yildiz.edu.tr www.yildiz.edu.tr/~nazmiye

ÖZET: Eksenel kuvvet etkisindeki çubuklar Matematiksel model elde edildi, Farklı mesnet tiplerine ait uygulamalar, Her nodda yerdeğiştirmenin bulunması, Her sonlu elemanda gerilmenin bulunması Mesnet yüzeylerindeki tepki kuvvetinin bulunması öğrenildi.

Bir Boyutlu Problemlerin Sonlu Eleman Modellemesi Örnek eleman için;

Sıcaklık Etkisi Bilindiği üzere sıcaklık değişimi yapı elemanlarında boy uzaması veya boy kısalması şeklinde şekil değiştirmeye sebep olur. Eğer yapı elemanı sıcaklık değişimindeki olağan şekil değiştirmesini rahatça yapabiliyorsa, yapı elemanında bu sıcaklık değişimi herhangi bir iç gerilme veya iç kuvvete neden olmaz. Fakat çoğu durumda yapı elemanları çevrelerinden tutturulmuş olduğundan, sıcaklık değişimindeki boy artışını gerçekleştiremeyebilir. Bu durumda cisimde iç kuvvet/gerilmeler oluşur. Ortamın sıcaklığının kadar değişmesi sonucunda, yapı elemanında meydana gelen şekil değiştirme: burada, Isı genleşme katsayısı ve birimi dir.

Sıcaklık Etkisi Sıcaklık değişimi göz önüne alındığında Hooke yasası daha önce verildiği haliyle kullanılamaz. Çünkü, Hooke yasası ancak dış kuvvetler etkisindeki şekildeğiştirme ve gerilme için geçerlidir. Bu yasanın geçerli olabilmesi için cismin dış kuvvetler ve sıcaklık değişimideki toplam şekildeğiştirmesinden, sıcaklık değişiminde meydana şekil değiştirmesi çıkarılırsa, dış kuvvet etkisindeki şekil değiştirmesi bulunur ve bunun için Hooke yasası uygulanabilir. Yani; şeklinde alınır ve Toplam Potansiyel Enerji Fonksiyonelindeki ilk integral yeniden düzenlenirse;

Sıcaklık Etkisi veya

Sıcaklık Etkisi Bilinmeyenlere göre türev alınarak sıfıra eşitlenirse, bulunur. Sıcaklık nedeniyle ilave olan nin örnek elemandaki ifadesi ve bilinen fonksiyonların sabit olması ile lineer şekil fonksiyonları yardımıyla çözümü yapılırsa, kopyalama matrisi;

Örnek 60kN 70kN Şekildeki prizmatik çubuk ortamın sıcakliği iken (P+Q) toplam yükü ile şekildeki gibi yüklenmiş ve sonra ortamın sıcaklığı çıkartılmıştır. Bu yapı elemanı üzerinde gösterilen bazı büyüklüklerin değerleri aşağıda verilmektedir. Buna göre verilen yapı elemanını en az sonlu eleman ve lineer şekil fonksiyonları yardımıyla modelleyerek, a)Her sonlu eleman için Eleman matrislerini, b)Her bir nodda yer değiştirmeleri, c)Her sonlu elemanda gerilme fonksiyonunu, d)Mesnet reaksiyonunu bulunuz. Verilenler

Eleman verileri/matrisleri

Eleman verileri/matrisleri Genel sistem: İndirgenmiş sistem: Çözüm:

Gerilme Fonksiyonu

Mesnet Reaksiyonu