Büyük ve Küçük Örneklemlerden Kestirme

Evren standart sapması ve aritmetik ortalamasının bilinmediği durumlarda bu değerlerin yerine örneklemden elde edilen değerler kullanılarak işlem yapılabilmektedir. Bu durum ise elimizdeki örneklem istatistiklerine dayanarak karar verebilmemize olanak sağlamaktadır.

Kestirme işi örneklemin büyük ya da küçük olmasına göre farklılaşmaktadır. Büyük örneklemlerde (n>30) kestirme işinde z dağılımı kullanılırken, küçük örneklemler için t dağılımına başvurulmaktadır.

Büyük örneklemler için kestirme işi z dağılımından yararlanılarak yapılır.

μ evrenin aritmetik ortalaması olmak üzere, bu değer büyük örneklemden şu formülle kestirilir:

Bu amaçla standart normal dağılımı (z) tablolarında istenen α/2 değeri z0 ile ∞ arasında kalan olasılık olarak düşünülerek bu değere karşılık gelen z değeri bulunmalıdır.

Verilen bu formüle göre evrenin aritmetik ortalaması bilinmeden de kestirme yolu ile evrenle ilgili kararlar verilebilmektedir.

Diğer bir deyişle bu formül örneklemden elde veriler üzerinden evren aritmetik ortalamasının alabileceği en düşük ve en yüksek değerleri belirlemekte kullanılmaktadır.

Örneğin bir fabrikada üretilen bir ürünün istenen güven aralığındaki çalışma süresi, seçilen bazı ürünlerin test edilerek ölçülen çalışma sürelerinden kestirilebilmektedir.

Örnek Telefon konuşmalarının ortalama olarak kaç dakika sürdüğü belirlenmek isteniyor. Bu amaçla 126 telefon konuşması basit tesadüfi yolla belirlenerek süreleri ölçülüyor. Yapılan ölçümlere göre konuşma sürelerinin aritmetik ortalaması 6,25 dakika, standart sapması ise 6 dakika ise, tüm konuşma sürelerinin aritmetik ortalamasını 0,95 olasılıklı iki yönlü güven aralığında bulunuz.

Örneklem büyüklüğü 126 olduğu için konu edilen örneklemi büyük olarak kabul ederiz. Sorunun çözümü için kullanmamız gerekli olan formül şöyledir:

Örnekte istenen güven aralığı 0,95 ise α = 1-0,95 = 0,05’dir Örnekte istenen güven aralığı 0,95 ise α = 1-0,95 = 0,05’dir. Güven aralığı çift yönlü olduğu için ise α/2 = 0,025 olarak bulunur.

Verilen değerler denklemde yerine konduğunda:

Bu sonuç yapılan bir telefon konuşmasının %95 olasılıkla 5,20 dakikaya eşit veya daha fazla ve 7,29 dakikaya eşit veya daha az süreceği anlamına gelmektedir. Diğer bir deyişle telefon görüşmelerinin %95’inin 5,20 ile 7,29 dakika arasındadır.

Küçük örneklemler için kestirme işi ise t dağılımından yararlanılarak yapılır.

Örnek Türkçe dersi başarı puanları ile ilgili yapılan bir çalışmada basit tesadüfi yolla 20 öğrencinin puanları incelenmiştir. Seçilen puanların aritmetik ortalaması 3,5 ve standart sapması ise 1,05 olarak bulunmuştur. İlgili dersin başarı puanları ile ilgili olarak 0,95 olasılıklı iki yönlü alt ve üst sınırları bulunuz.

Örnekte istenen güven aralığı 0,95 ise α = 1-0,95 = 0,05’dir Örnekte istenen güven aralığı 0,95 ise α = 1-0,95 = 0,05’dir. Örneğin serbestlik derecesi ise 20-1=19 olarak bulunur.

Verilen değerler denklemde yerine konduğunda:

Elde edilen sonuca göre 0,95 güven aralığında alt ve üst sınırlar 3,00 ve 3,99 olarak bulunmuştur. Öğrencilerin Türkçe dersi başarı puanları %95 olasılıkla 3,00’a eşit ya da daha fazla ve 3,99’a eşit ya da daha küçüktür.